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3.2.1 双曲线及其标准方程
一、单选题
1．双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（　　）
A．1 B．13 C．1或13 D．3
2．若椭圆 和双曲线 有相同的焦点 ， 是两条曲线的一个交点，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
3．已知△ABP的顶点A、B分别为双曲线的左右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于(　　)
A． B． C． D．
4．双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且 过点（2，0），则 的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
5．若方程 表示双曲线，则实数 m的取值范围是(　　)
A．-31 C．m<-3或m>1 D．且
6．与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
7．以椭圆 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（　　）
A． B．
C． 或 D．以上都不对
8．已知点P是双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左、右焦点，点I到△三边的距离相等，若成立，则＝(　　)
A． B． C． D．
9．一圆形纸片的圆心为原点O，点Q是圆外的一定点，A是圆周上一点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后展开纸片，折痕CD与OA交于P点，当点A运动时P的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
10．一动圆与圆O：外切，与圆C：内切，那么动圆的圆心的轨迹是（　　）
A．圆　　　 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
11．已知 F1 、 F2 为双曲线C： 的左、右焦点，点P在C上，∠ F1 P F2 = 60° ，则P到x轴的距离为（　　）
A． B． C． D．
12．平面内到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹（　　）
A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线
二、填空题
13．已知双曲线 的一条渐近线为 ，则a=　 　．
14．已知双曲线的一条渐近线方程为，则m＝　 　．
15．已知双曲线 - =1的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的方程为　 　
16．若双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上的动点，则的最小值为　 　．
三、解答题
17．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sinB－sinA＝ sinC.
（1）求线段AB的长度；
（2）求顶点C的轨迹方程．
18．求满足下列条件的曲线标准方程：
（1）两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程；
（2）与双曲线有相同渐近线，且焦距为的双曲线标准方程.
19．已知命题P：方程 表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题， q也为假命题，求实数a的取值范围．
20．如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x2+y2﹣4y﹣4＝0，双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．
（1）试求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在“8”字形曲线上求点P，使得∠F1PF2是直角．
（3）过点A作直线l分别交“8”字形曲线中上、下两个半圆于点M、N，求|MN|的最大长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】双曲线的定义
2．【答案】D
【知识点】椭圆的定义；双曲线的定义
3．【答案】D
【知识点】双曲线的定义；正弦定理
4．【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程
5．【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程
6．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的标准方程
7．【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程
8．【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程
9．【答案】B
【知识点】双曲线的定义
10．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；双曲线的定义
11．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；余弦定理的应用
12．【答案】D
【知识点】双曲线的定义
13．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程
14．【答案】3
【知识点】双曲线的标准方程
15．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程
16．【答案】3
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；双曲线的定义
17．【答案】（1）解：将椭圆方程化为标准形式为 ＋y2＝1，
可得A(－2，0)，B(2，0)，故|AB|＝4.
（2）解：∵sinB－sinA＝ sinC，
由正弦定理，得
|CA|－|CB|＝ |AB|＝2<|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值，
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，且c＝2，a＝1，
∴b2＝c2－a2＝3.
故顶点C的轨迹方程为x2－ ＝1(x>1)．
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的标准方程；正弦定理的应用
18．【答案】（1）解：设所求椭圆的标准方程为
两焦点分别为，，
又椭圆过点，，又
，，所以椭圆的标准方程为.
（2）解：方法一：
(i)，若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，
因为与双曲线有相同渐近线，
所以 ，设该双曲线的焦距为，
又因为焦距 所以，所以，
联立 解得则双曲线方程为，
(ii)，若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，
因为与双曲线有相同渐近线，
所以 ，设该双曲线的焦距为，
又因为焦距 所以，所以，
联立 解得则双曲线方程为，
双曲线的标准方程为：或
方法二：
设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为：（）
焦距为，
，
双曲线的标准方程为：或
【知识点】椭圆的标准方程；双曲线的标准方程
19．【答案】解：∵方程 表示双曲线，
∴（3+a）（a﹣1）＞0，解得：a＞1或a＜﹣3，
即命题P：a＞1或a＜﹣3；
∵点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部，
∴4+（a﹣1）2＜8的内部，
解得：﹣1＜a＜3，
即命题q：﹣1＜a＜3，
由pΛq为假命题， q也为假命题，
∴实数a的取值范围是﹣1＜a≤1．
【知识点】命题的真假判断与应用；点与圆的位置关系；双曲线的定义
20．【答案】（1）解：上半个圆所在圆方程是x2+y2﹣4y﹣4＝0，则圆心为（0，2），半径为2 ．
则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2 ．
双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a＝2，
由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y＝2，解得，x＝±2 ．
即有交点为（±2 ，2）．
设双曲线的方程为 1（a＞0，b＞0），
则 1，且a＝2，解得，b＝2．
则双曲线的方程为 1；
（2）解：双曲线的左、右焦点为F1（﹣2 ，0），F2（2 ，0），
若∠F1PF2是直角，则设P（x，y），则有x2+y2＝8，
由 解得，x2＝6，y2＝2．故P的坐标为（ ），（ ）．
由 解得，y＝-1，不满足题意，舍去．
由 解得，y＝1，不满足题意，舍去．
故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为（ ），（ ）．
（3）解：设M，N的横坐标分别为xM，xN．
①直线l的斜率不存在时，|MN|＝8；
②直线l的斜率存在时，设方程为y＝k（x+2）（ 或 ），
代入x2+y2﹣4y﹣4＝0，可得（k2+1）x2+（4k2﹣4k）x+4k2﹣8k﹣4＝0，
∴﹣2xM ，
∴xM ，
同理xN ，
∴|MN| |xM﹣xN| ，
综上：|MN|的最大长度为8．
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；圆方程的综合应用；双曲线的标准方程
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