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河北雄安新区部分高中2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题
一、单选题
1．复数的虚部为（ ）
A．5 B．3 C． D．
2．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，且，则或
C．若，，则 D．若，，，，则
3．已知向量，若满足且，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
5．在中，“”是“是锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（ ）
A． B．1 C． D．3
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知高为4的正四棱锥的所有顶点都在球的表面上，若球被平面所截得的截面面积为，则四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．复数的模
B．若复数为纯虚数，则实数
C．已知m，，2i是关于x的方程的一个根，则
D．若复数z满足，则的最小值为
10．在中，角的对边分别为，外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．面积的最大值为
D．若，角的平分线交于点，则
11．已知正方体的棱长为2，点E，F分别是线段CD，BC的中点，平面过点，E，F且与正方体形成一个截面图形，下面说法正确的是（ ）
A．直线与是异面直线
B．截面图形是一个五边形
C．若点I在正方形内（含边界位置），且平面，则点I的轨迹长度为
D．截面图形的周长为
三、填空题
12．设是虚数单位，在复平面内，复数对应的点位于第______象限.
13．如图，在中，，，，，，则______．
14．在长方体中，，，点是平面内的动点，且，则的最大值为___________.
四、解答题
15．已知平面向量，其中．
(1)若为与方向相同的单位向量，求的坐标；
(2)若且与垂直，求向量夹角的余弦值及向量在向量上的投影向量的坐标.
16．已知是的共轭复数．
(1)求证：
(2)若复数满足，求|z|的取值范围．
17．如图，在正方体中，F，P分别为棱，的中点.
(1)设平面平面，求证：．
(2)棱上是否存在一点M，使平面DBF 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
18．在中，角的对边分别为，且．
(1)求的大小；
(2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围．
19．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，底面ABCD．
(1)求证：平面PBD；
(2)当直线PB与平面ABCD所成的角为45°时，求四棱锥的体积；
(3)当时，求直线PB与AD所成角的余弦值.
参考答案
1．D
【详解】依题意，，所以所求虚部为．
2．D
【详解】对于A，如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，故A正确；
对于B，若，且，则或，故B正确；
对于C，根据线面垂直的定义可知，故C正确；
对于D，根据面面平行判定定理，若，，，，，才能得到，
因缺少a，b的位置关系，故不一定得到，故D错误．
3．C
【详解】设，因为，
所以，，
因为且，
所以且，解得.
4．C
【详解】依题意，，，
则直观图的面积为
故原图形的面积为.
5．B
【详解】若，即，
整理可得，可知，
且，可知角为锐角，
所以，等价于角为锐角，
因为角为锐角不能推出是锐角三角形，但是锐角三角形可以推出角为锐角，
所以“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件.
6．C
【详解】设，则.
因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形，
在四边形中，过点作于点，
则，所以，
所以，解得，
在平面中，过点作于点，
易知为正四棱台的高，则，
所以.
故选：C.
7．D
【详解】由题意知，所以，
由余弦定理知，所以，
由正弦定理得，则，，，
所以.
8．B
【详解】球被平面所截得的截面面积为，可得截面圆的半径为，正方形的边长为，
设球的半径为，则到平面的距离为，
，解得，
所以四棱锥的体积为.
9．AC
【详解】对于A，由复数，可得，所以A正确；
对于B，由复数，
因为复数为纯虚数，可得，解得，所以B错误．
对于C，由是关于x的方程的一个根，可得是方程的另一个复数根，
由韦达定理得，可得，所以，所以C正确．
对于D，由复数满足，
可得在复平面内，复数的对应点在以为圆心，2为半径的圆上，
因为表示点Z到点的距离，且点在圆内，
且,
所以的最小值为，所以D错误．
10．ABC
【详解】对于A，因为，
所以，
所以，又，即，
则，又，所以，
解得，又，故，故A正确；
对于B，因为，外接圆的半径为2，
所以，故B正确；
对于C，因为，即，
又，所以，得，当且仅当时，取等号，
所以，即面积的最大值为，故C正确；
对于D，由，结合，解得，
由，即，
解得，故D不正确．
11．ABD
【详解】对于A，在正方体中，与既不平行也不相交，
且平面，平面，，平面，
所以直线与是异面直线，所以A正确．
对于B，延长EF，与AD的延长线交于点P，与AB的延长线交于点Q，
连接交于点G，连接交于点H，
再连接GE，HF，可得五边形为所求截面，所以B正确.
对于C，如图所示，根据题意，可得线段EG为点I的轨迹，
因为E，F分别是CD，BC的中点，所以，所以，
所以G为的三等分点，同理，H为的三等分点，则，
即点I的轨迹长度为，所以C错误.
对于D，由，，且，
则五边形的周长为，所以D正确.
12．二
【详解】因为，所以，
所以在复平面内，复数对应的点为，位于第二象限．
13．
【详解】因为，，所以，，
，
，
，
.
14．/
【详解】如图，过点作，垂足为点，连结，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，平面，
所以，且，，平面，
所以平面，平面,
所以，
所以点是平面内，以为直径的圆，
的最大值为，
又，，所以，根据等面积可得，
则，
则
15．(1)
(2)，
【详解】（1）设，，
由得．
解得．所以．
（2）因为与垂直，所以，
即．
又因为，，
所以，
所以向量夹角的余弦值．
向量在向量上的投影向量的坐标为．
16．(1)证明见解析
(2)或
【详解】（1）设，则，
所以，
而，所以．
（2）由知，
若，则，且，
由，解得或，
故或，
若为虚数，而，则，
整理得，
所以，此时，即，
此时，，矛盾，
故或．
17．(1)如图，连接，
因为在正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，所以．
方法一：因为平面，平面，所以平面．
因为平面，平面平面，所以．
方法二：因为平面，平面，所以平面．
因为平面，平面平面，所以．所以．
方法三：在正方体中，平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，则．
(2)存在，且，理由如下：
取的中点G，连接AG，FG，
因为F，G分别为，的中点，所以，，
因为，，所以，，
所以四边形ABFG为平行四边形，所以，
设M为的中点，则，所以.
因为平面DBF，平面DBF，所以平面DBF，
故存在所求的点M，且.
【详解】（1）略
（2）略
18．(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，，
整理得，
在中，，所以，
故，
因为，所以，
又，故.
（2）由正弦定理得，
所以，.
因为，所以.
三角形为锐角三角形，故，
解得.
三角形面积，
又，
所以
，
因为，所以，则.
因此.
19．(1)因为四边形ABCD是菱形，所以.
又因为平面ABCD，平面ABCD，所以．
又因为，PD，平面PBD，所以平面PBD．
(2)
(3)．
【详解】（1）略
（2）因为平面ABCD，所以是直线PB与平面ABCD所成的角.
由题意，得．
因为，所以．
因为，所以，
所以菱形ABCD的面积，
故四棱锥的体积．
（3）因为，所以即为异面直线PB与AD所成角（或补角）．
因为平面ABCD，DC，平面ABCD，所以，，
所以，，
又因为，所以在中，由余弦定理，得，
即，解得．
所以为锐角，即为直线PB与AD所成角，
所以直线PB与AD所成角的余弦值为．

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