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3.1 椭圆
一、单选题
1．已知三个数1， ，9成等比数列，则圆锥曲线 的离心率为（　　）
A． B． C． 或 D． 或
2．若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
3．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为 ，则椭圆的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
4．已知P椭圆 上的动点，则P到该椭圆两焦点的距离之和为（　　）
A． B．4 C． D．8
5．椭圆 的离心率为 （　　）
A． B． C． D．
6．设F1F2是椭圆的两个焦点，点M在椭圆上，若△MF1F2是直角三角形，则△MF1F2的面积等于（　　）
A．48/5 B．36/5 C．16 D．48/5或16
7．“ ”是“方程 表示焦点在 轴的椭圆”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．对于方程的曲线C，下列说法错误的是
A．m>3时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆
B．m=3时，曲线C是圆
C．m<1时，曲线C是双曲线
D．m>1时，曲线C是椭圆
9．平面内有两定点 及动点 ，设命题甲：“ 与 的和是定值”，命题乙：“点 的轨迹是以 为焦点的椭圆”，那么命题甲是命题乙的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知椭圆C： + =1的左右焦点分别为F1，F2，则在椭圆C上满足∠F1PF2= 的点P的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2 个 D．4个
11．已知椭圆 1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（　　）
A．10 B．20 C．2 D．4
12．若双曲线 = 的一个焦点是 ，则 的值是（　　）
A．-1 B．1 C． D．
二、填空题
13．椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是　 　.
14．已知圆 过椭圆 ： 的焦点与短轴端点，则椭圆 的标准方程为　 　.
15．椭圆mx2+y2=1的离心率是 ，则它的长轴长是　 　．
16．在直角坐标系 中，椭圆 的方程为 ，左右焦点分别为 ， ，设 为椭圆 上位于 轴上方的一点，且 轴， 、 为椭圆 上不同于 的两点，且 ，设直线 与 轴交于点 ，则 的取值范围为　 　．
三、解答题
17．求与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为 的椭圆的标准方程．
18．已知命题 实数 满足 ，命题 实数 满足曲线 为椭圆.
（1）若 为真，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
19．已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（﹣1，0），B（1，0），一个顶点为H（2，0）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）对于x轴上的点P（t，0），椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．
20．如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为（ ，0），（1， ）是椭圆上的一个点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的上、下顶点分别为A，B，P（x0，y0）（x0≠0）是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ中点，直线AM交直线l：y=﹣1于点C，N为线段BC的中点，如果△MON的面积为 ，求y0的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
2．【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
3．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
4．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
5．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
6．【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
7．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的简单性质
8．【答案】D
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程
9．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的简单性质
10．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
11．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
12．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
13．【答案】5
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
14．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程
15．【答案】2或4
【知识点】椭圆的简单性质
16．【答案】
【知识点】椭圆的应用
17．【答案】解：把方程 写成 ，
则其焦距 ，所以 ，
又 ，所以 ，
，
故所求椭圆的方程为 ，或 .
【知识点】椭圆的标准方程
18．【答案】（1）解：因为 为真，即方程 表示的曲线为椭圆，
所以 ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 ；
（2）解：由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
设 ， ，
因为 是 的充分条件，所以集合 是集合 的子集，
故有 ，解得 ．
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的简单性质
19．【答案】（1）解：由题意得，c=1，a=2，则b=
故所求的椭圆标准方程为 ；
（2）解：设M（x0，y0）（x0≠±2），则 ①
又由P（t，0），H（2，0）．则 ，
由MP⊥MH可得 ，即（t﹣x0，﹣y0） （2﹣x0，﹣y0）=
由①②消去y0，整理得 ②
∵x0≠2，∴
∵﹣2＜x0＜2，∴﹣2＜t＜﹣1
故实数t的取值范围为（﹣2，﹣1）．
【知识点】向量在几何中的应用；椭圆的标准方程
20．【答案】（1）解：设椭圆方程为 ，由题意，得 ．
因为a2﹣c2=b2，所以b2=a2﹣3．
又 是椭圆上的一个点，所以 ，解得a2=4或 （舍去），
从而椭圆的标准方程为
（2）解：因为P（x0，y0），x0≠0，则Q（0，y0），且 ．
因为M为线段PQ中点，所以 ．
又A（0，1），所以直线AM的方程为 ．
因为x0≠0，∴y0≠1，令y=﹣1，得 ．
又B（0，﹣1），N为线段BC的中点，有 ．
所以 ．
因此，
= ．从而OM⊥MN．
因为 ， ，
所以在Rt△MON中， ，因此 ．
从而有 ，解得
【知识点】椭圆的简单性质
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