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3.1.2 椭圆的简单几何性质
一、单选题
1．已知为椭圆上一动点，分别为其左右焦点，直线与的另一交点为的周长为16.若的最大值为6，则该椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
2．椭圆焦距为（　　）
A． B．8 C．4 D．
3．已知椭圆 的离心率为 ，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知椭圆，则椭圆C的焦距为（　　）
A． B．10 C．3 D．6
5．椭圆+＝1(a>b>0)的离心率是，则的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
6．椭圆 + =1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c，若d1，2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
7．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（　　）
A． B． C． D．
8．椭圆的焦点坐标为（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
9．已知椭圆 分别是椭圆的左、右焦点，点 为椭圆内一点，点 为椭圆上一点，则 的最大值是（　　）
A．6 B． C． D．
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
11．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
12．若中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于 ，则C的方程是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．椭圆 的焦距长为　 　．
14．已知焦点在y轴上的椭圆 的长轴长为8，则m=　 　.
15．椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），垂直于轴，连接并延长交椭圆于另一点，设，则椭圆的离心率为　 　.
16．过椭圆 的焦点 弦中最短的弦长是　 　
三、解答题
17．已知命题 实数 满足 ，命题 实数 满足曲线 为椭圆.
（1）若 为真，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
18．设椭圆的左，右焦点是，离心率为，上顶点坐标为
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的的周长和面积．
19．已知椭圆 的左右顶点分别是 ， ，点 在椭圆上，过该椭圆上任意一点P作 轴，垂足为Q，点C在 的延长线上，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）求动点C的轨迹E的方程；
（3）设直线 （C点不同A、B）与直线 交于R，D为线段 的中点，证明：直线 与曲线E相切；
20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且F1，F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，点P（ ， ）在椭圆C上．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过F2作互相垂直的两直线AB，CD分别交椭圆于点A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点，求△MNF2面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
2．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
3．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
4．【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
5．【答案】A
【知识点】基本不等式；椭圆的简单性质
6．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
7．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
8．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
9．【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值；椭圆的定义；椭圆的简单性质
10．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
11．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
12．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
13．【答案】2
【知识点】椭圆的简单性质
14．【答案】16
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
15．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
16．【答案】6
【知识点】椭圆的简单性质
17．【答案】（1）解：因为 为真，即方程 表示的曲线为椭圆，
所以 ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 ；
（2）解：由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
设 ， ，
因为 是 的充分条件，所以集合 是集合 的子集，
故有 ，解得 ．
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的简单性质
18．【答案】（1）解：由题意可得，解得，则椭圆的方程为；
（2）解：由（1）知，，
因为点P为椭圆上一点，所以，则焦点三角形的的周长，
在△中，由余弦定理，
可得①，
平方可得②，
②-①，整理得，则三角形的的面积.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
19．【答案】（1）解：由题意可知：
将 代入椭圆方程可得： ，解得：
椭圆 的方程为：
（2）解：设 ，
由 轴， 可得： ，即
将 代入椭圆 方程得：
动点 的轨迹 的方程为：
（3）解：设 ，则直线 方程为：
令 ，解得：
，
即
直线 与曲线 相切
【知识点】向量在几何中的应用；轨迹方程；椭圆的简单性质
20．【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆 =1（a＞b＞0）经过点P（ ， ），
且F1，F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，
∴ ，解得a2=2，b2=1，
∴椭圆方程为 ；
（Ⅱ）设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，
则直线CD的方程为x=﹣ y+1，
联立 ，消去x得（m2+2）y2+2my﹣1=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣ ，y1y2= ，
∴x1+x2=（my1+1）+（my2+1）
=m（y1+y2）+2= ，
由中点坐标公式得M（ ），
将M的坐标中的m用﹣ 代换，得CD的中点N（ ），
kMN= ，
直线MN的方程为y+ = （x﹣ ），
即为y= ，
令 ，可得x= ，即有y=0，
则直线MN过定点H，且为H（ ，0），
∴△F2MN面积为S= |F2H| |yM﹣yN|
= （1﹣ ） | |= | |= | |，
令m+ =t（t≥2），由于2t+ 的导数为2﹣ ，且大于0，即有在[2，+∞）递增．
即有S= = 在[2，+∞）递减，
∴当t=2，即m=1时，S取得最大值，为 ；
则△MNF2面积的最大值为
【知识点】椭圆的简单性质
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