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浙江省金华市第十五中学2025-2026学年八年级下学期数学期中试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．化简 的结果是(　　)
A．3 B．-3 C．±3 D．9
2．如图，在四边形ABCD中， ∠A =80°， ∠D =110°，与∠α相邻的外角是70°，则∠β的度数是(　　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．用反证法证明“如果|a|>a，那么a<0.”是真命题时，应先假设（　　）
A．|a|≤a B．|a|0 D．a≥0
4．小明在八年级第一学期的数学成绩如下表所示.如果按照扇形图中所显示的权重计算，那么小明该学期数学的总评得分为(　　)
项目 平时 期中 期末
成绩(分) 90 85 90
A．85分 B．88.5分 C．90分 D．90.5分
5． 抛物线与y轴的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．点(-2，y1)， (-3，y2)是抛物线 上的点，则 y1，y2的大小关系为(　　)
A． B． C． D．无法确定
7． 已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
8．如图，在△ABC中， ∠B =45°， ∠C =60°， AD⊥BC于点D， 若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为(　　)
A． B． C．1 D．
9．如图，在四边形ABCD中， E， F， G， H分别是AB， BC， CD， DA的中点.有下列结论：
①四边形EFGH是平行四边形；
②若AC = BD，则四边形EFGH是菱形；
③若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形；
④若AC = BD， AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形.
上述四个结论中正确的是(　　)
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
10．抛物线 的一部分如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x =1，有下列结论： ①abc>0； ②2a+b=0； ③方程 c=3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-2，0)；⑤若点A(m，n)在该抛物线上，则其中正确的有(　　)
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．二次根式 中， x的取值范围是　 　.
12．已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是　 　．
13．在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为109，116，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数为　 　
14．如图，在菱形ABCD中， AC =6， BD =8，则AB =　 　.

15． 我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，的坐标为，，固定点，，把矩形沿轴正方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为　 　．
16．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到△ECF，则①∠CDG =　 　；②若AB =2，则EF =　 　.
三、解答题：本大题共8题，共72分。
17．计算
（1）
（2）
18．解方程
（1）
（2）
19．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上.请仅用无刻度的直尺在网格中作图.
（1）在图 ①中，画△ABC的中位线DE，使点D在边AB上，使点E在边BC上；
（2）在图 ②中， 以AB为对角线， 画正方形AMBN；
（3）在图 ③中，以AB为边，画平行四边形ABPQ，使平行四边形ABPQ的面积为6；
20．某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组（每组20人）进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图。
甲组成绩统计表
成绩/分 7 8 9 10
人数 1 9 5 5
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲组成绩的中位数是　 　，乙组成绩的众数是　 　。
（2）求出乙组成绩的平均数。
（3）已知甲组成绩的方差为求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定。
21．如图，已知抛物线 经过A(1，0)， B(0，2)两点， 顶点为D.
（1）分别求抛物线 和直线AB 的解析式；
（2）请根据图象直接写出： 时x的取值范围；
22．如图，在四边形ABCD中， AD//BC， BC=2AD， ∠BAC=90°， E为BC的中点.
（1）求证：四边形AECD是菱形.
（2）若CD=5， AC=8，求四边形ABCD的周长.
23． 二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．
①求这个函数“倍值点”的坐标；
②若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
24．【问题情境】如图1，在△ABC中， ∠BAC=45°， AD⊥BC于D， BD=3， DC=2，求AD的长.
【问题解决】小明同学是这样分析的：将△ABD沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AC翻折得到△ACF，延长EB、FC相交于点G，设AD为x，在Rt△GBC中运用勾股定理，可以求出AD的长.
（1）说明四边形AEGF 是正方形；
（2）求出AD的长.
（3）【方法提炼】请用小明的方法解决以下问题：
如图2，四边形ABCD中， ∠BAD=45°， BC=6， CD=8， BD=10，求AC的最大值.
（4）如图3，四边形ABCD中， BC=6， AD=2，点E是AB上一点，且∠DEC=135°，AE=3，BE=4，则CD的最大值是多少 (直接写出结果)
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式
故选： A.
【分析】根据算术平方根的定义， 因此先计算平方，再取非负平方根.
2．【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解： ∵与∠α相邻的外角是70°，
∴∠α=180°-70°=110°，
∵四边形ABCD的内角和是(4-2)×180°=360°
∴∠β=360°-∠A-∠D-∠α=360°-80°-110°-110°=60°，
故选： B.
【分析】先求出∠α的度数，再根据四边形内角和即可求出∠β的度数.
3．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： “如果 那么a<0.”是真命题时，用反证法证明第一步应假设
故答案为：D.
【分析】用反正法证明命题应先假设结论的反面成立，据此解答即可.
4．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：
(分)，则小明该学期的总评得分为88.5.
故答案为： 88.5 .
【分析】根据平时，期中以及期末的成绩乘以各自的百分比，结果相加即可得到总得分.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：在抛物线y=x2-2x+1中，
当x=0时，y=1，
∴抛物线y=x2-2x+1与y轴的交点坐标为（0，1），
故答案为：A .
【分析】将x=0代入解析式，即可解答．
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴当x<-1时，y随x的增大而增大，
故选： A.
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=-1，然后根据二次函数的性质得到y 的大小关系.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2-2ax+2=0的两个实数根相等，
∴a≠0，Δ=（-2a）2-4×a×2=0，
解得：a=2．
故答案为： C.
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ=0，可列出关于a的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出a的值．
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∴∠DAC=30°，
∴AC=2CD，
∴AC2-CD2=AD2，即(2CD)2-CD2=，
解得CD=1，
∵E， F分别为AB， BC的中点，
故答案为：C.
【分析】根据等边对等角得到AD长，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AC长，然后根据三角形的中位线性质解答即可.
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；中点四边形模型
【解析】【解答】解： ∵在四边形ABCD中， E， F， G， H依次是AB， BC， CD， DA的中点，
∴ ，
∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；
当AC=BD时，则：HG=EH，
∴四边形EFGH是菱形；故②正确；
当 时，则：
∴四边形EFGH是矩形；故③正确；
当 则：
∴四边形EFGH是正方形；故 ④正确；
故选：D.
【分析】根据三角形的中位线定理，菱形，矩形和正方形的判定方法逐一进行判断即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∵抛物线的对称轴
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
故①错误；
∵抛物线的对称轴
故②正确；
∵抛物线与x轴交于两个点，
∴方程 有两个不相等的实数根，故③正确；
④设抛物线与x轴的另个交点为(
∵抛物线与x轴一个交点为(4，0)，且对称轴为x=1，
解得
∴抛物线与x轴的另一个交点为((-2，0)，故④正确；
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴该二次函数在：x=1处取得最大值，
故⑤正确，
∴正确的有4个，
故选B.
【分析】抛物线开口向下，对称轴 与y轴的正半轴相交.抛物线与x轴有两个交点，其对应一元二次方程有两个不相等的实数根.
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式中被开方数大于等于0，
∴x-1≥0，
∴ .
故答案为：x≥1.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，据此解答即可.
12．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方差的另一个根是t，
∵关于x的方程的一个根是，
∴-4t=-20，
解得：t=5，
即它的另一个根是5，
故答案为：5.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出-4t=-20，再求解即可。
13．【答案】134
【知识点】四分位数
【解析】【解答】这组数据的中位数为126，上四位数为134，
故答案为：134.
【分析】根据上四分位数的定义解答即可.
14．【答案】5
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，∵四边形ABCD是菱形，
故答案为：5.
【分析】根据菱形对角线平分且垂直，结合勾股定理列式运算求解即可.
15．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由勾股定理，得
即，
∵矩形ABCD的边AB在x轴上，
∴四边形ABC'D'是平行四边形，AD'=BC'，C'D'=AB=3-(-2)=5，C'与D'的纵坐标相等，
∴C'的坐标为
故答案为：.
【分析】根据勾股定理，可得OD'，根据平行四边形的性质，可得答案.
16．【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：①第一次折叠，如图②，
由折叠的性质，
②第二次折叠，如图③，
由折叠的性质，
即 是等腰直角三角形，
即
故答案为：
【分析】第一次翻折可得 四边形AGED是正方形，第二次折叠可得 是等腰直角三角形，从而求出. 然后求出CE=2- 再根据 从而得出.EF=EC.
17．【答案】（1）解：原式=3-2=1.
（2）解：原式.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据平方差公式计算即可；
（2）先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
18．【答案】（1）解：
（2）解：
或x-3=0，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)移项，利用直接开平方法解一元二次方程即可；
(2)先移项，提取公因式(x-2)，利用因式分解法解一元二次方程即可.
19．【答案】（1）解：如图1中，线段DE即为所求；
（2）解：如图2中，正方形AMBN即为所求；
（3）解：如图3中，四边形ABPQ即为所求.
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】(1)利用网格特征周长AB， BC的中点D， E，连接DE解即可；
(2)根据正方形的判定作出图形；
(3)根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形即可.
20．【答案】（1）8.5；8
（2）解：分；
（3）解：∵乙组的平均数是，
∴其方差为：
∵，
故乙组更加稳定些．
【知识点】统计表；条形统计图；加权平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：（1）根据题意，甲组成绩的是中间两个数据8和9的平均数，
故中位数是，
乙组中，成绩为8的数据出现了9次，次数最多，
故乙组数据的众数是8，
故答案为：8，5，8．
【分析】
(1)根据中位数，众数的定义解答即可．
(2)运用加权平均数公式计算解答．
(3)根据方差算公式计算出乙组的房产，然后比较两组的方差，根据方差小的成绩稳定解答即可.
21．【答案】（1）解： 把A(1， 0)， B(0， 2)代入，得
解得
∴该抛物线解析式是：
把A(1， 0)， B(0， 2)代入 得
解得
∴该直线的解析式是y=-2x+2；

（2）x<0或x>1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】(2)由图象得到：当x<0或x>1时，二次函数 的值大于一次函数 的值；
故答案为：x<0或x>1.
【分析】(1)把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式、直线解析式，求得系数即可；
(2)结合函数图象可以直接得到答案；
(3)根据旋转的知识可得： A(1， 0)， B(0， 2)，由OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为(3，1)，可知抛物线 过点(3，1)，故可知将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.于是得到平移后的抛物线解析式.
22．【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，E 为BC 的中点，
∴BC=2CE=2AE.
∵BC=2AD，∴AD=AE=CE.∵AD∥BC，
∴四边形 AECD 是平行四边形.
∵AE=CE，
∴平行四边形AECD 是菱形.
（2）解：∵四边形AECD 是菱形，CD=5，
∴AD=CD=EC=BE=5.
∴四边形 ABCD 的周长=AB+BC+CD+AD=26.
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到AD=AE=CE，再根据AD∥BC证明结论即可；
（2）根据菱形的性质得到AD=CD=EC=BE=5，然后根据勾股定理求出AB长，计算周长即可.
23．【答案】（1）解：由题意得：
解得：
∴这个二次函数的解析式为
（2）解：①将(k，2k)代入二次函数 得：
解得：
∴这个函数“倍值点”的坐标为(5，10)或(
②由题意得P(m，n)是该二次函数图象上( 与(5，10)之间的点，
∵二次函数 的开口向上，对称轴为直线x =1，
∴当 时， 1时，n取最小值，为
当m=5时，n取最大值，为 10，
∴n的最大值与最小值的差为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)根据点(4，3)和对称轴，利用待定系数法求解析式即可；
(2)①将(k，2k)代入函数表达式， 求k即可； ②根据①可知m的取值范围，再根据二次函数的开口方向和对称轴，确定在自变量m的取值范围内二次函数的最大值和最小值即为n的最大值和最小值，进而得到n的最大值与最小值的差.
24．【答案】（1）解： ∵将△ABD沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AC翻折得到△ACF，
∴AE=AD=AF， BD=BE=3， DC=CF=2， ∠BAD=∠BAE， ∠CAD=∠CAF， ∠E=∠ADB=90°， ∠F=∠ADC=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠EAF=∠BAD+∠BAE+∠CAD+∠CAF=90°，
∴四边形AEGF是矩形，
∵AE=AF，
∴四边形AEGF是正方形；
（2）解：设AD=x=AE=AF，
∵四边形AEGF是正方形，
∴AE=EG=GF=AF， ∠G=90°，
∴BG=x-3， CG=x-2，
在Rt△GBC中，
∴x=6(负值舍去)，
∴AD=6；
（3）解：如图2，将△ABC沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AD翻折得到△ADF，连接EF，
∴AE=AC=AF， ∠BAC=∠BAE， ∠CAD=∠DAF， BE=BC=6， CD=DF=8，
∵∠BAD=45°，
∴∠EAF=90°，
∴EF=AE= AC，
∵BC=6， CD=8， BD=10，
∴∠BCD=90°，
当BE，BD，DF三条线段共线时，EF有最大值=6+8+10=24，
则AC的最大值==；

（4）13
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；费马点模型
【解析】【解答】解：（4）如图3，将 沿着DE翻折得到 将 沿着CE翻折得到 连接MN，
则AD=DN=2 ， BC=CM=6 ， AE=NE=3 ， ME=BE=
当DN， MN， MC三条线段共线时， CD有最大值=2+5+6=13，
故答案为：13.
【分析】(1)由折叠的性质可得AE=AD=AF， BD=BE=3，DC=CF=2，∠BAD=∠BAE，∠CAD=∠CAF，∠E=∠ADB=90°， ∠F=∠ADC=90°，可证四边形AEGF是正方形；
(2)由正方形的性质可得AE=EG=GF=AF， ∠G=90°，由勾股定理可求解；
(3)将△ABC沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AD翻折得到△ADF，由折叠的性质可求EF=AC，当BE， BD， DF三条线段共线时， EF有最大值=6+8+10=24，即可求解；
(4)由折叠的性质可得AD=DN=2， BC=CM=6， AE=EN=3， EB=EM=4， ∠AED=∠DEN， ∠CEB=∠CEM，可求MN=5，当DN， MN， MC三条线段共线时，CD有最大值.
1 / 1浙江省金华市第十五中学2025-2026学年八年级下学期数学期中试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．化简 的结果是(　　)
A．3 B．-3 C．±3 D．9
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式
故选： A.
【分析】根据算术平方根的定义， 因此先计算平方，再取非负平方根.
2．如图，在四边形ABCD中， ∠A =80°， ∠D =110°，与∠α相邻的外角是70°，则∠β的度数是(　　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解： ∵与∠α相邻的外角是70°，
∴∠α=180°-70°=110°，
∵四边形ABCD的内角和是(4-2)×180°=360°
∴∠β=360°-∠A-∠D-∠α=360°-80°-110°-110°=60°，
故选： B.
【分析】先求出∠α的度数，再根据四边形内角和即可求出∠β的度数.
3．用反证法证明“如果|a|>a，那么a<0.”是真命题时，应先假设（　　）
A．|a|≤a B．|a|0 D．a≥0
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： “如果 那么a<0.”是真命题时，用反证法证明第一步应假设
故答案为：D.
【分析】用反正法证明命题应先假设结论的反面成立，据此解答即可.
4．小明在八年级第一学期的数学成绩如下表所示.如果按照扇形图中所显示的权重计算，那么小明该学期数学的总评得分为(　　)
项目 平时 期中 期末
成绩(分) 90 85 90
A．85分 B．88.5分 C．90分 D．90.5分
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：
(分)，则小明该学期的总评得分为88.5.
故答案为： 88.5 .
【分析】根据平时，期中以及期末的成绩乘以各自的百分比，结果相加即可得到总得分.
5． 抛物线与y轴的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：在抛物线y=x2-2x+1中，
当x=0时，y=1，
∴抛物线y=x2-2x+1与y轴的交点坐标为（0，1），
故答案为：A .
【分析】将x=0代入解析式，即可解答．
6．点(-2，y1)， (-3，y2)是抛物线 上的点，则 y1，y2的大小关系为(　　)
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴当x<-1时，y随x的增大而增大，
故选： A.
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=-1，然后根据二次函数的性质得到y 的大小关系.
7． 已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2-2ax+2=0的两个实数根相等，
∴a≠0，Δ=（-2a）2-4×a×2=0，
解得：a=2．
故答案为： C.
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ=0，可列出关于a的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出a的值．
8．如图，在△ABC中， ∠B =45°， ∠C =60°， AD⊥BC于点D， 若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为(　　)
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∴∠DAC=30°，
∴AC=2CD，
∴AC2-CD2=AD2，即(2CD)2-CD2=，
解得CD=1，
∵E， F分别为AB， BC的中点，
故答案为：C.
【分析】根据等边对等角得到AD长，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AC长，然后根据三角形的中位线性质解答即可.
9．如图，在四边形ABCD中， E， F， G， H分别是AB， BC， CD， DA的中点.有下列结论：
①四边形EFGH是平行四边形；
②若AC = BD，则四边形EFGH是菱形；
③若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形；
④若AC = BD， AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形.
上述四个结论中正确的是(　　)
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；中点四边形模型
【解析】【解答】解： ∵在四边形ABCD中， E， F， G， H依次是AB， BC， CD， DA的中点，
∴ ，
∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；
当AC=BD时，则：HG=EH，
∴四边形EFGH是菱形；故②正确；
当 时，则：
∴四边形EFGH是矩形；故③正确；
当 则：
∴四边形EFGH是正方形；故 ④正确；
故选：D.
【分析】根据三角形的中位线定理，菱形，矩形和正方形的判定方法逐一进行判断即可.
10．抛物线 的一部分如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x =1，有下列结论： ①abc>0； ②2a+b=0； ③方程 c=3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-2，0)；⑤若点A(m，n)在该抛物线上，则其中正确的有(　　)
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∵抛物线的对称轴
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
故①错误；
∵抛物线的对称轴
故②正确；
∵抛物线与x轴交于两个点，
∴方程 有两个不相等的实数根，故③正确；
④设抛物线与x轴的另个交点为(
∵抛物线与x轴一个交点为(4，0)，且对称轴为x=1，
解得
∴抛物线与x轴的另一个交点为((-2，0)，故④正确；
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴该二次函数在：x=1处取得最大值，
故⑤正确，
∴正确的有4个，
故选B.
【分析】抛物线开口向下，对称轴 与y轴的正半轴相交.抛物线与x轴有两个交点，其对应一元二次方程有两个不相等的实数根.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．二次根式 中， x的取值范围是　 　.
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式中被开方数大于等于0，
∴x-1≥0，
∴ .
故答案为：x≥1.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，据此解答即可.
12．已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是　 　．
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方差的另一个根是t，
∵关于x的方程的一个根是，
∴-4t=-20，
解得：t=5，
即它的另一个根是5，
故答案为：5.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出-4t=-20，再求解即可。
13．在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为109，116，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数为　 　
【答案】134
【知识点】四分位数
【解析】【解答】这组数据的中位数为126，上四位数为134，
故答案为：134.
【分析】根据上四分位数的定义解答即可.
14．如图，在菱形ABCD中， AC =6， BD =8，则AB =　 　.

【答案】5
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，∵四边形ABCD是菱形，
故答案为：5.
【分析】根据菱形对角线平分且垂直，结合勾股定理列式运算求解即可.
15． 我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，的坐标为，，固定点，，把矩形沿轴正方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由勾股定理，得
即，
∵矩形ABCD的边AB在x轴上，
∴四边形ABC'D'是平行四边形，AD'=BC'，C'D'=AB=3-(-2)=5，C'与D'的纵坐标相等，
∴C'的坐标为
故答案为：.
【分析】根据勾股定理，可得OD'，根据平行四边形的性质，可得答案.
16．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到△ECF，则①∠CDG =　 　；②若AB =2，则EF =　 　.
【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：①第一次折叠，如图②，
由折叠的性质，
②第二次折叠，如图③，
由折叠的性质，
即 是等腰直角三角形，
即
故答案为：
【分析】第一次翻折可得 四边形AGED是正方形，第二次折叠可得 是等腰直角三角形，从而求出. 然后求出CE=2- 再根据 从而得出.EF=EC.
三、解答题：本大题共8题，共72分。
17．计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=3-2=1.
（2）解：原式.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据平方差公式计算即可；
（2）先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
18．解方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
或x-3=0，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)移项，利用直接开平方法解一元二次方程即可；
(2)先移项，提取公因式(x-2)，利用因式分解法解一元二次方程即可.
19．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上.请仅用无刻度的直尺在网格中作图.
（1）在图 ①中，画△ABC的中位线DE，使点D在边AB上，使点E在边BC上；
（2）在图 ②中， 以AB为对角线， 画正方形AMBN；
（3）在图 ③中，以AB为边，画平行四边形ABPQ，使平行四边形ABPQ的面积为6；
【答案】（1）解：如图1中，线段DE即为所求；
（2）解：如图2中，正方形AMBN即为所求；
（3）解：如图3中，四边形ABPQ即为所求.
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】(1)利用网格特征周长AB， BC的中点D， E，连接DE解即可；
(2)根据正方形的判定作出图形；
(3)根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形即可.
20．某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组（每组20人）进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图。
甲组成绩统计表
成绩/分 7 8 9 10
人数 1 9 5 5
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲组成绩的中位数是　 　，乙组成绩的众数是　 　。
（2）求出乙组成绩的平均数。
（3）已知甲组成绩的方差为求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定。
【答案】（1）8.5；8
（2）解：分；
（3）解：∵乙组的平均数是，
∴其方差为：
∵，
故乙组更加稳定些．
【知识点】统计表；条形统计图；加权平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：（1）根据题意，甲组成绩的是中间两个数据8和9的平均数，
故中位数是，
乙组中，成绩为8的数据出现了9次，次数最多，
故乙组数据的众数是8，
故答案为：8，5，8．
【分析】
(1)根据中位数，众数的定义解答即可．
(2)运用加权平均数公式计算解答．
(3)根据方差算公式计算出乙组的房产，然后比较两组的方差，根据方差小的成绩稳定解答即可.
21．如图，已知抛物线 经过A(1，0)， B(0，2)两点， 顶点为D.
（1）分别求抛物线 和直线AB 的解析式；
（2）请根据图象直接写出： 时x的取值范围；
【答案】（1）解： 把A(1， 0)， B(0， 2)代入，得
解得
∴该抛物线解析式是：
把A(1， 0)， B(0， 2)代入 得
解得
∴该直线的解析式是y=-2x+2；

（2）x<0或x>1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】(2)由图象得到：当x<0或x>1时，二次函数 的值大于一次函数 的值；
故答案为：x<0或x>1.
【分析】(1)把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式、直线解析式，求得系数即可；
(2)结合函数图象可以直接得到答案；
(3)根据旋转的知识可得： A(1， 0)， B(0， 2)，由OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为(3，1)，可知抛物线 过点(3，1)，故可知将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.于是得到平移后的抛物线解析式.
22．如图，在四边形ABCD中， AD//BC， BC=2AD， ∠BAC=90°， E为BC的中点.
（1）求证：四边形AECD是菱形.
（2）若CD=5， AC=8，求四边形ABCD的周长.
【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，E 为BC 的中点，
∴BC=2CE=2AE.
∵BC=2AD，∴AD=AE=CE.∵AD∥BC，
∴四边形 AECD 是平行四边形.
∵AE=CE，
∴平行四边形AECD 是菱形.
（2）解：∵四边形AECD 是菱形，CD=5，
∴AD=CD=EC=BE=5.
∴四边形 ABCD 的周长=AB+BC+CD+AD=26.
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到AD=AE=CE，再根据AD∥BC证明结论即可；
（2）根据菱形的性质得到AD=CD=EC=BE=5，然后根据勾股定理求出AB长，计算周长即可.
23． 二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．
①求这个函数“倍值点”的坐标；
②若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
【答案】（1）解：由题意得：
解得：
∴这个二次函数的解析式为
（2）解：①将(k，2k)代入二次函数 得：
解得：
∴这个函数“倍值点”的坐标为(5，10)或(
②由题意得P(m，n)是该二次函数图象上( 与(5，10)之间的点，
∵二次函数 的开口向上，对称轴为直线x =1，
∴当 时， 1时，n取最小值，为
当m=5时，n取最大值，为 10，
∴n的最大值与最小值的差为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)根据点(4，3)和对称轴，利用待定系数法求解析式即可；
(2)①将(k，2k)代入函数表达式， 求k即可； ②根据①可知m的取值范围，再根据二次函数的开口方向和对称轴，确定在自变量m的取值范围内二次函数的最大值和最小值即为n的最大值和最小值，进而得到n的最大值与最小值的差.
24．【问题情境】如图1，在△ABC中， ∠BAC=45°， AD⊥BC于D， BD=3， DC=2，求AD的长.
【问题解决】小明同学是这样分析的：将△ABD沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AC翻折得到△ACF，延长EB、FC相交于点G，设AD为x，在Rt△GBC中运用勾股定理，可以求出AD的长.
（1）说明四边形AEGF 是正方形；
（2）求出AD的长.
（3）【方法提炼】请用小明的方法解决以下问题：
如图2，四边形ABCD中， ∠BAD=45°， BC=6， CD=8， BD=10，求AC的最大值.
（4）如图3，四边形ABCD中， BC=6， AD=2，点E是AB上一点，且∠DEC=135°，AE=3，BE=4，则CD的最大值是多少 (直接写出结果)
【答案】（1）解： ∵将△ABD沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AC翻折得到△ACF，
∴AE=AD=AF， BD=BE=3， DC=CF=2， ∠BAD=∠BAE， ∠CAD=∠CAF， ∠E=∠ADB=90°， ∠F=∠ADC=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠EAF=∠BAD+∠BAE+∠CAD+∠CAF=90°，
∴四边形AEGF是矩形，
∵AE=AF，
∴四边形AEGF是正方形；
（2）解：设AD=x=AE=AF，
∵四边形AEGF是正方形，
∴AE=EG=GF=AF， ∠G=90°，
∴BG=x-3， CG=x-2，
在Rt△GBC中，
∴x=6(负值舍去)，
∴AD=6；
（3）解：如图2，将△ABC沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AD翻折得到△ADF，连接EF，
∴AE=AC=AF， ∠BAC=∠BAE， ∠CAD=∠DAF， BE=BC=6， CD=DF=8，
∵∠BAD=45°，
∴∠EAF=90°，
∴EF=AE= AC，
∵BC=6， CD=8， BD=10，
∴∠BCD=90°，
当BE，BD，DF三条线段共线时，EF有最大值=6+8+10=24，
则AC的最大值==；

（4）13
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；费马点模型
【解析】【解答】解：（4）如图3，将 沿着DE翻折得到 将 沿着CE翻折得到 连接MN，
则AD=DN=2 ， BC=CM=6 ， AE=NE=3 ， ME=BE=
当DN， MN， MC三条线段共线时， CD有最大值=2+5+6=13，
故答案为：13.
【分析】(1)由折叠的性质可得AE=AD=AF， BD=BE=3，DC=CF=2，∠BAD=∠BAE，∠CAD=∠CAF，∠E=∠ADB=90°， ∠F=∠ADC=90°，可证四边形AEGF是正方形；
(2)由正方形的性质可得AE=EG=GF=AF， ∠G=90°，由勾股定理可求解；
(3)将△ABC沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AD翻折得到△ADF，由折叠的性质可求EF=AC，当BE， BD， DF三条线段共线时， EF有最大值=6+8+10=24，即可求解；
(4)由折叠的性质可得AD=DN=2， BC=CM=6， AE=EN=3， EB=EM=4， ∠AED=∠DEN， ∠CEB=∠CEM，可求MN=5，当DN， MN， MC三条线段共线时，CD有最大值.
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