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3.2双曲线
一、单选题
1．已知F1，F2是双曲线E： 的左，右焦点，点M在E上，M F1与 轴垂直，sin ，则E的离心率为
A． B． C． D．2
2．若双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
3．已知双曲线 ，则该双曲线的实轴长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
4．双曲线 的渐近线方程是（　　）
A． B． C． D．
5．双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的右焦点为，坐标原点为，在双曲线的右支上存在两点，，使得四边形是正方形，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
9．已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦点，过 的直线 与 相交于 ， 两点，且 的中点为 ，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
10．设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
11．设双曲线的渐近线方程为，则a的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．以 为圆心， 为半径的圆与双曲线 的渐近线相离，则 的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知双曲线 的一个焦点是 ，椭圆 的焦距等于 ，则 　 　．
14．已知点P是双曲线 上任意一个点，若点P到双曲线两条渐近线的距离乘积等于 ，则双曲线的离心率为　 　．
15．已知 为双曲线 ： 的左焦点，直线 经过点 ，若点 ， 关于直线 对称，则双曲线 的离心率为　 　．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线上一点，且为等腰直角三角形，则C的离心率为　 　．
三、解答题
17．已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是圆上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．
18．在①双曲线 的焦点在 轴上，②双曲线 的焦点在 轴上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
已知双曲线 的对称轴为坐标轴，且 经过点 ， ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）若双曲线 与双曲线 的渐近线相同，_________，且 的焦距为4，求双曲线 的实轴长．
注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．在△ABC中，|BC|=10，sinB﹣sinC=sinA，求顶点A的轨迹方程．
20．已知双曲线的中心在原点，焦点 ， 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 .
（1）求双曲线的方程；
（2）若点 在双曲线上，求证： ；
（3）求 的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
2．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
3．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
4．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
5．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
6．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
7．【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
8．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
9．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
10．【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
11．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
12．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
13．【答案】5
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
15．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
16．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
17．【答案】【解答】设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.∴|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又B是圆上的点，圆的圆心为C，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥ ，当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为 .
【知识点】双曲线的应用
18．【答案】（1）解：的标准方程为 ，同理计算即可.
设双曲线 的方程为 ，
则 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为 ；
（2）解：双曲线 的渐近线方程为 ．
选①，设双曲线 的标准方程为 ，
所以 解得 ， ．
所以双曲线 的实轴长为2．
选②，设双曲线 的标准方程为
所以 ，解得 ， ，
所以双曲线 的实轴长为 ．
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
19．【答案】解：以BC所在的直线为x轴，线段BC的中点为原点，建立直角坐标系，∵sinB-sinC=sinA，
由正弦定理得b-c=a，∵a=10，∴b﹣c=6，即|AC|﹣|AB|=6＜10=|BC|，
∴点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线一支，即a1=3，c1=5，∴b1=4，
∴顶点A的轨迹方程为 ．
【知识点】双曲线的定义
20．【答案】（1）解：∵e＝ ，
∴设双曲线方程为x2－y2＝λ．
又∵双曲线过(4，－ )点，
∴λ＝16－10＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6．
（2）证明：∵ ＝(－3－2 ，－m)，
＝(2 －3，－m)，
∴ · ＝(3＋2 )(3－2 )＋m2＝－3＋m2．
又∵M在双曲线上，∴9－m2＝6，
∴m2＝3，∴ · ＝0．
（3）解：∵在△F1MF2中，|F1F2|＝4 ，且|m|＝ ，
∴S△F1MF2＝ ·|F1F2|·|m|
＝ ×4 × ＝6．
【知识点】双曲线的应用
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