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第三单元因数和倍数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．求实小学五（1）班人数在40～50之间，在社团活动中，有的同学参加了书法社团，有的同学参加了美术社团，这个班一共有（ ）人。
A．42 B．45 C．48 D．49
2．用长5dm、宽3dm的长方形墙砖铺墙面，至少要（ ）块这种墙砖才能铺成一个正方形。（必须使用整块的墙砖，且铺满）
A．5 B．10 C．15 D．20
3．一个数值转换器原理如图所示，若输入x的值是13，则第一次输出的结果是16为偶数，第二次输出的结果是8，…则第2015次输出的结果是（ ）。
A．1 B．2 C．4 D．8
4．在“403”的方框里填一个数，使这个四位数既是5的倍数，又有因数3。方框里应该填（ ）。
A．0 B．2 C．5 D．8
5．将50名学生按1～50的顺序进行编号，李老师给所有编号是4的倍数的学生一支笔，给所有编号是3的倍数的学生一把尺，那么既有笔又有尺的学生有（ ）名。
A．4 B．5 C．10 D．12
6．下面说法中，正确的是（ ）。
A．在1～200中，同时是2、3、5的倍数的数只有5个
B．10以内的质数共有5个
C．如果一个数同时是2、3、5的倍数，这个数一定也是6的倍数
D．分母是15且不是最简真分数共有4个
7．不透明的袋子里有10个球，分别标注序号1～10。从中任意摸一个，摸到号码是（ ）的可能性最小。
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
二、填空题
8．合唱队的人数不足百人，其中男生人数占总人数的。除了领唱1人站在队伍前面，其余的人按3∶2分为高声部和低声部，且刚好站成4排。合唱队最多有( )人。
9．用最小的合数，最小的质数，最小的自然数组成最大的三位数是( )，最小三位数是( )。
10．的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，它比最小的质数少( )个这样的分数单位。
11．智能快递柜进小区，解决了社区居民取快递“最后100米”的烦恼。这天，居民李阿姨收到一条带有取件码的短信息根据下面的描述，请你猜一猜，李阿姨的取件码是( )。
12．找出下列各分数中分子和分母的最大公因数，写在括号里。
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
13．一根红彩带长72厘米，一根绿彩带长54厘米，把它们剪成同样长的短彩带且没有剩余每根短彩带最长是( )厘米，最少共能剪成( )根短彩带。
14．巧虎在侦破一个案件时发现了一个保险箱。保险箱设有六位数的密码。
已知：A是5最大的因数；B的所有因数是1、2、4、8；C是最小的自然数；D只有一个因数；E既是质数，又是偶数；F既是9的因数，又是9的倍数。这个保险箱的密码是( )。
15．猜数游戏。
(1)我是( )。我是( )。
(2)我是( )。我是( )。
16．( )米比米多；两个连续偶数，大数比小数多，小数是( )，大数是( )。
17．217至少减去( )是5的倍数，至少加上( )是3的倍数。
三、判断题
18．甲数是36，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公因数是4，乙数是32。( )
19．因为12÷3＝4，所以12是3的倍数，3是12的因数。( )
20．12和18的最小公倍数是36。( )
21．3.6÷3＝1.2，所以3.6是3的倍数，3是3.6的因数。( )
22．36的因数中一共有6个合数。( )
四、解答题
23．两个互质的自然数的最小公倍数是432。求这两个数。
24．整数，的最小公倍数记为[，]，如“[6，9]＝18”就表示“6和9的最小公倍数是18”；整数，的最大公因数记为（，），如“（4，6）＝2”就表示“4和6的最大公因数是2”。小明说：[，]×（，）＝×（，都是大于0的自然数）。他说得对吗？请说明。
25．两个自然数只含有质因数2、5，它们的最大公约数是50，且其中一个数有12个约数，另外一个数有10个约数，那么这两个数的差是多少？
26．小强家杂物间长16dm，宽12dm，如果用边长是整分米数的正方形瓷砖铺满地面，为了瓷砖不浪费，可以选择边长是几分米的瓷砖？边长最大是几分米？
27．一个数是48的因数，同时也是3的倍数，这个数可能是多少？
《第三单元因数和倍数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A C A C A C C
1．A
【分析】根据该班的学生参加了书法社团，的同学参加了美术社团，可知这个班的学生可以平均分为6份、7份，即这个班的学生数是6的倍数，也是7的倍数，也就是6和7的公倍数，因为这个班学生接近50人，求出40～50之间的6和7的公倍数即可。
【详解】6和7两个数是互质数，所以6和7最小公倍数是6×7＝42。
42在40 至50人之间，这个班一共有42人。
故答案为：A
【点睛】此题主要考查公倍数的意义以及求两个数最小公倍数的方法，做题时要认真审题。
2．C
【分析】根据题意，这个正方形的最小边长是5和3的最小公倍数，因为5和3是互质数，所以最小公倍数是（5×3），即是这个正方形的最小边长；再看正方形的最小边长里有几个长、几个宽，最后相乘即是至少需要这种墙砖的块数。
【详解】正方形的最小边长是：5×3＝15（dm）
（15÷5）×（15÷3）
＝3×5
＝15（块）
故答案为：C
【点睛】本题考查最小公倍数的实际应用，利用求两个数的最小公倍数的方法解决问题。
3．A
【分析】根据数值转换器依次求出前几次的输出的数值，再根据数值的变化，找出规律，然后利用规律进行求解。
【详解】第1次输出的结果是16；
第2次输出的结果是8；
第3次输出的结果是×8＝4；
第4次输出的结果是×4＝2；
第5次输出的结果是×2＝1；
第6次输出的结果是1＋3＝4；
第7次输出的结果是×4＝2；
第8次输出的结果是×2＝1；
……
所以，从第3次开始，每3次输出为一个循环组依次循环；
（2015－2）÷3
＝2013÷3
＝671
所以，第2015次输出的结果为一个循环组中的最后一个数：1。
故答案为：A
【点睛】本题考查了代数式求值，根据数值转换器求出从第3次开始，每3次输出为一个循环组依次循环是解题的关键。
4．C
【分析】根据5的倍数特征，个位上是0或5的数是5的倍数；3的倍数特征，各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此解答即可。
【详解】4＋0＋3＋5
＝4＋3＋5
＝7＋5
＝12
故答案为：C
【点睛】本题考查3、5的倍数，明确3、5的倍数特征是解题的关键。
5．A
【分析】既有笔又有尺，说明学生的编号既是4的倍数，又是3的倍数，也就是3和4的公倍数。先求出3和4的最小公倍数，再计算50以内有几个这样的最小公倍数，用除法计算，商即是既有笔又有尺的学生人数。
【详解】3和4的最小公倍数：3×4＝12
50÷12＝4（个）……2（名）
那么既有笔又有尺的学生有4名。
6．C
【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位是0或5的数；3的倍数特征：各个数位上的数的和是3的倍数；
质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；
最简真分数是指分数的分子小于分母，并且分子与分母是互质数。据此判断。
【详解】A．2、3、5的最小公倍数是2×3×5＝30，在1～200中，一共有6个数：30，60，90，120，150，180满足条件，所以说法错误；
B．10以内的质数有2、3、5、7，共有4个，所以说法错误；
C．一个数能同时被2和3整除的数一定是2和3的公倍数，2和3的公倍数有6，12，18，24……，所以这个数一定是6的倍数，说法正确；
D．分母是15且不是最简真分数有、、、、、，共有6个，所以说法错误。
故答案为：C
【点睛】此题主要考查2、3、5的倍数的特征、质数、最简真分数的意义。
7．C
【分析】在1～10，10个数字中，奇数有：1、3、5、7、9共5个；偶数有：2、4、6、8、10共5个；质数有：2、3、5、7共4个；合数有：4、6、8、9、10共5个。再根据不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小。
【详解】根据分析可知，由于质数只有4个，少于奇数、偶数和合数，所以摸到号码是质数的可能性最小。
不透明的袋子里有10个球，分别标注序号1～10。从中任意摸一个，摸到号码是质数的可能性最小。
故答案为：C
【点睛】本题考查可能性大小的判断，理解不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小，数量相同，可能性也相同。
8．81
【分析】合唱队的人数不足百人，其中男生人数占总人数的，则合唱队的人数是3的倍数，不足100人3的倍数有99、96、93、90、87、84、81……，去掉1个领唱外还有98人、95人、92人、89人、86人、83人、80人……，剩余人数按照3∶2分为高声部和低声部，且刚好站成4排。说明剩下的人数既是5的倍数，又是4的倍数，最大为80，所以合唱队人数最多为81人。据此解答即可。
【详解】根据分析可知：合唱队最多有81人。
【点睛】把男生人数占总人数的和按3∶2分配转化为求3的倍数的数和5的倍数的数是解决这道题的关键点。
9． 420 204
【分析】最小的合数是4，最小的质数是2，最小的自然数是0；
最大的三位数要把数字从大到小排列；
最小的三位数要把数字从小到大排列（注意0不能在百位）。
【详解】最小的合数是4，最小的质数是2，最小的自然数是0；
最大的三位数是：420
最小的三位数是：204
10． 4 10
【分析】把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。对于真分数、假分数来说，分子是几，就有几个这样的分数单位。最小的质数是2，先把2化成分母为7而大小不变的假分数，再看分子与它的分子相差几，就是它比最小的质数少几个这样的分数单位。
【详解】的分数单位是，它有4个这样的分数单位。
最小的质数是2；
2＝＝＝，里面有14个；
14－4＝10（个）
它比最小的质数少10个这样的分数单位。
11．8364
【分析】①整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
②一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数，1既不是质数也不是合数。
③最小的质数是2，最小的合数是4。
④既是偶数又是质数的数是2，既是奇数又是合数的最小的数是9。
⑤2、3的倍数的特征：2的倍数的数的个位上是偶数，3的倍数的数各个数位上的数相加所得的和能被3整除，5的倍数的数个位是0或5。
【详解】A是一位数中最大的偶数，所以A是8；
B比最小的质数大1，所以B是2＋1＝3；
C同时是2和3的倍数的一位数，所以C是6；
D是最小的合数，所以C是4；
所以ABCD表示为8364。
【点睛】此题考查2、3、5的倍数特征，奇数和偶数的认识，以及合数和质数的认识。
12． 1 4 9 3 3 4 11 6
【分析】先把分子、分母分解质因数，分子和分母公有的质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；两个数互质，它们的最大公因数是1；两个数是倍数关系，较小的数是它们的最大公因数，据此解答。
【详解】（1）8和9互质，8和9的最大公因数是1
（2）4和12是倍数关系，4和12的最大公因数是4
（3）
18和27的最大公因数是：
（4）3和6是倍数关系，3和6的最大公因数是3
（5）
6和15的最大公因数是：3
（6）
20和24的最大公因数是：
（7）
22和77的最大公因数是：11
（8）
12和54的最大公因数是：
13． 18 7
【分析】每根彩带最长的长度应是72厘米和54厘米的最大公因数，先把72和54进行分解质因数，这两个数的公有质因数连乘的积是这两个数的最大公因数；
最后用两条彩带的总厘米数除以每段长度求剪成的段数，由此解决问题即可。
【详解】72＝2×2×2×3×3，54＝2×3×3×3，
所以72和54的最大公因数是：
2×3×3
＝6×3
＝18
即每根彩带最长的长度应是72和54的最大公因数18；
（72＋54）÷18
＝126÷18
＝7（根）
每根短彩带最长是18厘米，最少共能剪成7根短彩带。
【点睛】此题考查了求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；数字大的可以用短除法解答。
14．580129
【分析】A是5的最大因数，因为5的最大因数是5，所以A是5；
B的所有因数是1，2，4，8，根据一个数最大的因数是它本身，可知B是8；
C是最小的自然数，最小的自然数是0，所以C是0；
D只有一个因数，是1；
E既是质数，又是偶数，所以E是2；
F既是9的因数又是9的倍数，所以F是9；由此即可写出即可。
【详解】由分析可知：
A是5，B是8，C是0，D是1，E是2，F是9，
所以这个六位数的密码是：580129。
【点睛】此题主要考查根据因数、倍数、质数和自然数的意义，解答此题关键是熟练掌握因数、倍数、质数和自然数的意义进而解决问题。
15． 3 17 3 12
【分析】结合质数、合数的定义，通过和与积的条件筛选符合要求的数：质数：大于1的自然数，且只有1和自身两个因数；合数：除了1和自身外还有其他因数的自然数。（1）需找出“和为20、积为51”的两个质数，结合质数定义筛选；（2）需找出“和为15、积为36”的一个质数与一个合数，结合质数、合数定义筛选。
【详解】（1）两个质数的和为20、积为51。
先找出和为20的质数组合：3和17、7和13；
验证积：，；
结合“我比你小”的条件，确定较小数是3，较大数是17。
（2）质数与合数的和为15、积为36先找出和为15的组合（一个质数、一个合数）。
3（质数）和12（合数）：和为15，积为；
5（质数）和10（合数）：和为15，积为（不符合）；
2（质数）和13（质数）：不符合“一个合数”的条件。
确定符合条件的数是3和12。
16． 0.75/ 8 10
【分析】把米看作单位“1”，求比米多20%的数，用米乘（1＋20%）即可解答；
把小数看成单位“1”，大数比小数多25%；由于是两个连续的偶数那么大数就比小数大2，即25%对应的数量是2，所以用除法就可以求出小数；进而求出大数。
【详解】×（1＋20%）
＝×1.2
＝0.75（米）
2÷25%＝8
8＋2＝10
0.75米比米多；两个连续偶数，大数比小数多，小数是8，大数是10。
17． 2 2
【分析】5的倍数特征：个位上数字是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。
【详解】比217小的5的倍数最大是215。
217－215＝2
217至少减去2是5的倍数。
2＋1＋7＝10
比10大的3的倍数最小是12。
12－10＝2
217至少加上2是3的倍数。
【点睛】熟练掌握3、5的倍数的特征是解决此题的关键。
18．√
【分析】根据求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法：最大公因数：两个数的公有质因数的连乘积是最大公因数；最小公倍数：两个数的质有公因数与每一个独有质因数的连乘积是最小公倍数；已知甲乙两个数的最小公倍数和最大公因数，用最小公倍数×最大公因数＝甲乙两数乘积，再除以甲数，即可求出乙数，据此解答。
【详解】288×4÷36
＝1152÷36
＝32
原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】解答本题的关键是明确最小公倍数与最大公因数的乘积是这两个数的乘积。
19．√
【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此判断即可。
【详解】因为，所以12是3的倍数，3是12的因数，说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是掌握因数和倍数的概念。
20．√
【分析】根据求两个数的最小公倍数的方法：两个数的最小公倍数是两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积。据此解答。
【详解】12＝2×2×3
18＝2×3×3
12和18的最小公倍数是：2×3×2×3＝36
12和18的最小公倍数是36。
原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】根据求两个数最小公倍数的方法进行解答。
21．×
【分析】一个整数能被另一个整数整除，则前一个数是后一个数的倍数，后一个数是前一个数的因数。特别注意因数、倍数对应的都是整数，据此可得出答案。
【详解】因数、倍数的定义中指的数是整数，3.6÷3＝1.2是小数的除法，因此描述错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查的是因数、倍数的判定，解题的关键是牢记因数与倍数的定义，进而得出答案。
22．√
【分析】根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。找因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。据此解答。
【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6
36的因数有1、36、2、18、3、12、4、9、6；
其中合数有36、18、12、4、9、6，共6个。
故答案为：√
【点睛】本题考查了因数、合数的认识。
23．27和16或1和432
【分析】互质的两个自然数的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积，可以先把432分解质因数，然后把质因数分配给两个数，分配时两个数中不能含有相同的质因数。
【详解】432＝2×2×2×2×3×3×3
由于两个数中不能有相同质因数，所以两个数分别为：
2×2×2×2＝16和3×3×3＝27
或1和2×2×2×2×3×3×3＝432
答：这两个数是16和27，或者1和432。
24．说得对，见详解。
【分析】可假设a＝c×d，b＝c×e，其中c表示a. b所有公有质因数的积；d表永a独有质因数的积，e表示b独有质因数的积。通过计算进行判断即可。
【详解】假设a＝c×d，b＝c×e，其中c表示a. b所有公有质因数的积；d表永a独有质因数的积，e表示b独有质因数的积。
则（a，b）＝c
[a，b]＝c×d×e
故[，]×（，）
＝ c×d×e×c
＝（c×d）×（c×e）
＝×
原题说法正确。
【点睛】此题考查了最小公倍数和最大公因数的应用。
25．1050
【分析】50＝2×5×5，又因为A有12个约数，B有10个约数，所以B只能是，也只能是，所以B－A＝2×5×5× （5×5－2×2） ，据此解答即可。
【详解】
因为有12个约数，B有10个约数，所以B只能是，也只能是。
所以B－
＝50×（25－4）
＝1250－200
＝1050
答：这两个数的差是1050。
【点睛】此题主要考查公因数问题，根据两个数的最大公因数和约数的个数确定两个数是多少。
26．1分米、2分米、4分米；4分米
【分析】只要正方形瓷砖的边长是杂物间长和宽的公因数，瓷砖就不浪费；求出杂物间长和宽的最大公因数，是最大正方形瓷砖的边长，据此分析。
【详解】16的因数有：1、2、4、8、16
12的因数有：1、2、3、4、6、12
16和12的公因数有：1、2、4，最大公因数是：4
答：为了瓷砖不浪费，可以选择边长是1分米、2分米、4分米的瓷砖，边长最大是4分米
【点睛】关键是理解公因数和最大公因数的意义，全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。
27．3、6、12、24、48
【分析】通过列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。找出48的所有因数，3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；在48的所有因数中找出3的倍数的数即可得解。
【详解】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8
所以48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；
在这些数中，是3的倍数的数有：3、6、12、24、48。
答：这个数可能是3、6、12、24、48。
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数的因数的方法以及3的倍数的特征。
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