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人教版数学七年级下册专题训练—— 对顶角及其性质
一、选择题
1． 如图，直线相交于点O，于点O，．则等于（　　）
A． B． C． D．
2．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与之间保持一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③若时，；④．其中正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE=α，∠DOF：∠AOD=2：3，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．若 ，则 B．等边三角形是锐角三角形
C．相等的角是对顶角 D．全等三角形的面积相等
6．下列说法：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③等角的补角相等；④如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角，其中正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，若AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，则下列结论不正确的是（　　）
A．∠1与∠2互为余角 B．∠2与∠3互为余角
C．∠1=∠3 D．∠AOC与∠BOE 是邻补角
8．如图，两条直线相交于点O，若射线OC平分平角∠AOB，∠1=56°，则∠2等于（　　）
A．44° B．56° C．45° D．34°
9．如图，E在线段的延长线上，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
10．如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为　 　度．（备注：入射角等于反射角）
11．已知直线与相交于点O，，平分，作射线，垂足为O，则的度数为　 　．
12．若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则　 　．
13．如图，已知，则的度数为　 　度．
14．直线与相交于点O，，则的度数为　 　．
三、解答题
15．如图，两直线、相交于点，平分，如果，
（1）求；
（2）若，求．
16．如图①，已知线段AB，CD 相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“对顶三角形”.
（1）求证：∠A+∠C=∠B+∠D.
（2）如图②，若∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点 P，且与CD，AB 分别相交于点M，N.
①以线段AC 为边的“对顶三角形”有 ▲ 个，以点O为交点的“对顶三角形”有 ▲ 个.
②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P 的度数.
③若角平分线中角的关系改为 试探究∠P 与∠B，∠C 之间存在的数量关系，并证明理由.
17．如图，已知点O为直线AB上一点，，，OE平分.
（1）求的度数；
（2）如图，若，求的度数.
18．综合探究
如图，在直角中，，点A在直线上，点D、E在直线上运动（点D不与点A重合），且始终满足平分．
（1）当点D在点A左侧时，请直接写出与之间的数量关系．
（2）若，在点D、E运动的过程中，当是直角三角形时，求的度数．
（3）请你在以点C为顶点的角中任选一个（、、除外），在点D、E运动的过程中，探究所选角与的数量关系，并写出具体过程．
19．如图 1， 将一张宽度相等的纸条 按如图所示方式折叠， 记点 的对应点分别为 ， 折痕为 ， 且 交 于点 .
（1） 若 ， 则 　 　度.
（2） 如图 2， 在 (1) 的条件下， 将四边形 沿 向下翻折， 记 的对应点分别为 . 再将长方形 沿着 翻折， 记 的对应点分别为 ， 折痕为 (点 在 上， 点 在 上). 若 ， 求 的度数.
（3） 如图 3， 分别作 的平分线交于点 ， 连结 ， 作 的平分线交 于点 ， 延长 交 于点 . 若 比 多 ， 求 的度数.
20． 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD．
（1）若∠BOD=40°，求∠COF的度数；
（2）若∠AOC：∠COE=2：3，求∠DOF的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】B
10．【答案】27
11．【答案】72°或108°
12．【答案】40或80
13．【答案】240
14．【答案】45°
15．【答案】（1）解：∵，，
，．
．
∵平分，
，
．
（2）解：∵，，
，
．
16．【答案】（1）证明：∵∠A+∠C=180°-∠AOC，
∠B+∠D=180°-∠BOD，
∠AOC=∠BOD，
∴∠A+∠C=∠B+∠D.
（2）解：①3，4；
②∵∠P+∠CDP=∠C+∠CAP
∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BAP
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC
∴∠BAP=∠CAP，∠CDP=∠BDP
∴2∠P=∠B+∠C
∵∠B=100°， ∠C=120°
∴∠P= (∠B+∠C) =110°
③3∠P=∠B+2∠C.理由如下：
设∠CAP=x，∠CDP=y，
∵
∴∠OAP=2x，∠BDP=2y，得 消去x，y，得3∠P=∠B+2∠C.
17．【答案】（1）解：，，
，
平分，
，
，
（2）解：，OE平分，
，
又，，
18．【答案】（1）
（2）解：∵点D、E在直线上运动，平分，，∴点E在点A的右侧，
∵是直角三角形，
∴或，
①若，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
②若，如图，
∵
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
综上所述，或；
（3）解：探究与的数量关系，∵点D、E在直线上运动，平分，，
∴点E在点A的右侧，
①点D在点A左侧时，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即；
②点D在点A右侧时，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
则，
即．
19．【答案】（1）26
（2）解：由题意可分两种情况：①当AB向下翻折时，如图，
∵∠GEC=52°，AD∥BC，
∴∠CEG=∠FGC =52°，
由折叠的性质可得：∠FGC =∠FGC =52°，QA ∥C G，
∵AB ∥C D ，
∴∠AQG=∠FGC =52°，
∴∠AQA =180°-∠AQG=128°，
由折叠的性质可得：∠AQP=∠A QP=×128°=64°，
∵AD∥BC，
∴∠BPQ=180°-∠AQP=180°-64°=116°；
②当AB向上翻折时，如图，
由①可得：∠C GF=∠PHG=52°，
∵AD∥BC，
∴∠BPH=∠PHG=52°，
由折叠的性质可得：∠QPB=∠QPH=×52°=26°；
由①②可得，∠QPB的度数为26°或116°.
（3）解：补全图形如下：
设∠GFE=x，则∠FGC =x+27°，
由折叠的性质可得：∠FEG=∠FEC=x，
∵AD∥BC，
∴∠GEC=∠FGC =2x，
∴2x=x+27°，解得：x=27°，
∴∠FGC =2×27°=54°=∠AGE，
∴∠AGQ=∠QGE=×54°=27°，
∴∠AGO=∠OGE=∠GOE=27°，∠QEG=180°-∠AGE=180°-54°=126°，
∵∠QEM=∠GEM，
∴∠QEM=∠GEM=×126°=63°，∠MBE=8°，
∴∠BME=180°-63°-8°=109°，
∵∠BME=∠EMN，
∴∠BME=∠EMN=×109°=54.5°，
∴∠MNE=180°-54.5°-63°=62.5°，∠GQE=27°，
∴∠QMN=∠MNE-∠GQE=62.5°-27°=35.5°.
故答案为：∠QMN=35.5°.
20．【答案】（1）解：，
，
，
又OF平分∠AOD，
，
．
（2）解：，，
设，，
则
，即，
，
，
又OF平分∠AOD，
．

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