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四川省绵阳市游仙区初中毕业生2026年数学学业水平检测试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1． -的相反数是（　　）
A． B． C．5 D．
2．在平面直角坐标系中，点P（-5，3）关于原点的对称点P'的坐标为（　　）
A．（3，-5） B．（-5，-3） C．（5，-3） D．（5，3）
3． 2025年7月1日，国家航天局发布了与地球距离超12000000千米的“天问二号”行星探测器在轨拍摄的地月影像图.将数据12000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4． 如图，已知 BC 是圆柱底面的直径，AB 是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝. 现将圆柱侧面沿AB 剪开，所得的圆柱侧面展开图是 (　　).
A． B．
C． D．
5．若式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠0 B．x≥-2且x≠0 C．x≥2 D．x≥-2
6．如图，在平面直角坐标系中△AOB 与△COD 是位似图形，以原点O为位似中心，若CD=3AB，B点坐标为(2，1)，则点D的坐标为(　　)
A．(4， 2) B．(4， 6) C．(6， 3) D．(6， 2）
7．如图，这是化学元素周期表中原子序数为11~15的元素，从中随机一次性选取两种元素，则这两种元素恰好都是非金属元素（硅、磷是非金属元素）的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．已知2是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）
A．8或10 B．10或14 C．10 D．14
9．我国明代数学家程大位，（1533-1606）所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果苦果买一千.甜果九个十一文，苦果七个四文钱.试问甜苦果几个，又问各该几个钱，意思是：九百九十九文钱买了甜果苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个 每个甜果、苦果分别卖多少文钱 若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为2cm，若G为CD的中点，连接AC、AG，则AG的长度为（　　）cm.
A． B． C． D．
11．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为5，第1次运算结果输出的是8，返回进行第二次运算输出的是4，…，则第2026次输出的结果是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．如图，□ABCD，∠DAB=60°，AB=4，AD=3，点E、F分别在边BC、DC上，将△ABE沿AE翻折，点B恰好落在线段AF上的点G处，延长BG交DC于点H，若BE=2CE，则HF的长度是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上）
13．分解因式：3y2-6y+3=　 　.
14．已知与是同类项，则的值是　 　．
15．如图，已知EB∥DC，AD∥BC，BF平分∠EBC交AD于点G，若∠2=33°，则∠1的度数为　 　.
16．关于x的不等式组的最小整数解是5，则a的求值范围是　 　.
17．如图1，绵阳富乐阁是富乐山景区标志性建筑，建筑样式是中国古建筑的智慧结晶，屋檐的八个角向上翘起，形成优美的曲线，这就是“飞檐翘角”，图2是飞檐翘角截面示意图，这部分由檐椽线段AB，飞檐BC构成，AB与BC相切，某一光线CD与相切于点C，延长AB到点E，点D，E在同一水平线上，BM⊥DE于M，CN⊥DE于N.已知BM=1m，CD=1.5m，MN=0.7m，∠CDE=37°，∠BED=53°，则弧BC的长度为　 　米.（结果保留π，参考数据：）
18．如图，矩形ABCD，AB=10，BC=8，点E，F，G分别在AB，AD，BC上，AF=3，AE=4，BG=5，连接EF，EC，点M，N是线段BE，CE上的动点，且BM=EN，则GM+GN的最小值为　 　.
三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．
（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中a=-3.
20．某中学为了解本校女同学定点投篮水平，从该校女生中随机抽取a名女同学进行测试，每人定点投篮五次.根据进球统计的数据结果，绘制出如图的统计图1和图2.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为　 　，图1中m的值为　 　，统计的这组女同学定点投篮进球数量数据的众数和中位数分别是　 　和　 　；
（2）求统计的这组女同学定点投篮进球数量数据的平均数；
（3）若女同学定点投篮五次进球数量不小于3个为“优秀”，该校共有2000名女同学，请估计该校女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数约为多少
21． 2026年央视春晚，人形机器人不再是简单的伴舞或者背景板而是以“演员”“劳动者”甚至“情感伙伴”的身份深度融入节目，人形机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长、某公司旗下人形机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件.已知购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元.
（1）求A，B两种配件的进货单价；
（2）若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，B配件进货件数不低于A配件件数的2倍.据市场销售分析，A配件提价20%销售，B配件按进价的1.5倍销售.怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大 最大利润是多少
22．如图，双曲线与直线AB：y=x+2的图象交于点A（a，3），点B，直线AB与x轴于点C，动点P在线段AC上，过点P分别作PN∥x轴，PM∥y轴交双曲线于点N、x轴于点M，连接MN.
（1）求k的值及点B的坐标：
（2）求S△PMN的面积的最大.
23．如图，过 ABCD的对角线AC的中点⊙作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE.
（1）试判断四边形EFGH的形状并说明理由；
（2）若∠D+∠GHE=180°，求证：DG=CF.
24．如图，AB，CD是⊙O的直径，PD，PE是⊙O的切线，连接CE，EB.
（1）求证：CE∥OB
（2）若，求⊙O的半径
（3）连接PC，在（2）的条件下，求tan∠EPC的值.
25．如图1，抛物线过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，将△AOC沿直线y=kx（k>0）平移得到△BDF，点A、O、C分别对应点E、D、F.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E落在抛物线上时，，求k的值：
（3）如图2，抛物线C1平移得到抛物线图象经过点D、E，抛物线与直线y=kx交于另一点G，与对称轴右侧的x轴交于点H，其中点D、E、G与图象上的D'、E'、G'对应，当k=1时，若求C2的顶点坐标.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数.
2．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，点P(-5，3)关于原点的对称点P'的坐标为(5，-3).
故答案为：C.
【分析】直接利用平面直角坐标系中关于原点对称点的坐标性质求解即可.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：12000000=1.2×107，
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】A
【知识点】几何体的展开图；圆柱的展开图
【解析】【解答】解：根据两点之间线段最短，可得展开图中，AC和A'C的连线非曲线，且不存在连线BC'，
故可排除答案BCD；
故答案为：A.
【分析】根据圆柱的侧面展开图以及点A和点C的位置，可得字母的分布，再根据“ 过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝”即可确定答案.
5．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得
解得：x≥-2且x≠0，
故答案为：B.
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式组求解.
6．【答案】C
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴与的位似比为，
∵B点坐标为，
∴点D的坐标为，
故选：C．
【分析】根据位似变换的点的横、纵坐标同时乘以k或-k计算，得到答案．
7．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表可得：
　 钠 镁 铝 硅 磷
钠 　 (镁，钠) (铝，钠) (硅，钠) (磷，钠)
镁 (钠，镁) 　 (铝，镁) (硅，镁) (磷，镁)
铝 (钠，铝) (镁，铝) 　 (硅，铝) (磷，铝)
硅 (钠，硅) (镁，硅) (铝，硅) 　 (磷，硅)
磷 (钠，磷) (镁，磷) (铝，磷) (硅，磷) 　
由表格可得，共有20种等可能出现的结果，其中这两种元素恰好都是非金属元素的情况有2种，
故这两种元素恰好都是非金属元素的概率为
故答案为：B.
【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根
∴22-4m+3m=0，m=4
∴x2-8x+12=0.
解得x1=2，x2=6
①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2<6，不能构成三角形
∴它的周长是14.
故答案为：D.
【分析】先将x=2代入x2-2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2-8x+12=0，利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：①当6是腰时，2是底边；②当6是底边时，2是腰进行讨论，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验.
9．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设买甜果x个，买苦果y个，
由题意可得：
故答案为：D.
【分析】设买甜果x个，买苦果y个，根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为2cm，若G为CD的中点，连接AG，
如图，连接 OC，AC，AD，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴，AD为⊙O的直径.
又∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=2cm
∵AD是⊙O的直径，
∴AD=4cm，∠ACD=90°
在Rt△ACD中，
∵G是CD的中点，
∴，
在Rt△ACG中，∠ACG=90°，
故答案为：C.
【分析】连接OC，AC，AD，根据正六边形的性质可得，AD为⊙O的直径，再根据圆的半径都相等可得△COD是等边三角形，进而求出CD=2cm，根据AD为⊙O的直径，得∠ACD=90°，利用勾股定理及中点的性质即可求解.
11．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：把x=5代入得：5+3=8，
把x=8代入得：，
把x=4代入得：，
把x=2代入得：，
把x=1代入得：1+3=4，
把x=4代入得：，
...，
∴从第2次开始，输出结果以4，2，1这三个数不断循环出现.
∵(2026-1)÷3=675，
∴第2026次输出的结果是1.
故答案为：A.
【分析】把x=5代入程序中计算，以此类推得到循环规律，即可得出第2026次输出的结果.
12．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠DAB=60°，AB=4，AD=3，
∴BC=AD=3，CD=AB=4，∠ABC=180°-60°=120°，∠BCD=60°
又∵BE=2CE，
∴BE=2，CE=1
过点E作EK⊥AB于点K，
∵∠ABC=120°
∴∠EBK=60°
∵在Rt△BEK中，∠BEK=30°
∴，
∴
∴AK=AB+BK=5
∵在Rt△AKE中，AE2=AK2+EK2=25+3=28，
∴
∵△ABE沿AE翻折得到△AGE
∴△ABE≌△AGE
∴AG=AB=4，GE=BE=2，∠GAE=∠BAE，∠AGE=∠ABE=120°
∴∠BAG=2∠BAE.
∵AB=AG.
∴△ABG为等腰三角形
∵AE平分∠BAG
∴AE⊥BG于点M，且M为BG中点
∵∠BAM=∠KAE，∠AMB=∠AKE=90°
∴Rt△ABM∽Rt△AKE
∴，
∴，
∴
过点G作GP⊥AB于点P，
∵，
∴
过点A作AN⊥DC于点N，
∵∠ADC=120°
∴∠ADN=60°
∵在Rt△ADN中，∠DAN=30°
∴，
∴
∵AB//DC，
∴GP//AN
又∵A、G、F三点共线
∴
∴
∵在Rt△ANF中，
∴，
∴
∴，
∵B、G、H三点共线，且B在AB上，H在DC上，
∴
∴
过点B作BR⊥DC于点R
∴
∵在Rt△BRH中
，
∴，
∵AN⊥DC，BR⊥DC
∴AN//BR
又∵AB//DC
∴四边形ABRN为矩形
∴RN=AB=4
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】由BE=2CE及BC=AD=3得BE=2，作垂线构造直角三角形后利用勾股定理求得AE；由翻折性质可知△ABE △AGE，从而得到等腰△ABG，进而求得BG及点G到AB的距离；再利用平行线分线段成比例及勾股定理依次求出AF、BH，最后得到HF.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3y2-6y+3=3(y2-2y+1)=3(y-1)2.
故答案为：3(y-1)2.
【分析】首先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可.
14．【答案】1
【知识点】同类项的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：与是同类项，
，
．
故答案为：1.
【分析】根据同类项的定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可得关于和的方程，解方程求出m、n的值，再代入所求代数式计算即可求解．
15．【答案】66°
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AD//BC，
∴∠FBC=∠2=33°
∵BF平分∠EBC，
∴∠EBC=2∠FBC=66°，
∵EB//DC，
∴∠1=∠EBC=66°
故答案为：66°.
【分析】由平行线的性质可得∠FBC=∠2=33°，由角平分线的定义可得∠EBC=66°，最后再由平行线的性质即可得出结果.
16．【答案】3≤a<5
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式2-x<0，得x>2，
解不等式2x-5>a，得
∵不等式组的最小整数解是5，大于2，
∴不等式组的解集为
∵不等式组的最小整数解为5
∴
∴3≤a<5.
故答案为：3≤a<5.
【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据最小整数解为5得到关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围.
17．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：记圆心为点O，连接OB，OC，过点C作CK⊥BM于点K，
∵BM⊥DE，CN⊥DE
∴四边形MKCN为矩形
∴MN=CK=0.7m，CN=KM
∵AB与BC相切，某一光线CD与BC相切于点C
∴OB⊥AB，OC⊥CD
∵∠CDE=37°，∠BED=53°
∴∠DTE=∠BTC=180°-(37°+53°)=90°
∴四边形OBTC是矩形
∴∠BOC=90°
在Rt△CDN中，
∴，
∴BK=BM-KM=BM-CN=1-0.9=0.1m，
∴
∵OB=OC，∠BOC=90°
∴
∴弧BC的长度为：
故答案为：.
【分析】记圆心为点O，连接OB，OC，过点C作CK⊥BM于点K，则MN=CK=0.7m，CN=KM，根据圆的切线的性质得到OB⊥AB，OC⊥CD，再证明四边形OBTC是矩形，则∠BOC=90°，解Rt△CDN，求出CN=0.9m，则BK=BM-KM=0.1m，再由勾股定理求解，再求解半径，最后由弧长公式求解即可.
18．【答案】2
【知识点】矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB=10，BC=8
∴∠A=∠B=∠C=90°
∵AE=4.
∴BE=AB-AE=6
∵AF=3
∴在Rt△AEF中，EF2=AE2+AF2=16+9=25
∴EF=5
∵在Rt△CBE中，CE2=BC2+BE2=64+36=100.
∴CE=10
∴在矩形内部作点Q，使∠QAB=∠AEF，且AQ=AF=3
过点Q作QT⊥AB于点T，
∵∠ATQ=∠EAF=90°，∠QAT=∠AEF
∴△ATQ∽△EAF
∴
∴，
∴设BM=EN=x，则AM=10-x，
∴
∴在Rt△QTM中，
过点N作NP⊥BC于点P
∵NP⊥BC，EB⊥BC
∴NP//EB
∴△CNP∽△CEB，
∴
∵CN=CE-EN=10-x
∴，
∴
∵BG=5
∴
∴在Rt△GPN中，
∴GN=QM，
∴GM+GN=GM+QM，
∴作点Q关于AB的对称点Q'，连接GQ'交BE于点M'，
∴QM=Q'M
∴GM+GN=GM+Q'M'≥GQ'
当且仅当点M与点M'重合时取等号
∵点Q'与点Q关于AB对称，
∴Q'T⊥AB，且
过点Q'作Q'S⊥BC，交CB延长线于点S，
∵QT⊥AB，Q'S⊥BC，AB⊥BC，
∴四边形Q'TBS为矩形
∴，，
∴
∴在Rt△Q'SG中，
∴，
∴GM+GN的最小值为
故答案为：.
【分析】先由勾股定理求出EF、CE等线段长，再通过构造点Q使∠QAB=∠AEF且AQ=AF=3，利用相似三角形证明GN=QM，从而将GM+GN转化为GM+QM，最后由“两点之间线段最短”求出最小值.
19．【答案】（1）解：原式：
（2）解：原式
当a=-3时，原式
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】(1)根据二次根式的性质、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根计算各项，再过行加减运算即可；
(2)根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，再把a=-3代入计算即可.
20．【答案】（1）20；35；1；2
（2）解：
∴这组数据的平均数为2
（3）解：若女同学定点投篮五次进球数量不小于3个为“优秀”，该校共有2000名女同学，
∵样本中女同学定点投篮进球数量不小于3个的人数为：3+1+1=5（人），
答：估计该校女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数约为500人
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：(1)∵8÷40%=20.
∴a=20
∵
∴m=35
进球数量为1个的人数最多，则定点投篮进球数量数据的众数为1个，
定点投篮进球数量数据的中位数是从小到大排列的第10和11个数，
中位数分别是；
故答案为：20，35，1，2.
【分析】(1)根据题意结合众数和中位数的定义求解即可；
(2)根据平均数的定义求解即可；
(3)根据样本估计总体求解即可.
21．【答案】（1）解：设A配件的进货单价是x元，B配件的进货单价是y元，
根据题意得：
解得：
答：A配件的进货单价是250元，B配件的进货单价是60
（2）解：设购进m件A配件，则购进（300-m）件B配件，
根据题意得：300-m≥2m，
解得：m≤100，
设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为ω元，
根据题意得：w=250×20%m+60×（1.5-1）（300-m）=20m+9000，保存进入下一题
∵20>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=100时，w取得最大值，最大值为20×100+9000=11000，此时300-m=200.
答：购进A配件100件，B配件200件B时，才能让本次销售的利润达到最大，最大利润是11000元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设A配件的进货单价是x元，B配件的进货单价是y元，根据购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设购进m件A配件，则购进(300-m)件B配件，根据B配件进货件数不低于A配件件数的2倍，列出一元一次不等式，解得m≤100，再设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为w元，由题意列出w关于m的次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题.
22．【答案】（1）解：点A（a，3）在直线AB：y=x+2上
∴a+2=3
∴a=1
∴k=1×3=3.
令
解得
∴B（-3，-1）
即k=3，B（-3，-1）
（2）解：设点P（t，t+2）
∵PN∥x轴，PM∥y轴
∴yN=t+2
，即
PM=t+2
即
对称轴x=-1
∴当x=-1时，S△PMN的最大值是2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)将点A代入直线AB解析式中求出a=1，即可求出反比例函数解析式，再联立，即可求解；
(2)设点P（t，t+2），由于PN∥x轴，PM∥y轴，可得，PM=t+2，再利用三角形的面积公式可得，再根据二次函数的性质即可求解.
23．【答案】（1）解：四边形EFGH是菱形，理由如下：连接AO，CO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAO=∠GCO，在△EAO和△CGO中，
∴△EAO≌△CGO（ASA），
∴OE=OG，
同理可得OH=OF
又∵HF⊥EG，
∴四边形EFGH是菱形
（2）解：在CG上取点M，使CF=MF
∴∠DCB=∠CMF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠D+∠DCB=180°
又∵∠DMF+∠CMF=180°
∴∠D=∠DMF
∵菱形EFGH
∴HE∥GF，HG=GF
∴∠HGF+∠GHE=180°
∵∠D+∠GHE=180°
∴∠D=∠HGF
∵∠HGC=∠HGF+∠MGF=∠D+∠DHG
∴∠DHG=∠MGF
在△DHG，△MGF中，
∴△DHG≌△MGF（AAS）
∴DG=MF
∴DG=CF
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)四边形ABCD是平行四边形，得AB//CD，证明△EAO≌△CGO(ASA)，所以OE=OG，同理可得OH=OF，可证四边形EFGH是平行四边形，再根据HF⊥EG，即可证明四边形EFGH是菱形；
(2)在CG上取点M，使CF=MF，则有∠DCB=∠CMF，由四边形ABCD是平行四边形，则有AD//BC，所以∠D+∠DCB=180°，又∠DMF+∠CMF=180°，则∠D=∠DMF，然后通过四边形EFGH是菱形，证明HE//GF，HG=GF，所以∠HGF+∠GHE=180°，可得∠DHG=∠MGF，证明△DHG≌△MGF(AAS)，所以DG=MF，从而可证DG=CF.
24．【答案】（1）证明：连接OE
∵PE，PD是⊙O的切线
∴∠OEP=∠ODP=90°
∵OE=OD，OP=OP
∴Rt△OEP Rt△ODP（HL）
∴∠EOP=∠DOP
∵OC=OE
∴∠C=∠CEO
∵∠EOD=∠C+∠CEO
∴2∠POD=2∠C
∴∠POD=∠C
∴CE∥OB
（2）解：连接DE交OB于点F
∵CD为直径
∴∠CED=90°
∵CE∥OB
∴∠OFE+∠CED=180°
∴∠OFE=90°
∵FD⊥OB，OB为半径
∴EF=DF
又CO=OD
在△CED中，点O，F是CD，ED的中点
设半径为r
在Rt△OFE，Rt△BFE中，OF=2，BE=
即r2-2r-3=0
解得：r=3或r=-1（舍去）
∴OO的半径为3.
（3）解：过点C作CG⊥PE交PE延长线于点G
∵∠EOF+∠OEF=90°
∠EOF+∠OPE=90°
∴∠OEF=∠OPE
又CE∥OB
∴∠CEG=∠OPE=∠OEF
又∠G=∠EFO=90°
∴△OEF∽△CEG
又·
又△OEF∽△OPE
在Rt△PCG中：
【知识点】勾股定理；切线的性质；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)连接OE，根据切线的性质可得∠OEP=∠ODP=90°，证明Rt△OEP Rt△ODP，再利用同位角相等，两直线平行即可求证；
(2)连接DE交OB于点F，根据平行四边形的性质可得∠OFE=90°，再利用三角形的中位线可得，设半径为r，根据勾股定理列出方程，求解即可；
(3)过点C作CG⊥PE交PE延长线于点G，证明△OEF∽△CEG，△OEF∽△OPE，再根据相似三角形对应边的性质可得，，再根据正切值的概念求解即可.
25．【答案】（1）解：点A（-1，0），B（3，0）在抛物线C1上，
∴y=-（x+1）（x-3）.
即
（2）解：∵点E在抛物线上
∴设
过点E作EP∥x轴交AC于点P
∵A（-1，0），C（0，3）
∴直线AC的解析式为：y=3x+3
即
解得（舍去）
由平移性质得，AODE
（3）解：由平移性质知：D'E'DEOA，DG∥D'G'
又∵C1的对称轴x=1
∵DG∥D'G'
直线D'G'的解析式为：
令
解得：
∵D在y=kx的图象上，又k=1
∴设D（m，m）
则C2是由C1向右平移个单位，再上平移的个单位而得
∵C1的顶点坐标是（1，4），
∴C2的顶点坐标为
设C2的解析式为：
∴△OGH是等腰直角三角形
∴OH=2x0=2m-4
∴H（2m-4，0）
将点H（2m-4，0）代入C2解析式得：
即
解得m=6或m=2（此时点G、O重合，舍去）
∴C2顶点坐标为
【知识点】三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)利用交点式求二次函数解析式即可；
(2)设，过点E作EP//x轴交AC于点P，则可得，利用面积公式，再结合得，，从而可以求出，利用的平移的性质即可求解：
(3)根据平移的性质可得，D'E'=1，根据二次函数的对称性得，利用平移的性质得直线D'G'的解析式为，从而得到，设D(m，m)，则C2是由C1向右平移个单位，再上平移个单位而得，可得设C2的解析式为，再根据∠DGH=90°和k=1得△OGH是等腰汽角三角彤，即可列式求解.
1 / 1四川省绵阳市游仙区初中毕业生2026年数学学业水平检测试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1． -的相反数是（　　）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数.
2．在平面直角坐标系中，点P（-5，3）关于原点的对称点P'的坐标为（　　）
A．（3，-5） B．（-5，-3） C．（5，-3） D．（5，3）
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，点P(-5，3)关于原点的对称点P'的坐标为(5，-3).
故答案为：C.
【分析】直接利用平面直角坐标系中关于原点对称点的坐标性质求解即可.
3． 2025年7月1日，国家航天局发布了与地球距离超12000000千米的“天问二号”行星探测器在轨拍摄的地月影像图.将数据12000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：12000000=1.2×107，
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4． 如图，已知 BC 是圆柱底面的直径，AB 是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝. 现将圆柱侧面沿AB 剪开，所得的圆柱侧面展开图是 (　　).
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图；圆柱的展开图
【解析】【解答】解：根据两点之间线段最短，可得展开图中，AC和A'C的连线非曲线，且不存在连线BC'，
故可排除答案BCD；
故答案为：A.
【分析】根据圆柱的侧面展开图以及点A和点C的位置，可得字母的分布，再根据“ 过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝”即可确定答案.
5．若式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠0 B．x≥-2且x≠0 C．x≥2 D．x≥-2
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得
解得：x≥-2且x≠0，
故答案为：B.
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式组求解.
6．如图，在平面直角坐标系中△AOB 与△COD 是位似图形，以原点O为位似中心，若CD=3AB，B点坐标为(2，1)，则点D的坐标为(　　)
A．(4， 2) B．(4， 6) C．(6， 3) D．(6， 2）
【答案】C
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴与的位似比为，
∵B点坐标为，
∴点D的坐标为，
故选：C．
【分析】根据位似变换的点的横、纵坐标同时乘以k或-k计算，得到答案．
7．如图，这是化学元素周期表中原子序数为11~15的元素，从中随机一次性选取两种元素，则这两种元素恰好都是非金属元素（硅、磷是非金属元素）的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表可得：
　 钠 镁 铝 硅 磷
钠 　 (镁，钠) (铝，钠) (硅，钠) (磷，钠)
镁 (钠，镁) 　 (铝，镁) (硅，镁) (磷，镁)
铝 (钠，铝) (镁，铝) 　 (硅，铝) (磷，铝)
硅 (钠，硅) (镁，硅) (铝，硅) 　 (磷，硅)
磷 (钠，磷) (镁，磷) (铝，磷) (硅，磷) 　
由表格可得，共有20种等可能出现的结果，其中这两种元素恰好都是非金属元素的情况有2种，
故这两种元素恰好都是非金属元素的概率为
故答案为：B.
【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可.
8．已知2是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）
A．8或10 B．10或14 C．10 D．14
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根
∴22-4m+3m=0，m=4
∴x2-8x+12=0.
解得x1=2，x2=6
①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2<6，不能构成三角形
∴它的周长是14.
故答案为：D.
【分析】先将x=2代入x2-2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2-8x+12=0，利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：①当6是腰时，2是底边；②当6是底边时，2是腰进行讨论，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验.
9．我国明代数学家程大位，（1533-1606）所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果苦果买一千.甜果九个十一文，苦果七个四文钱.试问甜苦果几个，又问各该几个钱，意思是：九百九十九文钱买了甜果苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个 每个甜果、苦果分别卖多少文钱 若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设买甜果x个，买苦果y个，
由题意可得：
故答案为：D.
【分析】设买甜果x个，买苦果y个，根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题.
10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为2cm，若G为CD的中点，连接AC、AG，则AG的长度为（　　）cm.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为2cm，若G为CD的中点，连接AG，
如图，连接 OC，AC，AD，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴，AD为⊙O的直径.
又∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=2cm
∵AD是⊙O的直径，
∴AD=4cm，∠ACD=90°
在Rt△ACD中，
∵G是CD的中点，
∴，
在Rt△ACG中，∠ACG=90°，
故答案为：C.
【分析】连接OC，AC，AD，根据正六边形的性质可得，AD为⊙O的直径，再根据圆的半径都相等可得△COD是等边三角形，进而求出CD=2cm，根据AD为⊙O的直径，得∠ACD=90°，利用勾股定理及中点的性质即可求解.
11．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为5，第1次运算结果输出的是8，返回进行第二次运算输出的是4，…，则第2026次输出的结果是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：把x=5代入得：5+3=8，
把x=8代入得：，
把x=4代入得：，
把x=2代入得：，
把x=1代入得：1+3=4，
把x=4代入得：，
...，
∴从第2次开始，输出结果以4，2，1这三个数不断循环出现.
∵(2026-1)÷3=675，
∴第2026次输出的结果是1.
故答案为：A.
【分析】把x=5代入程序中计算，以此类推得到循环规律，即可得出第2026次输出的结果.
12．如图，□ABCD，∠DAB=60°，AB=4，AD=3，点E、F分别在边BC、DC上，将△ABE沿AE翻折，点B恰好落在线段AF上的点G处，延长BG交DC于点H，若BE=2CE，则HF的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠DAB=60°，AB=4，AD=3，
∴BC=AD=3，CD=AB=4，∠ABC=180°-60°=120°，∠BCD=60°
又∵BE=2CE，
∴BE=2，CE=1
过点E作EK⊥AB于点K，
∵∠ABC=120°
∴∠EBK=60°
∵在Rt△BEK中，∠BEK=30°
∴，
∴
∴AK=AB+BK=5
∵在Rt△AKE中，AE2=AK2+EK2=25+3=28，
∴
∵△ABE沿AE翻折得到△AGE
∴△ABE≌△AGE
∴AG=AB=4，GE=BE=2，∠GAE=∠BAE，∠AGE=∠ABE=120°
∴∠BAG=2∠BAE.
∵AB=AG.
∴△ABG为等腰三角形
∵AE平分∠BAG
∴AE⊥BG于点M，且M为BG中点
∵∠BAM=∠KAE，∠AMB=∠AKE=90°
∴Rt△ABM∽Rt△AKE
∴，
∴，
∴
过点G作GP⊥AB于点P，
∵，
∴
过点A作AN⊥DC于点N，
∵∠ADC=120°
∴∠ADN=60°
∵在Rt△ADN中，∠DAN=30°
∴，
∴
∵AB//DC，
∴GP//AN
又∵A、G、F三点共线
∴
∴
∵在Rt△ANF中，
∴，
∴
∴，
∵B、G、H三点共线，且B在AB上，H在DC上，
∴
∴
过点B作BR⊥DC于点R
∴
∵在Rt△BRH中
，
∴，
∵AN⊥DC，BR⊥DC
∴AN//BR
又∵AB//DC
∴四边形ABRN为矩形
∴RN=AB=4
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】由BE=2CE及BC=AD=3得BE=2，作垂线构造直角三角形后利用勾股定理求得AE；由翻折性质可知△ABE △AGE，从而得到等腰△ABG，进而求得BG及点G到AB的距离；再利用平行线分线段成比例及勾股定理依次求出AF、BH，最后得到HF.
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上）
13．分解因式：3y2-6y+3=　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3y2-6y+3=3(y2-2y+1)=3(y-1)2.
故答案为：3(y-1)2.
【分析】首先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可.
14．已知与是同类项，则的值是　 　．
【答案】1
【知识点】同类项的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：与是同类项，
，
．
故答案为：1.
【分析】根据同类项的定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可得关于和的方程，解方程求出m、n的值，再代入所求代数式计算即可求解．
15．如图，已知EB∥DC，AD∥BC，BF平分∠EBC交AD于点G，若∠2=33°，则∠1的度数为　 　.
【答案】66°
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AD//BC，
∴∠FBC=∠2=33°
∵BF平分∠EBC，
∴∠EBC=2∠FBC=66°，
∵EB//DC，
∴∠1=∠EBC=66°
故答案为：66°.
【分析】由平行线的性质可得∠FBC=∠2=33°，由角平分线的定义可得∠EBC=66°，最后再由平行线的性质即可得出结果.
16．关于x的不等式组的最小整数解是5，则a的求值范围是　 　.
【答案】3≤a<5
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式2-x<0，得x>2，
解不等式2x-5>a，得
∵不等式组的最小整数解是5，大于2，
∴不等式组的解集为
∵不等式组的最小整数解为5
∴
∴3≤a<5.
故答案为：3≤a<5.
【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据最小整数解为5得到关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围.
17．如图1，绵阳富乐阁是富乐山景区标志性建筑，建筑样式是中国古建筑的智慧结晶，屋檐的八个角向上翘起，形成优美的曲线，这就是“飞檐翘角”，图2是飞檐翘角截面示意图，这部分由檐椽线段AB，飞檐BC构成，AB与BC相切，某一光线CD与相切于点C，延长AB到点E，点D，E在同一水平线上，BM⊥DE于M，CN⊥DE于N.已知BM=1m，CD=1.5m，MN=0.7m，∠CDE=37°，∠BED=53°，则弧BC的长度为　 　米.（结果保留π，参考数据：）
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：记圆心为点O，连接OB，OC，过点C作CK⊥BM于点K，
∵BM⊥DE，CN⊥DE
∴四边形MKCN为矩形
∴MN=CK=0.7m，CN=KM
∵AB与BC相切，某一光线CD与BC相切于点C
∴OB⊥AB，OC⊥CD
∵∠CDE=37°，∠BED=53°
∴∠DTE=∠BTC=180°-(37°+53°)=90°
∴四边形OBTC是矩形
∴∠BOC=90°
在Rt△CDN中，
∴，
∴BK=BM-KM=BM-CN=1-0.9=0.1m，
∴
∵OB=OC，∠BOC=90°
∴
∴弧BC的长度为：
故答案为：.
【分析】记圆心为点O，连接OB，OC，过点C作CK⊥BM于点K，则MN=CK=0.7m，CN=KM，根据圆的切线的性质得到OB⊥AB，OC⊥CD，再证明四边形OBTC是矩形，则∠BOC=90°，解Rt△CDN，求出CN=0.9m，则BK=BM-KM=0.1m，再由勾股定理求解，再求解半径，最后由弧长公式求解即可.
18．如图，矩形ABCD，AB=10，BC=8，点E，F，G分别在AB，AD，BC上，AF=3，AE=4，BG=5，连接EF，EC，点M，N是线段BE，CE上的动点，且BM=EN，则GM+GN的最小值为　 　.
【答案】2
【知识点】矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB=10，BC=8
∴∠A=∠B=∠C=90°
∵AE=4.
∴BE=AB-AE=6
∵AF=3
∴在Rt△AEF中，EF2=AE2+AF2=16+9=25
∴EF=5
∵在Rt△CBE中，CE2=BC2+BE2=64+36=100.
∴CE=10
∴在矩形内部作点Q，使∠QAB=∠AEF，且AQ=AF=3
过点Q作QT⊥AB于点T，
∵∠ATQ=∠EAF=90°，∠QAT=∠AEF
∴△ATQ∽△EAF
∴
∴，
∴设BM=EN=x，则AM=10-x，
∴
∴在Rt△QTM中，
过点N作NP⊥BC于点P
∵NP⊥BC，EB⊥BC
∴NP//EB
∴△CNP∽△CEB，
∴
∵CN=CE-EN=10-x
∴，
∴
∵BG=5
∴
∴在Rt△GPN中，
∴GN=QM，
∴GM+GN=GM+QM，
∴作点Q关于AB的对称点Q'，连接GQ'交BE于点M'，
∴QM=Q'M
∴GM+GN=GM+Q'M'≥GQ'
当且仅当点M与点M'重合时取等号
∵点Q'与点Q关于AB对称，
∴Q'T⊥AB，且
过点Q'作Q'S⊥BC，交CB延长线于点S，
∵QT⊥AB，Q'S⊥BC，AB⊥BC，
∴四边形Q'TBS为矩形
∴，，
∴
∴在Rt△Q'SG中，
∴，
∴GM+GN的最小值为
故答案为：.
【分析】先由勾股定理求出EF、CE等线段长，再通过构造点Q使∠QAB=∠AEF且AQ=AF=3，利用相似三角形证明GN=QM，从而将GM+GN转化为GM+QM，最后由“两点之间线段最短”求出最小值.
三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．
（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中a=-3.
【答案】（1）解：原式：
（2）解：原式
当a=-3时，原式
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】(1)根据二次根式的性质、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根计算各项，再过行加减运算即可；
(2)根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，再把a=-3代入计算即可.
20．某中学为了解本校女同学定点投篮水平，从该校女生中随机抽取a名女同学进行测试，每人定点投篮五次.根据进球统计的数据结果，绘制出如图的统计图1和图2.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为　 　，图1中m的值为　 　，统计的这组女同学定点投篮进球数量数据的众数和中位数分别是　 　和　 　；
（2）求统计的这组女同学定点投篮进球数量数据的平均数；
（3）若女同学定点投篮五次进球数量不小于3个为“优秀”，该校共有2000名女同学，请估计该校女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数约为多少
【答案】（1）20；35；1；2
（2）解：
∴这组数据的平均数为2
（3）解：若女同学定点投篮五次进球数量不小于3个为“优秀”，该校共有2000名女同学，
∵样本中女同学定点投篮进球数量不小于3个的人数为：3+1+1=5（人），
答：估计该校女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数约为500人
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：(1)∵8÷40%=20.
∴a=20
∵
∴m=35
进球数量为1个的人数最多，则定点投篮进球数量数据的众数为1个，
定点投篮进球数量数据的中位数是从小到大排列的第10和11个数，
中位数分别是；
故答案为：20，35，1，2.
【分析】(1)根据题意结合众数和中位数的定义求解即可；
(2)根据平均数的定义求解即可；
(3)根据样本估计总体求解即可.
21． 2026年央视春晚，人形机器人不再是简单的伴舞或者背景板而是以“演员”“劳动者”甚至“情感伙伴”的身份深度融入节目，人形机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长、某公司旗下人形机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件.已知购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元.
（1）求A，B两种配件的进货单价；
（2）若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，B配件进货件数不低于A配件件数的2倍.据市场销售分析，A配件提价20%销售，B配件按进价的1.5倍销售.怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大 最大利润是多少
【答案】（1）解：设A配件的进货单价是x元，B配件的进货单价是y元，
根据题意得：
解得：
答：A配件的进货单价是250元，B配件的进货单价是60
（2）解：设购进m件A配件，则购进（300-m）件B配件，
根据题意得：300-m≥2m，
解得：m≤100，
设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为ω元，
根据题意得：w=250×20%m+60×（1.5-1）（300-m）=20m+9000，保存进入下一题
∵20>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=100时，w取得最大值，最大值为20×100+9000=11000，此时300-m=200.
答：购进A配件100件，B配件200件B时，才能让本次销售的利润达到最大，最大利润是11000元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设A配件的进货单价是x元，B配件的进货单价是y元，根据购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设购进m件A配件，则购进(300-m)件B配件，根据B配件进货件数不低于A配件件数的2倍，列出一元一次不等式，解得m≤100，再设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为w元，由题意列出w关于m的次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题.
22．如图，双曲线与直线AB：y=x+2的图象交于点A（a，3），点B，直线AB与x轴于点C，动点P在线段AC上，过点P分别作PN∥x轴，PM∥y轴交双曲线于点N、x轴于点M，连接MN.
（1）求k的值及点B的坐标：
（2）求S△PMN的面积的最大.
【答案】（1）解：点A（a，3）在直线AB：y=x+2上
∴a+2=3
∴a=1
∴k=1×3=3.
令
解得
∴B（-3，-1）
即k=3，B（-3，-1）
（2）解：设点P（t，t+2）
∵PN∥x轴，PM∥y轴
∴yN=t+2
，即
PM=t+2
即
对称轴x=-1
∴当x=-1时，S△PMN的最大值是2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)将点A代入直线AB解析式中求出a=1，即可求出反比例函数解析式，再联立，即可求解；
(2)设点P（t，t+2），由于PN∥x轴，PM∥y轴，可得，PM=t+2，再利用三角形的面积公式可得，再根据二次函数的性质即可求解.
23．如图，过 ABCD的对角线AC的中点⊙作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE.
（1）试判断四边形EFGH的形状并说明理由；
（2）若∠D+∠GHE=180°，求证：DG=CF.
【答案】（1）解：四边形EFGH是菱形，理由如下：连接AO，CO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAO=∠GCO，在△EAO和△CGO中，
∴△EAO≌△CGO（ASA），
∴OE=OG，
同理可得OH=OF
又∵HF⊥EG，
∴四边形EFGH是菱形
（2）解：在CG上取点M，使CF=MF
∴∠DCB=∠CMF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠D+∠DCB=180°
又∵∠DMF+∠CMF=180°
∴∠D=∠DMF
∵菱形EFGH
∴HE∥GF，HG=GF
∴∠HGF+∠GHE=180°
∵∠D+∠GHE=180°
∴∠D=∠HGF
∵∠HGC=∠HGF+∠MGF=∠D+∠DHG
∴∠DHG=∠MGF
在△DHG，△MGF中，
∴△DHG≌△MGF（AAS）
∴DG=MF
∴DG=CF
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)四边形ABCD是平行四边形，得AB//CD，证明△EAO≌△CGO(ASA)，所以OE=OG，同理可得OH=OF，可证四边形EFGH是平行四边形，再根据HF⊥EG，即可证明四边形EFGH是菱形；
(2)在CG上取点M，使CF=MF，则有∠DCB=∠CMF，由四边形ABCD是平行四边形，则有AD//BC，所以∠D+∠DCB=180°，又∠DMF+∠CMF=180°，则∠D=∠DMF，然后通过四边形EFGH是菱形，证明HE//GF，HG=GF，所以∠HGF+∠GHE=180°，可得∠DHG=∠MGF，证明△DHG≌△MGF(AAS)，所以DG=MF，从而可证DG=CF.
24．如图，AB，CD是⊙O的直径，PD，PE是⊙O的切线，连接CE，EB.
（1）求证：CE∥OB
（2）若，求⊙O的半径
（3）连接PC，在（2）的条件下，求tan∠EPC的值.
【答案】（1）证明：连接OE
∵PE，PD是⊙O的切线
∴∠OEP=∠ODP=90°
∵OE=OD，OP=OP
∴Rt△OEP Rt△ODP（HL）
∴∠EOP=∠DOP
∵OC=OE
∴∠C=∠CEO
∵∠EOD=∠C+∠CEO
∴2∠POD=2∠C
∴∠POD=∠C
∴CE∥OB
（2）解：连接DE交OB于点F
∵CD为直径
∴∠CED=90°
∵CE∥OB
∴∠OFE+∠CED=180°
∴∠OFE=90°
∵FD⊥OB，OB为半径
∴EF=DF
又CO=OD
在△CED中，点O，F是CD，ED的中点
设半径为r
在Rt△OFE，Rt△BFE中，OF=2，BE=
即r2-2r-3=0
解得：r=3或r=-1（舍去）
∴OO的半径为3.
（3）解：过点C作CG⊥PE交PE延长线于点G
∵∠EOF+∠OEF=90°
∠EOF+∠OPE=90°
∴∠OEF=∠OPE
又CE∥OB
∴∠CEG=∠OPE=∠OEF
又∠G=∠EFO=90°
∴△OEF∽△CEG
又·
又△OEF∽△OPE
在Rt△PCG中：
【知识点】勾股定理；切线的性质；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)连接OE，根据切线的性质可得∠OEP=∠ODP=90°，证明Rt△OEP Rt△ODP，再利用同位角相等，两直线平行即可求证；
(2)连接DE交OB于点F，根据平行四边形的性质可得∠OFE=90°，再利用三角形的中位线可得，设半径为r，根据勾股定理列出方程，求解即可；
(3)过点C作CG⊥PE交PE延长线于点G，证明△OEF∽△CEG，△OEF∽△OPE，再根据相似三角形对应边的性质可得，，再根据正切值的概念求解即可.
25．如图1，抛物线过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，将△AOC沿直线y=kx（k>0）平移得到△BDF，点A、O、C分别对应点E、D、F.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E落在抛物线上时，，求k的值：
（3）如图2，抛物线C1平移得到抛物线图象经过点D、E，抛物线与直线y=kx交于另一点G，与对称轴右侧的x轴交于点H，其中点D、E、G与图象上的D'、E'、G'对应，当k=1时，若求C2的顶点坐标.
【答案】（1）解：点A（-1，0），B（3，0）在抛物线C1上，
∴y=-（x+1）（x-3）.
即
（2）解：∵点E在抛物线上
∴设
过点E作EP∥x轴交AC于点P
∵A（-1，0），C（0，3）
∴直线AC的解析式为：y=3x+3
即
解得（舍去）
由平移性质得，AODE
（3）解：由平移性质知：D'E'DEOA，DG∥D'G'
又∵C1的对称轴x=1
∵DG∥D'G'
直线D'G'的解析式为：
令
解得：
∵D在y=kx的图象上，又k=1
∴设D（m，m）
则C2是由C1向右平移个单位，再上平移的个单位而得
∵C1的顶点坐标是（1，4），
∴C2的顶点坐标为
设C2的解析式为：
∴△OGH是等腰直角三角形
∴OH=2x0=2m-4
∴H（2m-4，0）
将点H（2m-4，0）代入C2解析式得：
即
解得m=6或m=2（此时点G、O重合，舍去）
∴C2顶点坐标为
【知识点】三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)利用交点式求二次函数解析式即可；
(2)设，过点E作EP//x轴交AC于点P，则可得，利用面积公式，再结合得，，从而可以求出，利用的平移的性质即可求解：
(3)根据平移的性质可得，D'E'=1，根据二次函数的对称性得，利用平移的性质得直线D'G'的解析式为，从而得到，设D(m，m)，则C2是由C1向右平移个单位，再上平移个单位而得，可得设C2的解析式为，再根据∠DGH=90°和k=1得△OGH是等腰汽角三角彤，即可列式求解.
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