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3.3 抛物线
一、单选题
1．如图，南北方向的公路 L，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北300方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等．现要在曲线PQ上一处建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是（　　）万元
A．(2+)a B．2(+1)a C．5a D．6
2．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1等于(　　)
A．45° B．60° C．90° D．120°
3．已知 为抛物线 上一点，抛物线C的焦点为F，则 （　　）．
A．2 B． C．3 D．
4．已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（　　）
A． B． C． D．
5．抛物线的准线方程是(　　)
A． B． C． D．
6．已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）
A． B．1 C． D．
7．抛物线 的焦点坐标是（　　）
A． B． C． D．
8．在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为(　　)
A． B． C． D．
9．已知动点 满足 ，设点 的轨迹为曲线 ， ， 为曲线 上两动点， 为 的中点，点 到 轴的距离为2，则弦 的最大值为（　　）
A．6 B．4 C．5 D．
10．抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（　　）
A． B． C． D．0
11．已知圆锥曲线mx2+y2=1的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合，则此圆锥曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．不能确定
12．抛物线 ，过点 ，F为焦点，定点B的坐标为 ，则 值为（　　）
A．1：4 B．1：2 C．2：5 D．3：8
二、填空题
13．已知抛物线上一点到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则p=　 　.
14．抛物线上一点到焦点的距离为　 　．
15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是　 　．
16．已知点 为抛物线 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点 到其准线的距离为5，则直线 的斜率为　 　.
三、解答题
17．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
（2）准线方程是 ．
18．
（1）已知双曲线E：的焦距为6，实轴长为2，求E的渐近线方程；
（2）已知F是抛物线C：的焦点，是C上一点，且，求C的方程.
19．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=
（1）求抛物线E的方程
（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且 = （其中O为坐标原点）
①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标
②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】抛物线的定义
2．【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的应用
3．【答案】B
【知识点】抛物线的定义
4．【答案】A
【知识点】抛物线的定义
5．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
6．【答案】C
【知识点】抛物线的定义
7．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
8．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
9．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
10．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
11．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
12．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
13．【答案】4
【知识点】抛物线的定义
14．【答案】3
【知识点】抛物线的定义
15．【答案】4
【知识点】抛物线的简单性质
16．【答案】
【知识点】斜率的计算公式；抛物线的定义
17．【答案】（1）解：根据题意，抛物线的焦点是F（3，0）；
则抛物线的焦点在x轴正半轴上，且 =3，
设抛物线的方程为y2=2px
则抛物线的方程为：y2=12x
（2）解：根据题意，抛物线的准线方程是 ，
则抛物线的焦点在x轴正半轴上，且 = ，
设抛物线的方程为y2=2px
则抛物线的方程为：y2=x
【知识点】抛物线的简单性质
18．【答案】（1）解：依题意，令双曲线E的半焦距为c，则，，即，，，解得，
所以双曲线E的渐近线方程为.
（2）解：抛物线C：的准线方程为：，依题意，，解得，
所以抛物线C的方程为.
【知识点】抛物线的标准方程；双曲线的简单性质
19．【答案】（1）证明：连接RF，PF，
由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=180°，
∴∠PFQ=90°，
∵R是PQ的中点，
∴RF=RP=RQ，
∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，
∴∠FQB=∠PAR，
∴∠PRA=∠PRF，
∴AR∥FQ．
（2）
A（x1，y1），B（x2，y2），
F（ ，0），准线为 x=﹣ ， S△PQF= |PQ|= |y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF= |FN||y1﹣y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由 得 =2（x1﹣x2），又 = ，∴ = ，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．
【知识点】轨迹方程；抛物线的简单性质
20．【答案】（1）解：由已知可得K（﹣ ，0），圆C：（x﹣2）2+y2=1的圆心C（2，0），半径r=1．
设MN与x轴交于R，由圆的对称性可得|MR|= ，
于是|CR|= = = ，
即有|CK|= = = =3，
即有2+ =3，解得p=2，则抛物线E的方程为y2=4x
（2）①证明：设直线AB：x=my+t，A（ ，y1），B（ ，y2），
联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4t=0，
y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，
= ，即有（ ）2+y1y2= ，
解得y1y2=﹣18或2（舍去），
即﹣4t=﹣18，解得t= ．
则有AB恒过定点Q（ ，0）；
②解：由①可得|AB|= |y2﹣y1|= ，
同理|GD|= |y2﹣y1|= ，
则四边形AGBD面积S= |AB| |GD|=
=4 ，
令m2+ =μ（μ≥2），则S=4 是关于μ的增函数，
则当μ=2时，S取得最小值，且为88．
当且仅当m=±1时，四边形AGBD面积的最小值为88
【知识点】抛物线的简单性质
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