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第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．过点 与抛物线 只有一个公共点的直线共有几条 （　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(　　)
A． B． C． D．
3．已知椭圆 的焦点分别为F1，F2，b=4，离心率 ，过F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．20
4．设圆锥曲线C的两个焦点分别为、，若曲线C上存在点P满足：：=4：3：2，则曲线C的离心率等于(　　)
A．或 B．或2 C．或2 D．或
5．在中，，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率e=（　　）
A． B． C． D．
6．若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
7．若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（　　）
A．3 B．12 C．15 D．3或15
8．已知双曲线的左右焦点，，是双曲线上一点，，则（　　）
A．1或13 B．1 C．13 D．9
9．在平面内，已知双曲线C：的焦点为，则是点在双曲线上的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
10．已知是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线于不同的两点，，设，为的中点，则到轴的距离为（　　）
A． B． C． D．
11．若双曲线 与直线 无交点，则离心率 的取值范围（　　）
A． B． C． D．
12．双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝（　　）
A． B．2 C．3 D．6
二、填空题
13．椭圆 的离心率为　 　.
14．已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是　 　.
15．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 轴的交点为 ，与抛物线 的交点为 ，且 ，则抛物线 的方程为　 　．
16．设椭圆 的上、下焦点分别为 ， ，右顶点为 .若 ，则该椭圆的标准方程为　 　．
三、解答题
17．
（1）求以椭圆的长轴端点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程；
（2）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，求抛物线的方程.
18．（1）求与双曲线 有共同的渐近线，且经过点 的双曲线的标准方程；
（2）焦点在坐标轴上，且经过A(－ ，2)和B( ，1)两点的椭圆的标准方程
19．如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，|AB|=4，|F1F2|=2 ，直线y=kx+m（k＞0）交椭圆于C、D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且|CM|=|DN|．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）若m＞0，设直线AD、BC的斜率分别为k1、k2，求 的取值范围．
20．已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y=﹣1相切．
（1）求圆心M的轨迹方程；
（2）动直线l过点P（0，﹣2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】抛物线的应用
2．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
3．【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
4．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
5．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
6．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
7．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
8．【答案】C
【知识点】双曲线的定义
9．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的定义
10．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
11．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
12．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；双曲线的简单性质
13．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
15．【答案】
【知识点】抛物线的定义
16．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程
17．【答案】（1）解：椭圆的长轴端点为 ，焦点为 ，
设所求双曲线方程为 ，则 ，所以
所以所求双曲线方程为 ；
（2）由抛物线定义知 ，所以
所以抛物线的方程为
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的定义；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
18．【答案】（1）解：由题，设双曲线方程为 ，将 代入可得 ，解得 ，
所以双曲线的方程为 ，即
（2）解：设椭圆的方程为 ，椭圆经过 ， ，
则 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 ，即
【知识点】椭圆的标准方程；双曲线的标准方程
19．【答案】解：（Ⅰ）由 ，可知 即椭圆方程为
离心率为
（Ⅱ）设D（x1，y1），C（x2，y2）易知
由 消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
由△＞0 4k2﹣m2+1＞0即m2＜4k2+1，
且|CM|=|DN|即 可知 ，即 ，解得
由题知，点M、F1的横坐标 ，有 ，
易知 满足m2＜2，
即 ，则
【知识点】椭圆的应用
20．【答案】（1）解：∵动点M到直线y=﹣1的距离等于到定点C（0，1）的距离，
∴动点M的轨迹为抛物线，且 =1，解得：p=2，
∴动点M的轨迹方程为x2=4y
（2）解：证明：由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），则C（﹣x2，y2）．
联立 ，化为x2﹣4kx+8=0，
△=16k2﹣32＞0，
解得k＞ 或k＜﹣ ．
∴x1+x2=4k，x1x2=8．
直线直线AC的方程为：y﹣y2=﹣ （x+x2），
又∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，
∴4ky﹣4k（kx2﹣2）=（kx2﹣kx1）x+kx1x2﹣kx22，
化为4y=（x2﹣x1）x+x2（4k﹣x2），
∵x1=4k﹣x2，
∴4y=（x2﹣x1）x+8，
令x=0，则y=2，
∴直线AC恒过一定点（0，2）
【知识点】轨迹方程；抛物线的简单性质
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