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2.5.1 直线与圆的位置关系
一、单选题
1．直线截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（　　）
A． B． C． D．
2．直线与圆相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
3．若直线与曲线有且只有两个公共点，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（　　）
A．2 B． C． D．4
5．圆上的点到直线的距离的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．5
6．以抛物线 的顶点为圆心的圆交 于 ， 两点，交 的准线于 ， 两点，已知 ， ，则 （　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．直线被圆所截得的弦长为（　　）
A．4 B． C． D．
8．若直线y＝kx＋4经过第三象限，且被圆截得的弦长为2，则该直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
9．若圆 与圆 的公共弦长为 ，则圆 的半径为（　　）
A． B． C． D．
10．设直线与轴的交点为P，点P把圆的直径分为两段，则其长度之比为(　　)
A．或 B．或 C．或 D．或
11．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
12．若直线2ax+by﹣2=0（a，b∈R+）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（　　）
A．1 B．5 C．4 D．3+2
二、填空题
13．已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为　 　．
14．已知曲线 与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是　 　.
15．如果直线ax+by+1=0被圆x2+y2=25截得的弦长等于8，那么 的最小值等于　 　．
16．已知点 若点 是圆 上的动点，则 面积的最小值为　 　．
三、解答题
17．已知圆 和直线 ，点P是圆C上的动点.
（1）求圆C的圆心坐标及半径；
（2）求点P到直线 的距离的最小值.
18．已知以点 为圆心的圆经过点 和 ，线段 的垂直平分线交圆 于点 和 ，且 ．
（1）求直线 的方程；
（2）求圆 的方程．
19．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．
（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为 = ，求此时直线l的方程．
20．已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点 ， ．
（1）求线段 的中点 的轨迹 的方程；
（2）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
2．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
3．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
4．【答案】B
【知识点】圆的切线方程
5．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
6．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
7．【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质
8．【答案】B
【知识点】直线的斜率；直线与圆的位置关系
9．【答案】D
【知识点】直线和圆的方程的应用
10．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
11．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
12．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
13．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
14．【答案】
【知识点】直线的斜率；斜率的计算公式；直线与圆的位置关系
15．【答案】27+
【知识点】直线与圆的位置关系
16．【答案】
【知识点】直线和圆的方程的应用
17．【答案】（1）由圆 ，
化为 ，
所以圆C的圆心坐标 ，半径为3.
（2）由直线 ，
所以圆心到直线的距离 ，
所以点P到直线 的距离的最小值为 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
18．【答案】（1）解：直线 的斜率 ， 中点坐标为 ，
直线 方程为 ，即
（2）解：设圆心 ，则由点 在直线 上得： ①，
又直径 ， ， ②
由①②解得： 或
圆心 或
圆的方程为 或
【知识点】直线和圆的方程的应用
19．【答案】（Ⅰ）证明：圆C：x2+（y﹣1）2=5，可得圆心C（0，1），半径为 ．
∴圆心C到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离d= ≤ = ．
∴直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）解：当M与P不重合时，连接CM、CP，则CM⊥MP，
∴|CM|2+|MP|2=|CP|2，
设M（x，y）（x≠1），则x2+（y﹣1）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，
化简得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0（x≠1），
当M与P重合时，x=y=1也满足上式．
故弦AB中点的轨迹方程是x2+y2﹣x﹣2y+1=0．
（Ⅲ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由 = ，得 = ，
∴ ，化简的x2=3﹣2x1…①
又 消去y得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0…（*）
∴ …②
由①②解得 ，代入（*）式解得m=±1，
∴直线l的方程为x﹣y=0或x+y﹣2=0．
【知识点】直线和圆的方程的应用
20．【答案】（1）解：设 ，则 ，
当直线 的斜率不为0时，由 得 ，即
当直线 的斜率为0时， 也适合上述方程
∴ 线段 的中点 的轨迹的方程为 ；
（2）解：由（Ⅰ）知点 的轨迹是以 为圆心 为半径的部分圆弧EF（如下图所示，不包括两端点），且 ， ，
又直线 ： 过定点 ，当直线 与圆 相切时，由 得 ，又 ，结合上图可知当 时，直线 ： 曲线 只有一个交点．
【知识点】斜率的计算公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
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