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19专题训练二 一元二次方程
一．例题与变式
1.方程的解法与特殊技巧
例1 解方程：（x﹣2）2﹣4（x﹣2）﹣5＝0．
【分析】设x﹣2＝y，将方程转化为y2﹣4y﹣5＝0，利用因式分解的方法解方程可求解y值，再代入计算可求解x值．
【解答】解：设x﹣2＝y，则方程转化为y2﹣4y﹣5＝0，
（y﹣5）（y+1）＝0，
解得y1＝5，y2＝﹣1，
∴x﹣2＝5或x﹣2＝﹣1，
解得x1＝7或x2＝1．
变式1 解方程：（x2+x）2﹣3x2﹣3x+2＝0．
【分析】设x2+x＝y，把方程转为y2﹣3y+2＝0，求出y，再代入x2+x＝y，求出x的值．
【解答】解：设y＝x2+x，
则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0，
解得：y1＝1，y2＝2，
当y1＝1时，x2+x＝1，
解得：x1，x2，
当y2＝2时，x2+x＝2，
解得：x1＝1，x2＝﹣2，
所以原方程的解为：x1，x2，x3＝1，x4＝﹣2．
2.实际应用与方程设计
例2 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元．
（2）按这样的降价措施，该商场每天获利能否达到1300元？若能，求出售价；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，则每天售出（20+2x）件，根据商场每天要盈利1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）每件衬衫应降价y元，则每天售出（20+2y）件，根据商场每天要盈利1300元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论．
【解答】﹣解：（1）设每件衬衫应降价x元，则每天售出（20+2x）件，
由题意得：（20+2x）（40﹣x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10（不符合题意，舍去），x2＝20，
答：若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元；
（2）按这样的降价措施，该商场每天获利不能达到1300元，理由如下：
设每件衬衫应降价y元，则每天售出（20+2y）件，
由题意得：（20+2y）（40﹣y）＝1300，
整理得：y2﹣30y+250＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，
∴方程无实数根，
∴按这样的降价措施，该商场每天获利不能达到1300元．
变式2 如图，要利用一面墙（墙长为55m），用100m的围栏建羊圈，基本结构为三个大小相同的矩形．
（1）如果围成的总面积为400m2，求羊圈的边长AB，BC各为多少？
（2）保持羊圈的基本结构，羊圈总面积是否可以达到800m2？请说明理由．
【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝100﹣4x，根据墙长可得x的范围，由矩形面积公式列出关于x的方程，解之可得；
（2）设羊圈的面积为ym2，由矩形面积公式得出函数解析式，继而配方成顶点式后可得最值．
【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣4x）m，
∵100﹣4x≤55，
∴x≥11.25，
由题意知，x（100﹣4x）＝400，即x2﹣25x+100＝0，
解得：x1＝20，x2＝5（舍），
∴AB＝20m，BC＝100﹣4×20＝20m，
答：羊圈的边长AB长为20m，BC的长为20m；
（2）设羊圈的面积为ym2，
则y＝x（100﹣4x）＝﹣4x2+100x＝﹣4（x）2+625，
当x时，y有最大值为625，
所以羊圈总面积不可能达到800m2．
3.根的判别式及根与系数的关系
例3 已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根之和等于两根之积，求k的值．
【分析】（1）结合有两个实数根，得出判别式大于等于0，进行列式计算，即可作答．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【解答】解：（1）由题知，
因为关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2+1＝0有两个实数根，
所以Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×（k2+1）≥0，
解得，
所以k的取值范围是；
（2）设a，b分别是x2+（2k﹣1）x+k2+1＝0的两个根，
则a+b，ab．
因为方程的两根之和等于两根之积，
所以﹣2k+1＝k2+1，
解得k＝0或k＝﹣2．
因为，
所以k＝﹣2．
变式3 关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和关于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均为实数），且方程①的解为非正数．
（1）求k的取值范围；
（2）若k＝m+2，n＝2m﹣2，且方程②的解x1、x2满足代数式x1+x2﹣x1x2的值为整数，求整数m的值．
【分析】（1）先解出方程①的解，根据一元二次方程的定义和方程①的根为非正数，得出k的取值范围即可；
（2）先把k＝m+2，n＝2m﹣2代入方程②化简，通过因式分解法，用含m的代数式表示出一元二次方程的两个实数根，根据方程②的解为负整数，m为整数，即可求出m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4，
解得：x＝2k﹣4，
∵关于x的方程2（x﹣k）＝x﹣4的解为非正数，
∴2k﹣4≤0，
解得：k≤2，
∵由一元二次方程（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②，可知k≠1，
∴k≤2且k≠1；
（2）∵一元二次方程（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0中k＝m+2，n＝2m﹣2，
∴把k＝m+2，n＝2m﹣2代入原方程得：（m+1）x2+2mx+m﹣1＝0，
因式分解得，[（m+1）x+（m﹣1）]（x+1）＝0，
∴x1，x2＝﹣1，
∵x1+x2﹣x1x2的值为整数，
∴13为整数，
又∵m为整数，
∴m+1＝±1或±2或±4，
解得m＝0或﹣2或1或﹣3或3或﹣5，
∵k≤2且k≠1，
∴m+2≤2且m+2≠1，
∴m≤0且m≠﹣1，
∴m＝0或﹣2或﹣3或﹣5．
二．巩固练习
1．某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，若每次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则可列方程为（　　）
A．100（1﹣x）2＝81 B．100（1+x）2＝81
C．100（1﹣2x）＝81 D．100（1+2x）＝81
【分析】本根据商品原价为100元，故第一次降价后的价格为100（1﹣x）（元），第二次降价后的价格为100（1﹣x）（1﹣x）＝100（1﹣x）2（元），结合连续两次降价后售价为81元，即可列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
100（1﹣x）2＝81，
故选：A．
2．若关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k＝0的两根之积为2，则k＝　﹣1　 ．
【分析】根据韦达定理得出k2﹣k＝2，解之可得k的值，再代回原方程检验即可．
【解答】解：根据题意可得k2﹣k＝2，即（k+1）（k﹣2）＝0，
解得：k＝﹣1或k＝2，
当k＝﹣1时，方程为x2+4x+2＝0，方程有解；
当k＝2时，方程为x2﹣2x+2＝0，
∵Δ＝4﹣4×1×2＝﹣4＜0，方程无解，舍去；
故答案为：﹣1．
3．解方程：．
【分析】方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程变形得：，即2x+12x，
∴1，
去分母得：（2x+1）（x﹣1）+2x﹣1＝2x+1，
整理得：（2x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x＝1.5或x＝﹣1，
经检验两个值都为分式方程的解．
4．如图，用一段长为32米的篱笆围成一个矩形菜园，其中一面靠墙，墙长为14米，若矩形菜园的面积为96米2，求矩形菜园垂直于墙的边长．
【分析】设矩形菜园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（32﹣2x）米，根据矩形菜园的面积为96米2，列方程求解，然后由墙长为14米检验即可．
【解答】解：设矩形菜园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（32﹣2x）米．
∴x（32﹣2x）＝96，
解得：x1＝4，x2＝12．
当x＝4时，32﹣2x＝24＞14（不合题意，舍去），
当x＝12时，32﹣2x＝8，符合题意，
所以矩形菜园垂直于墙的边长为12米．
答：矩形菜园垂直于墙的边长为12米．
5．解方程（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可；
【解答】解：（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+2）＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
所以x1＝3，x2＝1；
6．某商场计划购进一批书包，经市场调查发现：某种进货价格为30元的书包以40元的价格出售时，平均每月售出600个，并且书包的售价每提高1元，某月销售量就减少10个．
（1）若售价定为42元，每月可售出多少个？
（2）若书包的月销售量为300个，则每个书包的定价为多少元？
（3）当商场每月有10000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？
【分析】（1）由“这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个”进行解答；
（2）根据“售价+月销量减少的个数÷10”进行解答；
（3）设销售价格应定为x元，根据“这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个”列出方程并解答．
【解答】解：（1）当售价为42元时，每月可以售出的个数为600﹣10（42﹣40）＝580（个）；
（2）当书包的月销售量为300个时，每个书包的价格为：40+（600﹣300）÷10＝70（元）；
（3）设销售价格应定为x元，则（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000，
解得x1＝50，x2＝80，
当x＝50时，销售量为500个；当x＝80时，销售量为200个，
因此为体现“薄利多销”的销售原则，我认为销售价格应定为50元．
7．如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，那么这就是著名的韦达定理，利用韦达定理要注意先判别根的存在问题．
（1）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有两个实数根，写出k的取值范围为k　 ；
（2）已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，不解方程求m2+n2的值；
（3）已知实数m，n满足2m2+3m﹣1＝0，2n2+3n﹣1＝0且m≠n，直接写出的值．
【分析】（1）根据一元二次方程x2+3x+k＝0有两个实数根，得到Δ＝32﹣4×≤k≥0，求出k的解集即可；
（2）先得到，化简（m+n）2﹣2mn，再代值计算即可；
（3）先推导出实数根为m，n可看作一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则，求出，，则，即可解答．
【解答】解：（1）由条件可知Δ＝32﹣4×k≥0，
解得k，
故答案为：k；
（2）由条件可知，
∴；
（3）由条件可知实数为m，n可看作一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴，
∴，，
∴，
则．中小学教育资源及组卷应用平台
19专题训练二 一元二次方程
一．例题与变式
1.方程的解法与特殊技巧
例1 解方程：（x﹣2）2﹣4（x﹣2）﹣5＝0．
变式1 解方程：（x2+x）2﹣3x2﹣3x+2＝0．
2.实际应用与方程设计
例2 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元．
（2）按这样的降价措施，该商场每天获利能否达到1300元？若能，求出售价；若不能，请说明理由．
变式2 如图，要利用一面墙（墙长为55m），用100m的围栏建羊圈，基本结构为三个大小相同的矩形．
（1）如果围成的总面积为400m2，求羊圈的边长AB，BC各为多少？
（2）保持羊圈的基本结构，羊圈总面积是否可以达到800m2？请说明理由．
3.根的判别式及根与系数的关系
例3 已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根之和等于两根之积，求k的值．
变式3 关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和关于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均为实数），且方程①的解为非正数．
（1）求k的取值范围；
（2）若k＝m+2，n＝2m﹣2，且方程②的解x1、x2满足代数式x1+x2﹣x1x2的值为整数，求整数m的值．
二．巩固练习
1．某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，若每次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则可列方程为（　　）
A．100（1﹣x）2＝81 B．100（1+x）2＝81
C．100（1﹣2x）＝81 D．100（1+2x）＝81
2．若关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k＝0的两根之积为2，则k＝　 　 ．
3．解方程：．
4．如图，用一段长为32米的篱笆围成一个矩形菜园，其中一面靠墙，墙长为14米，若矩形菜园的面积为96米2，求矩形菜园垂直于墙的边长．
5．计算：解方程（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0．
6．某商场计划购进一批书包，经市场调查发现：某种进货价格为30元的书包以40元的价格出售时，平均每月售出600个，并且书包的售价每提高1元，某月销售量就减少10个．
（1）若售价定为42元，每月可售出多少个？
（2）若书包的月销售量为300个，则每个书包的定价为多少元？
（3）当商场每月有10000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？
7．如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，那么这就是著名的韦达定理，利用韦达定理要注意先判别根的存在问题．
（1）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有两个实数根，写出k的取值范围为　 　 ；
（2）已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，不解方程求m2+n2的值；
（3）已知实数m，n满足2m2+3m﹣1＝0，2n2+3n﹣1＝0且m≠n，直接写出的值．

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