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3.3.1 抛物线及其标准方程
一、单选题
1．若抛物线顶点为坐标原点,对称轴为x轴,焦点在3x-4y-12=0上,那么抛物线方程是(　　)
A．=16x B．=-16x C．=12x D．=-12x
2．点在抛物线上，为焦点，直线与准线相交于点，则（　　）
A． B． C．4 D．
3．抛物线 上的点与其焦点的距离的最小值为（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
4．抛物线的焦点坐标是（　　）
A．（2，0） B．（0，2） C．（1，0） D．（0，1）
5．设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6． 对抛物线，下列判断正确的是（　　）
A．准线方程是 B．焦点坐标是
C．准线方程是 D．焦点坐标是
7．过抛物线 的焦点F作斜率大于0的直线 交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且 与准线交于点C，若 ，则 （　　）
A．3 B． C． D．2
8．抛物线的准线方程是（　　）
A． B． C． D．
9．抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．抛物线的焦点为，为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交抛物线的准线于，两点，，则直线的斜率为（　　）
A．±1 B． C． D．
11．若抛物线y2=2px（p＞0）上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线方程为（　　）
A．y2=4x B．y2=36x
C．y2=4x或y2=36x D．y2=8x或y2=32x
12．已知抛物线，点M是抛物线上的动点，则M到直线和的距离之和的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．从抛物线 图象上一点 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，且 ，设 为抛物线的焦点，则 的面积为　 　.
14．抛物线的顶点在原点，焦点在 轴上，抛物线上的点 到焦点的距离为3，则 　 　
15．已知是抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于，两点，且的最小值是64，则抛物线的方程为　 　．
16．设是抛物线上一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，，则　 　.
三、解答题
17．已知抛物线 的焦点是 ，点 是抛物线上的动点，点 ．
（1）求 的最小值，并求出取最小值时点 的坐标；
（2）求点 到点 的距离与到直线 的距离之和的最小值．
18．
（1）点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ，求M的轨迹方程；
（2）经过两点 ， ，求双曲线标准方程．
19．已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，点M为抛物线C上一点，|MF|=8，且∠OFM= (O为坐标原点).
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求△AOB面积的最小值.
20．如图，过点的动直线交抛物线于两点.
（1）若，求的方程；
（2）当直线变动时，若不过坐标原点，过点分别作（1）中的切线，且两条切线相交于点，问：是否存在唯一的直线，使得？并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】抛物线的标准方程
2．【答案】C
【知识点】平面内两点间的距离公式；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
3．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
4．【答案】D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
5．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
6．【答案】D
【知识点】抛物线的标准方程
7．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
8．【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
9．【答案】D
【知识点】抛物线的定义
10．【答案】D
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
11．【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程
12．【答案】D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
13．【答案】10
【知识点】抛物线的定义；三角形中的几何计算
14．【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
15．【答案】
【知识点】抛物线的标准方程
16．【答案】6
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
17．【答案】（1）解：将 代入 ，得 ．
，∴点 在抛物线的内部．
过点 作 垂直拋物线的准线 ，垂足为 ，
结合抛物线的定义，知 ，
当 三点共线时， 的值最小，为 ，
即 的最小值为 ；此时点 的纵坐标为2，代入 ，得 ，
∴点 的坐标为
（2）解：易知点 在抛物线的外部．设点 到准线 的距离为 ．
结合抛物线的定义，得 ，
当且仅当 三点共线（ 在线段 上）时取等号．
又 ，
∴所求距离之和的最小值为2
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
18．【答案】（1）解：因为点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数
所以得 ．
将上式两边平方，并化简，得 ．
即 ．
（2）解：设双曲线的方程为 ，
将点 ， 坐标代入可得 ，且 ，
求得 ， ．
双曲线的标准方程为
【知识点】抛物线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
19．【答案】（1）解：抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点 ，准线方程为： ，过点M作准线的垂线，垂足为N，过点M作x轴的垂线，垂足为D，如图，
依题意得： ，即 ，解得 ，
抛物线C的方程为
（2）解：焦点F(2，0)，由题意知直线l不垂直于y轴，设直线l方程为 ，
由 消去x得 ，设 ，
则有 ， ， ，而坐标原点到直线l的距离 ，
因此， ，当且仅当 时取“=”，
所以△AOB面积的最小值为8.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
20．【答案】（1）解：因为，直线的方程为，
所以直线的方程为，即.
由消去，得.
设两点的坐标分别为，则.
因为，所以，
解得.
所以的方程为.
（2）解：由（1）知抛物线的方程为.
设直线的方程为.
由消去，得.
由根与系数的关系，得.
抛物线在点处的切线方程为①
抛物线在点处的切线方程为②
①-②得.
因为，所以，代入①得，
即，所以直线的斜率分别为
若存在直线，使得，则.
设直线的倾斜角分别为，则.
由，得或，两边取正切，总有，
由两角差的正切公式，得，即，
即，
即，
化简得.
令，
求导得.
因为，
所以，即在上单调递增.
又，
所以存在唯一，使得，
即方程有唯一解，故存在唯一直线，使得.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
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