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期末复习专题--找次品专题练（重点知识点） 2025-2026学年
下学期小学数学人教版五年级下册
一、选择题
1．“乒乓球”被称为中国的“国球”。下面4个乒乓球中有一个是次品（质量不同），根据称球情况，可知次品球是（ ）。
A．1号球 B．2号球 C．3号球 D．4号球
2．有5瓶钙片，其中4瓶的质量相同，另一瓶少了3片。下面是4位同学第一次用天平称的情况，其中表示称一次就刚好找出少3片的那瓶钙片的有（ ）。（□表示1瓶钙片）
① ②
③ ④
A．①和② B．③和④ C．②和③ D．①和④
3．有13个零件，其中有1个是次品，较其它零件稍轻。现在用无砝码天平称，要保证用最少的次数找到这个次品，则首次称时分组最恰当的是（ ）。
A．（1，1，11） B．（1，2，10） C．（2，4，7） D．（4，4，5）
4．“鉴宝”节目中，一位收藏者拿出了他收集的16枚古铜钱，这些古铜钱外形、质地完全相同，其中有1枚假铜钱，质量比其他真铜钱轻一些。利用一架天平则至少称（ ）次才能保证找出这枚假铜钱。
A．2 B．3 C．4 D．5
5．某品牌在售的散装粽子中，一个肉粽重140克，一个红枣粽重100克，只有一个肉粽，其余都是红枣粽。他想用天平称一称，那么最合适的称重分组方法是（ ）。
A． B．
C． D．
二、填空题
6．有6个小球，其中一个是次品，要轻一些。仔细观察下图，( )号球是次品。
7．质检员李叔叔不小心把一包较轻的不合格饼干混入了26包合格产品中，假如用天平称，他至少要称( )次能保证找出这包不合格产品。
8．仓库里有10盒同一规格的零件，其中一盒用去了3个零件，但无法看出哪一盒是用过的，如果用一架没有砝码的天平称，最少需要称( )次能保证找出用过的那盒。
9．下列数量的物品应该怎样分才能保证用最少的次数找出较轻的那一个次品？请把分的数量填在 里。
10．现有12个乒乓球特征相同，其中只有一个比其他乒乓球略重，现在要求用一架没有砝码的天平去称，至少称( )次才能将这个质量异常的球找出来。
11．在82个精密零件中，混进一个不合格的零件（不合格零件略轻一些）用天平至少称( )次就一定能找出这个不合格的零件。
三、解答题
12．1箱糖果有12袋，其中11袋质量相同，另有1袋质量轻一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这袋糖果？
13．有25盒果脯，其中一盒多了2个，因此稍重了一些。现在只有一架没有砝码的天平。
（1）称1次 把这盒稍重的果脯找出来。（填“有可能”或“不可能”）
（2）如果称2次， 保证把这盒稍重的果脯找出来。（填“能”或“不能”）
（3）至少称几次可以保证把这盒稍重的果脯找出来？请简单写出称的过程。
14．有9袋白糖，其中有8袋都是千克，另一袋也近似于千克，你能利用一架没有砝码的天平找出这袋白糖吗？能判断出它比千克多还是少吗？请说明你的办法。
15．金店有24枚钻戒，其中一枚质量不够，用天平称至少称几次能保证找出这枚钻戒，首先怎样分？
16．有28个乒乓球，其中有1个球是次品，但不知道比正品轻，还是重。如果只利用没有砝码的天平来判断哪个球是次品，至少要称几次能知道这个次品球是轻还是重？
17．有10箱珍珠，已知其中9箱是真珍珠，每颗珍珠重10克，还有1箱内全是假珍珠，其中每颗假珍珠重9克，现在给你一架有砝码的天平，你能否只称一次找出假珍珠所在的箱子？怎么称的？
18．有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有几个？
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 B C D B C
1．B
【分析】根据最后一幅图可知，3号球和4号球的质量相等，那么都是正常的乒乓球。再根据第二幅图可知，2号球和3号球质量不相等，由于3号球是正常的乒乓球，那么2号球是次品球。
【详解】根据称球情况，可知次品球是2号球。
故答案为：B
2．C
【分析】通过观察天平翘起的就是少了3片的那一瓶，翘起的那一端只有一瓶就可确定，或是天平平衡，剩下的只有一瓶就是少了3片的那瓶，根据分析解答即可。
【详解】①天平两端分别放两瓶，右边的两瓶较轻，但无法确定哪瓶少了3片，所以无法一次恰好找到；
②天平两端分别放两瓶，天平平衡，未称的那瓶就是少3片的，一次恰好找到；
③天平两端分别放一瓶，左边的一瓶较轻，说明是少3片的那瓶，一次恰好找到；
④天平两端分别放一瓶，天平平衡，少1片的那瓶在未称的3瓶中，无法一次恰好找到。
②和③能称一次就刚好找出少3片的那瓶钙片。
故答案为：C
3．D
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将13个零件分成（4、4、5），称（4、4），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，平衡，次品在5个中；将5分成（2、2、1），称（2、2），不平衡，次品在2个中；将2分成（1、1），再称一次即可确定次品，共3次。
要保证用最少的次数找到这个次品，则首次称时分组最恰当的是（4，4，5）。
故答案为：D
4．B
【分析】把16枚古铜钱分成5枚、5枚、6枚，第一次称，把两份5枚的放在天平的两端，会出现两种情况：
（1）如果天平平衡，则假铜钱在6枚中，再把6枚平均分成3份，每份2枚，把两份放在天平的两端，出现两种情况：①如果天平平衡，则假铜钱在剩下的2枚中，把这2枚放在天平的两端，轻的那枚是假铜钱；②如果天平不平衡，则假铜钱在轻的那2枚中，把这2枚放在天平的两端，轻的那枚是假铜钱；
（2）如果天平不平衡，则假铜钱在轻的那5枚中，把这5枚分成2枚、2枚、1枚，把两份2枚的放在天平的两端，如果天平平衡，则假铜钱是剩下的那枚；如果天平不平衡，则假铜钱在轻的那2枚中，再把这2枚放在天平的两端，轻的那枚是假铜钱。
所以至少称3次才能保证找出这枚假铜钱。
【详解】根据分析可知，至少称3次才能保证找出这枚假铜钱。
故答案为：B
5．C
【分析】根据题意，题中所求的是天平找次品的最优策略，在解答时，应把待测物品尽量平均分成3份，如果不能平均分的，也应使多的与少的一份只相差1，这样可以保证找出次品的次数最少，首先，我们考虑如何将8个粽子分组以最小化称重次数。
A．8个粽子分成1个、1个、6个，6个又分成2个、2个、2个。
这种方法需要至少3次称重：首先称1个和1个，如果不平衡，则找到肉粽；如果平衡，再称2个和2个，最后称剩下的2个，但是这种方法不是最优的，因为一开始的分组就不平衡。
B．8个粽子分成2个、2个、4个，4个又分成2个、2个。
这种方法需要至少3次称重：首先称2个和2个，如果不平衡，则找出肉粽所在的组；如果平衡，再称剩下的4个中的2个和2个，但这种方法也不是最优的。
C．8个粽子分成2个、3个、3个，3个又分成1个、1个、1个。
这种方法只需要2次称重：首先称3个和3个，如果平衡，则肉粽在剩下的2个中；如果不平衡，则肉粽在较重的那一组中，再把较重的分成1个、1个、1个，先称1个和1个，如果平衡，则剩下的就是肉粽，如果不平衡，较重的就是肉粽，这种方法最优。
D．把8个粽子分成2组各4个进行称重。
肉粽在较重的所在组；把较重的4个粽子分成1个、1个、2个，如果2个粽子平衡，则肉粽在剩下的2个粽子里，再称剩下的2个粽子，较重的那个粽子就是肉粽；如果不平衡，则较重的那个就是肉粽；这种方法需要至少3次，不是最优的。据此解答。
【详解】
根据分析可知，某品牌在售的散装粽子中，一个肉粽重140克，一个红枣粽重100克，只有一个肉粽，其余都是红枣粽。他想用天平称一称，那么最合适的称重分组方法是。
故答案为：C
6．⑤
【分析】用天平找次品，因为次品重量较轻，因此有次品的一端会上升，如果两端都没有次品，则天平会处于平衡状态，观察第一个天平，可知次品是④或⑤，再观察第二个天平，①④和②⑥平衡，说明这四个都不是次品，因此次品是⑤，据此分析。
【详解】根据分析，④⑤号轻一些，次品是④或⑤，又因为①、④、②、⑥都不是次品，因此⑤号球是次品。
7．3
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】第一次：把27包饼干平均分成三份，每份9包，任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的那包在未取的9包中，若天平秤不平衡，取较轻的一份继续称量；第二次：把含有较轻一包的9包饼干平均分成三份，每份3包，任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的那包在未取的3包中，若天平秤不平衡，取较轻的一份继续称量；第三次：把含有较轻一包的3包饼干，任取2包，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，未取的那包即为较轻的，若天平秤不平衡，较高端的那包即为不合格的。则他至少要称3次能保证找出这包不合格产品。
8．3
【分析】第一次称：把10盒分成两组（5，5），天平两端各放一组，用过的那盒在轻的一边；
第二次称：把有用过的盒的那组5盒分成三组（2，2，1），天平两端各放2盒，平衡，用过的盒就是未称的一盒；不平衡，用过的盒在轻的一边；
第三次称：把有用过的一组2盒分成（1，1），天平两端各放1盒，用过的盒在轻的一边，因此，至少称3次可以保证找出用过的，据此解答。
【详解】根据分析可知，仓库里有10盒同一规格的零件，其中一盒用去了3个零件，但无法看出哪一盒是用过的，如果用一架没有砝码的天平称，最少需要称3次能保证找出用过的那盒。
9．见详解
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】如图所示：
10．3
【分析】利用天平称重的方式，通过合理分组，逐步缩小范围，找出较重的那个乒乓球，关键在于每次分组后利用天平平衡与否确定次品所在组，从而确定最少的称重次数。
【详解】12分成（4，4，4），把任意两组的放在天平上称，可找出有次品的一组；再把有次品的一组4分成（2，2）放在天平上称，可找出有次品的一组；再把2分成（1，1），放在天平上称，可找出次品；共需3次。
所以至少称3次才能将这个质量异常的球找出来。
11．5
【分析】把82个分为27、27、28三组，第1次，各放27个，如果一样重，则在剩下的28里；把较轻的那组28个零件分为14、14两组，第2次在天平上两边各放14个，较轻的一组里有一个不合格的；第3次，把较轻的一组分为7、7两组，取出较轻的一组；第4次，较轻的那组7个零件分为3、3、1拿其中的3、3两组称；第5次，把较轻的那组3个零件分为1、1、1，3份，拿2份称，一样重就为剩下的那一个，不一样重，不足的就是我们要找的。
【详解】用天平至少称5次就一定能找出这个不合格的零件；
第一次：把82个零件分成（27、27、28）三组，如果两组27个零件一样重，则在剩下的28个里面；
第二次：28个分为（14、14）两组，找出较轻的那组；
第三次：14个分为（7、7）两组，找出较轻的那组；
第四次：7个分为（3、3、1）三组，拿出其中的3、3两组来称重；
第五次：3个分为（1、1、1）三份，拿2份称，一样重就为剩下的那一个；不一样重，不足的就是我们要找的。
【点睛】解答此题的关键是将零件进行合理的分组，逐次称量，进而找出次品；注意题目中说的是一定能找出这个不合格的零件。
12．3次，过程见详解。
【分析】将这12袋糖果分成4、4、4共3份。
第一次称：将其中两份放在天平两端，若天平平衡，次品在剩下的4袋里。若天平不平衡，次品在天平上升的一端里（4袋）。
第二次称：将次品所在的4袋糖果分成1、1、2共3份。天平两端分别放1袋糖果，若天平平衡，次品就是剩下那两袋糖果中。若天平不平衡，次品在天平上升的一端里（1袋）。
第三次称：将次品所在的2袋糖果分成1、1共2份。天平两端分别放1袋糖果，次品在天平上升的一端里。
【详解】本题一共12袋糖果且已知其中有1袋糖果质量更轻，至少要称3次，过程如下图：
答：至少称3次能保证找出这袋糖果。
13．（1）有可能
（2）不能
（3）3次；见解析
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。
【详解】（1）称1次有可能把这盒稍重的果脯找出来。将25盒果脯分成3份：12，12，1，第一次称重，在天平两边各放12盒，手里留1盒，正好天平平衡。
（2）如果称2次，不能保证把这盒稍重的果脯找出来。
（3）将25盒果脯分成3份：8，8，9；第一次称重，在天平两边各放8盒，手里留9盒；
①如果天平平衡，则次品在手里，将手里的9盒分为3，3，3，在天平两边各放3盒，手里留3盒。
a.如果天平平衡，则次品在手里3盒中，将手里的3盒分为1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，就可以鉴别出次品；
b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3盒中。
接下来，将这3盒分成三份：1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品；
②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的8盒中，将这8盒分为3，3，2，在天平两边各放3盒，手里留2盒。
a.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3盒中，
接下来，将这3盒分成三份：1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品；
b.如果天平平衡，则次品在手中的2盒中。
接下来，将这2盒在天平两边各放1盒，称重第三次就可以鉴别出次品。
答：至少称3次可以保证把这盒稍重的果脯找出来。
14．能找出这袋白糖；能判断出它比千克多还是少
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。
【详解】有9袋白糖，其中有一袋是次品，比其它略轻或略重。
第一次称重：先分成（3，3，3），天平两边各放3袋，
情况一：若天平平衡，则次品就在剩下的3袋中；
第二次称重：把3袋分成（1，1，1），天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就在这两袋中；
第三次称重：任意拿出这2袋中的1袋，再拿出前面不是次品的一袋，天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就是拿出的这袋；
情况二：若天平不平衡，次品就在这6袋中，分别把重的3袋表示为A、B、C，轻的3袋表示为D、E、F；
第二次称重：把A、D、E放到天平一端，F和2袋不是次品的放到天平另一端；①若天平平衡，则次品在B、C中；
第三次称重：任意拿出B、C中的1袋，再拿出前面不是次品的一袋，天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就是拿出的这袋；
第二次称重：把A、D、E放到天平一端，F和2袋不是次品的放到天平另一端；②若天平不平衡，分为两种情况：（1）放A的那端重；（2）放F的那端重；
（1）放A的那端重，则次品在A和F之间；
第三次称重：任意拿出A、F中的1袋，再拿出前面不是次品的一袋，天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就是拿出的这袋；
（2）放F的那端重，则次品在D和E之间；
第三次称重：任意拿出D、E中的1袋，再拿出前面不是次品的一袋，天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就是拿出的这袋。
最后把找出的次品和1袋标准的白糖放在天平两端，即可确定次品比标准轻还是重。
答：有9袋白糖，其中有8袋都是千克，另一袋也近似于千克，能利用一架没有砝码的天平找出这袋白糖，至少需要称3次，能判断出它比千克多还是少。
15．3次；首先把24枚平均分成3份
【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。
【详解】把24枚平均分成3份，每份8枚；
第一次：天平两端各放8枚，如果平衡剩下的8枚中有次品，如果不平衡，上升那端的8枚中有次品；
第二次：把8枚分成3、3、2，在天平两端各放3枚，如果平衡剩下的2枚中有次品，如果不平衡，上升那端的3枚中有次品；
第三次：次品在2枚中或者在3枚中都能一次找出次品。
答：用天平称至少称3次保证找出这枚钻戒，首先把24枚平均分成3份。
【点睛】本题是一道关于找次品方面的题目，依据天平的平衡原理是解答本题的关键。
16．2次
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】先把28个分为（9，9，10）：天平两端各放9个，①平衡：则次品在10个中，把10个的放在天平一端，然后把正品的两组9个任意一组添上1个，变成10个，和含有次品的10个分别放在左右两端，就能确定次品的轻重了；②不平衡：则次品在9个中，则余下的10个是正品，把任意一组9个，放在天平一端，再把10个一组的减去1个，变成9个，放在天平另一端，从而确定次品的轻重。所以至少要称2次能知道这个次品球是轻还是重。
【点睛】本题主要考查找次品的实际应用，解题时注意本题不是找出次品而是确定次品是轻还是重。
17．能，过程见详解
【分析】把箱子按1－10的顺序编上号码，1号箱取1个珍珠，2号箱取2个珍珠，3号箱取3个个珍珠，……，10号箱取10个珍珠。1＋2＋3＋…＋10＝55个，55×10＝550（克），称出的质量比550克少几克，次品就是几号箱，据此解答。
【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝（1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6）
＝11＋11＋11＋1l＋11
＝11×5
＝55（个）
55×10＝550（克）
答：能只称一次找出假珍珠所在的箱子。
【点睛】本题考查找次品问题，明确每个珍珠的质量比正品少1克是解题的关键。
18．27个
【分析】（1）如果有3个玻璃球，称1次能够找出次品：把3分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要2次才能找出次品；
（2）如果有3×3＝9个玻璃球，最少需要2次能够找出次品：把9分成三组（3，3， 3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要3次才能找出次品；
（3）如果有3×3×3＝27个玻璃球，最少需要3次能够找出次品：把27分成三组（9，9，9），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（3，3， 3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要4次才能找出次品；据此解答。
【详解】当玻璃球个数为9个时，至少需要称2次找出次品，当玻璃球个数为10个时，至少需要称3次找出次品，当玻璃球个数为27个时，至少需要称3次找出次品，如果至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球，这堆玻璃球可能有10~27个。
答：这堆玻璃球最多有27个。
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
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