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3.1.1 椭圆及其标准方程
一、单选题
1．已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是（　　）
A． B．或
C． D．以上均不正确
2．设 是椭圆 上的点，若 是椭圆的两个焦点，则 等于（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
3．若方程表示椭圆，则k的取值范围是(　　)
A．(5，9) B．(5，+∞)
C．(1，5)∪(5，9) D．(-∞，9)
4．设椭圆的一个焦点为 ，且 ，则椭圆的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
5．中心在原点，焦距为2，离心率为 的椭圆标准方程为（　　）
A． 或 B．
C． D．
6．已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为（　　）
A． B．14 C． D．
7．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8 π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（　　）
A． B． C． D．
8．已知椭圆 的右焦点 ，则 （　　）
A． B． C． D．
9．已知椭圆C：﹣=1（a＞b＞0）的离心率为，且与抛物线y2=x交于A、B两点，若△OAB（O为坐标原点）的面积为2，则椭圆C的方程为（）
A． B．+=1 C． D．
10．已知焦点在X轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是 ，则此椭圆的标准方程是（　　）
A． B． C． D．
11．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（　　）
A． B．
C．或 D．以上都不对
12．对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于 的椭圆的标准方程为　 　．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C分别交于M，N两点，则的周长为　 　．
15．椭圆 的焦点为 ，点P在椭圆上，若 ，则 的大小为　 　.
16．椭圆 的上顶点为B，左焦点为F，直线BF与直线x+y﹣3 =0垂直，垂足为M，且点B为线段MF的中点，该椭圆方程为　 　．
三、解答题
17．求与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为 的椭圆的标准方程．
18．求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
（1）长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；
（2）过点( ，- )，且与椭圆 有相同焦点.
19．已知椭圆C：，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M。
（1）（I）求椭圆C的离心率；
（2）（II）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率。
（3）（III）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由。
20．若椭圆 的焦点在x轴上，离心率为 ，依次连接 的四个顶点所得四边形的面积为40.
（1）试求 的标准方程；
（2）若曲线M上任意一点到 的右焦点的距离与它到直线 的距离相等，直线 经过 的下顶点和右顶点， ，直线 与曲线M相交于点P、Q（点P在第一象限内，点Q在第四象限内），设 的下顶点是B，上顶点是D，且 ，求直线 的方程.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程
2．【答案】D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
3．【答案】C
【知识点】椭圆的定义
4．【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程
5．【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程
6．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
7．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
8．【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程
9．【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程
10．【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
11．【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程
12．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的标准方程
13．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程
14．【答案】20
【知识点】椭圆的定义
15．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程
16．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程
17．【答案】解：把方程 写成 ，
则其焦距 ，所以 ，
又 ，所以 ，
，
故所求椭圆的方程为 ，或 .
【知识点】椭圆的标准方程
18．【答案】（1）若椭圆焦点在x轴上，设所求椭圆的标准方程为 (a>b>0)，
∵长轴是短轴的3倍，∴a=3b，又∵椭圆经过点A(3，0)，
∴ ，得到a=3，∴b=1，所以 ；
若椭圆焦点在y轴上，设所求椭圆的标准方程为 (a>b>0)
∵长轴是短轴的3倍，∴a=3b，又∵椭圆经过点A(3，0)，
∴ ，得到b=3，∴a=9，∴ ，
所以椭圆的标准方程为. 或 .
（2）椭圆 的焦点为(0， 4)，
设该椭圆方程为 (a>b>0)，因此 ①
∵椭圆过( ，- )， (a>b>0) ②，联立①②式，解得a2=20，b2=4.
因此该椭圆方程为 .
【知识点】椭圆的标准方程
19．【答案】（1）
（2）k=1
（3）直线BM与直线DE平行
【知识点】直线的斜率；椭圆的标准方程
20．【答案】（1）解：由题意可知： 解得 ，∴所求 的标准方程是 ；
（2）解：由（1）可知 的右焦点是 ，下顶点 ，上顶点 ，右顶点是 又由抛物线定义可知：曲线M是一条抛物线，M的焦点是
∴M的方程是 ，又 ，
∴ ，∴ ，设直线 的方程为
则联立方程组： ，消去 得： ，
且 ，所以 ，所以 ，
所以由韦达定理得： ，又由 可得 ，即：
∴联立方程组： ，解得： ，或
又∵点P在第一象限内，点Q在第四象限内，∴ 不合，舍去
∴所求直线 的方程为 ，即： .
【知识点】直线的一般式方程；椭圆的标准方程
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