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3.3.2 抛物线的简单几何性质
一、单选题
1．已知抛物线 ，则它的焦点坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．抛物线的焦点坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．在《西游记》中，凤仙郡太守生气时误推倒祭祀玉帝的贡桌，玉帝一怒之下下令凤仙郡三年不能下雨，于是孙悟空和猪八戒上天庭去找玉帝理论，玉帝要求鸡要吃完米，狗要舔完面，火烧断了锁才能下雨.孙悟空打量着形如圆锥的面山，让猪八戒从面山脚下H出发经过 的中点 到 ，大致观察一下该面山，如图所示，若猪八戒经过的路线为一条抛物线， ，底面圆O的面积为16π， 为底面圆 的一条直径，则该抛物线的焦点到准线的距离为（　　）
A． B． C． D．
4．已知点在抛物线上，F为抛物线焦点， 若， 则点F到抛物线准线的距离等于（　　）
A．2 B．1 C．4 D．8
5．已知点 ，F是抛物线 的焦点，M是抛物线上的动点，当 最小时，M点坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．设抛物线顶点在坐标原点，准线方程为，则抛物线方程是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，某桥是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m，水面宽4m，那么水下降1m后，水面宽为（　　）
A． B． C． D．
8．抛物线 的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
9．抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且它们的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为 (　　)
A． B． C．3 D．
10．设 分别为双曲线 的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线 的准线围成三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．已知抛物线 的焦点为 ，准线为l，P是l上一点，直线 与抛物线交于M，N两点，若 ，则 =（　　）
A． B． C． D．
12．抛物线 的焦点坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．抛物线的准线方程是　 　
14．若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是　 　．
15．抛物线x2=8y的准线方程为　 　．
16．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 －y2＝1的渐近线与抛物线x2＝4 y的准线相交于A，B两点，则三角形OAB的面积为　 　．
三、解答题
17．已知函数 ，函数图象上有两动点 、 .
（1）用 表示在点 处的切线方程；
（2）若动直线 在 轴上的截距恒等于 ，函数在 、 两点处的切线交于点 ，求证：点 的纵坐标为定值.
18．已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形．
（1）求的方程；
（2）讨论过点的直线与的交点个数．
19．已知动点到直线的距离与它到点的距离之差为
（1）求点的轨迹方程，并写出焦点坐标和准线方程；
（2）若曲线的准线与轴的交点为，点在曲线上，且，求的面积；
（3）若过点的直线交曲线于两点，求证：以为直径的圆过原点.
20．如图，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，直线AO交抛物线的准线于点D，设抛物线在B点处的切线为l.
（1）若直线l与y轴的交点为E，求证：；
（2）过点B作l的垂线与直线交于点G，求证：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
2．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
3．【答案】A
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
4．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
5．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
6．【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
7．【答案】D
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的应用
8．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
9．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
10．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
11．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
12．【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
13．【答案】x=-1
【知识点】抛物线的简单性质
14．【答案】9
【知识点】抛物线的简单性质
15．【答案】y=﹣2
【知识点】抛物线的简单性质
16．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
17．【答案】（1）解： ， ，所以，函数 在点 处的切线斜率为 ，
因此，函数 在点 处的切线方程为 ，即
（2）证明：设直线 的方程为 ，联立 ，得 ，
由韦达定理得 ， .
由于抛物线 在点 处的切线方程为 ，则该抛物线在点 处的切线方程为 ，
联立 ，解得 ，
因此，点 的纵坐标为 （定值）
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质
18．【答案】（1）解： 由题意得焦点，准线方程为，
以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形，
而这个等边三角形的高为，
即焦点到准线的距离，解得（负值舍去），
所以的方程为．
（2）解： 若直线的斜率存在，设的方程为．
由方程组可得．
（Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点；
（Ⅱ）当时，方程的根的判别式为，
（ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点；
（ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点；
（ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点；
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点．
综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；
当的斜率或1或时，与的交点个数为1；
当的斜率时，与的交点个数为2.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
19．【答案】（1）解：设，点到直线的距离与它到点的距离之差为，所以点到直线的距离与它到点的距离相等，由抛物线定义可得点的轨迹方程为，其中焦点坐标为，准线方程为.
（2）解：由（1）可得，，因为点在曲线上，所以设，
因为，所以，
化简可得，又，所以.
（3）解：设过点直线方程为，联立，化简得，
，
设，所以，，
所以
所以以为直径的圆圆心为，即，
半径为
坐标原点到圆心的距为离，
所以以为直径的圆过原点.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的应用；圆锥曲线的综合
20．【答案】（1）解：设直线的方程为，，
联立得：.
不妨设A在第一象限，B在第四象限，对于，
l的斜率为
l的方程为，即为.
令得
直线的方程为：，令得.
又，所以
即得证.
（2）解：过点B的l得垂线的方程为：，
即
则，解得G的纵坐标为
要证明，因为A，O，D，G三点共线，
只需证明：（*）.
.
所以（*）成立，得证
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
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