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2.3.3 点到直线的距离公式
一、单选题
1．已知直线，当原点O到l的距离最大时，l的方程为（　　）
A． B． C． D．
2．在极坐标系中，点 到直线 的距离为（　　）
A． B． C．1 D．2
3．抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为 ，则 （　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．抛物线 的焦点到直线 的距离 （　　）
A． B． C．1 D．2
5．已知两点和到直线距离相等，则值为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
6．已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
7．已知点，直线，则点到直线的距离为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
8．圆与圆的公共弦长为（　　）
A． B． C．2 D．4
9．已知点，直线将分割成面积相等的两部分，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
10．坐标原点到直线的距离的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，已知 分别是棱长为1的正方体 的棱 ， 的中点，则截面 与底面 的夹角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
12．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知，两点到直线l：的距离相等，则　 　．
14．点到直线的距离为　 　．
15．点到直线距离的最大值为　 　.
16．若点P在直线上移动，过P作圆的切线，切点分别为A，B，则的最小值为　 　．
三、解答题
17．若点A 与点B 到直线 的距离相等，求a的值．
18．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线 ，设圆C的半径为1，圆心在直线 上．
(Ⅰ)若圆C与直线 相交于M，N两点，且 ，求圆心C的横坐标 的值；
(Ⅱ)若圆心C也在直线 上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．
19．已知圆 .
（Ⅰ）若圆 的切线在 轴和 轴上的截距相等，求此切线的方程；
（Ⅱ）从圆 外一点 向该圆引一条切线，切点为 ， 为坐标原点，且 ，求使 取得最小值的点 的坐标.
20．已知递增数列{an}前n项和为Sn，且满足a1＝3，4Sn﹣4n+1＝an2，设bn （n∈N*)且数列{bn}的前n项和为Tn
（Ⅰ)求证：数列{an}为等差数列；
（Ⅱ)若对任意的n∈N*，不等式λTn n （﹣1)n+1恒成立，求实数λ的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式
2．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化
3．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
4．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式
5．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式
6．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式
7．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式
8．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；相交弦所在直线的方程
9．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式
10．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式
11．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；二面角及二面角的平面角；余弦定理
12．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；三角形中的几何计算
13．【答案】1或-4
【知识点】平面内点到直线的距离公式
14．【答案】1
【知识点】平面内点到直线的距离公式
15．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
16．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
17．【答案】解：因为点A 与点B 到直线 的距离相等，
所以有： 或 ，
解得： 或 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式
18．【答案】解：（Ⅰ）设圆心 ，圆心C到直线 的距离 ，得： 或2.（Ⅱ）联立： ，得圆心为：C(3，2)．设切线为： ， ，得： 或 ．故所求切线为： 或
【知识点】平面内点到直线的距离公式
19．【答案】解：（Ⅰ）∵切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，
∴设切线方程为 ，
又∵圆 ，∴圆心 到切线的距离等于圆的半径 ，
∴ ，或 ，则所求切线的方程为 或 ．
（Ⅱ）∵切线 与半径 垂直，∴ ，∴ ，
∴ ，∴动点 的轨迹是直线 ．
的最小值就是 的最小值，而 的最小值为 到直线 的距离 ．
此时 点坐标为
【知识点】平面内点到直线的距离公式
20．【答案】解：（Ⅰ)证明：依题意，当n≥2时，由4Sn﹣4n+1＝an2，可得
4Sn﹣1﹣4(n﹣1)+1＝an﹣12，
两式相减，可得
4an﹣4＝an2﹣an﹣12，
化简整理，得
(an+an﹣1﹣2)(an﹣an﹣1﹣2)＝0，
∴an+an﹣1﹣2＝0，或an﹣an﹣1﹣2＝0，
∵数列{an}是递增数列，
∴an≥an﹣1，则an+an﹣1≥2an﹣1≥2a1＝2×3＝6，
∴an+an﹣1﹣2＝0不符合题意，
∴an﹣an﹣1﹣2＝0，即an﹣an﹣1＝2，
∴数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列．
（Ⅱ)由（Ⅰ)知，an＝3+2 (n﹣1)＝2n+1，n∈N*，
则bn ( )，
故Tn＝b1+b2+…+bn
( ) ( ) ( )
( )
( )
，
将Tn 代入不等式，可得λ n （﹣1)n+1，
化简整理，得
λ (2n+3)[3n+2 (﹣1)n+1]，
构造数列{cn}：令cn (2n+3)[3n+2 (﹣1)n+1]，则
①当n为奇数时，n+2为奇数，
cn (2n+3)[3n+2 (﹣1)n+1] (2n+3)(3n+2)，
cn+2 [2(n+2)+3][3(n+2)+2 (﹣1)n+3] (2n+7)（3n+8)，
cn+2﹣cn (2n+7)(3n+8) (2n+3)(3n+2)
，
∵n为奇数，∴n2+2n﹣1 0，
∴cn+2﹣cn 0，即cn+2 cn，
∴数列{cn}的奇数项为单调递增数列，即c1 c3 c5 …
②当n为偶数时，n+2也为偶数，
cn (2n+3)[3n+2 (﹣1)n+1] （2n+3)(3n﹣2)，
cn+2 [2(n+2)+3][3(n+2)+2 (﹣1)n+3] (2n+7)(3n+4)，
cn+2﹣cn (2n+7)(3n+4) (2n+3)(3n﹣2)
0，
故数列{cn}的偶数项为单调递增数列，即c2 c4 c6 …
∵c1＝25，c2＝14，c3＝33，c4 ，
∴λ {cn}min＝c2＝14，
∴实数λ的取值范围为(﹣∞，14)．
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；等差数列概念与表示；数列的求和
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