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3.2.2 双曲线的简单几何性质
一、单选题
1．双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．
2．双曲线的焦点为（2.0），则其渐近线方程为(　　)
A． B． C． D．
3．与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（　　）
A． B． C． D．
4． 双曲线的渐近线方程是（　　）
A． B． C． D．
5．已知双曲线 的离心率 ，则双曲线 的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
6．双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
7．已知点 为双曲线 ： （ ， ）的右焦点，直线 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，若 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．双曲线 的离心率是（　　）
A． B． C． D．
9．若双曲线 与圆 的公共点和双曲线两个焦点 构成正六边形，则C的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．
10．已知双曲线 - =1(a>0，b>0)，过其右焦点F且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点.若OM⊥ON，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，是上一点，、分别是、的中点，为坐标原点，若，且四边形的面积为，的短轴长为（　　）
A． B． C． D．
12．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知双曲线 （a＞0，b＞0）的渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率是　 　．
14．双曲线的一条渐近线方程为　 　.
15．已知椭圆，双曲线的离心率互为倒数，，为双曲线的左、右焦点，设点M为的渐近线上的一点，若（O为坐标原点），的面积为16，则的方程为　 　.
16．若点（x，y）在双曲线 ﹣y2=1上，则3x2﹣2xy的最小值是　 　．
三、解答题
17．求与椭圆 有公共焦点，且离心率 的双曲线的方程．
18．已知双曲线与椭圆 的焦点相同，且它们的离心率之和等于
（1）求双曲线的离心率的值
（2）求双曲线的标准方程．
19．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：①定义域均为；②为奇函数，为偶函数；③（常数e是自然对数的底数，）.利用上述性质，解决以下问题：
（1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
（2）解不等式.
20．如图所示，在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转角至点.
（1）试证明点的旋转坐标公式：；
（2）设，点绕坐标原点逆时针旋转角至点，点再绕坐标原点逆时针旋转角至点，且直线的斜率，求角的值；
（3）试证明方程为的曲线是双曲线，并求其焦点坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用
2．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
3．【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质
4．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
5．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
6．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
7．【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
8．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
9．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
10．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
11．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；双曲线的简单性质
12．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
13．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
14．【答案】或
【知识点】双曲线的简单性质
15．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；双曲线的简单性质
16．【答案】6+4
【知识点】双曲线的简单性质
17．【答案】解：椭圆 的焦点坐标为 和 ，
设双曲线方程 ，
则 ， ．
∴ ， ，
∴所求双曲线方程为 ．
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
18．【答案】（1）解：在椭圆 中
所以 即c=4．
又椭圆的焦点在 轴上，
所以其焦点坐标为 ， ，离心率 ．
根据题意知，双曲线的焦点也应在 轴上，坐标为 且其离心率等于
（2）解：故设双曲线的方程为
所以
于是双曲线的方程为
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
19．【答案】（1）解：由，得，
因为为奇函数，为偶函数，
所以，
由，解得，
（2）解：，
因为和在上均为增函数，
所以在上为增函数，
由，得，
所以，
所以，即，
令（），则，即，
解得（舍去），或，
所以，得，
所以不等式的解集为.
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用；指数函数的图象与性质；指数函数单调性的应用
20．【答案】（1）证明：设将轴正半轴绕坐标原点逆时针旋转角至边，且，
由任意角的三角函数定义，得：和
由两角和的正余弦公式，
得，
将代入，
得.
（2）解：设点的坐标分别为，
由点的旋转坐标公式，
得和，
由直线的科率，得，
则，
或，
或，
.
（3）证明：设为方程的曲线上任意一点，
将点绕坐标原点逆时针旋转角至点.
则，
解得：①
将①代入方程，
得，
整理得：.
令，可得是该方程的解，
所以，将方程的曲线按顺时针旋转，
则所得曲线的方程为，
故曲线是以和为焦点的双曲线，
又因为双曲线是由曲线绕坐标原点旋转而得到的，
所以曲线也是双曲线，
将点按逆时针旋转，得到点，
将点按逆时针旋转，得到点，
所以，双曲线的焦点坐标为与.
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
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