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小升初典型应用题--周期问题和配套问题 专题练
2026学年小学数学人教版六年级下册复习备考
一、选择题
1．甲、乙两人从A地到B地，甲步行的速度为每小时3千米，乙步行的速度为每小时5千米，两人骑自行车的速度都是15千米。现在甲先步行，乙先骑车，两人同时出发，走了一段路程后，乙放下车步行，甲走到乙放自行车处改骑自行车，以后不断交替行进，两人恰好同时到达B地，则甲走全程的平均速度为每小时多少千米？（ ）
A．5 B． C． D．6
2．一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果按甲、乙、甲、乙…顺序交替工作，每次1小时，那么需要（　　）小时完成。
A．7 B． C． D．
3．一项工程，甲单独做要10小时完成，乙单独做要12小时完成。如果按甲、乙、甲、乙、……的顺序交替工作，每人工作1小时后交换，那么需要______小时才能完成任务。（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．某水池装有三个进水管，单独开放甲管24小时可以灌满，单独开放乙管30小时可以灌满；如果按甲，乙，丙的顺序轮流开放各1小时，然后循环往复持续下去，则29小时可以灌满；如果同时打开甲，乙，丙三管，分别开放a，b，c小时（这里a，b，c均为整数），那么，至少需要( )小时恰好灌入半池水。
5．一项工程，甲单独完成需l2小时，乙单独完成需15小时。甲乙合做1小时后，由甲单独做1小时，再由乙单独做1小时，……，甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用________小时。
6．一项工程，甲单独做要4小时完成，乙单独做要8小时完成，如果甲，乙，甲，乙…的顺序交替工作，每人工作1小时后交换，那么，需要_____小时才能完成任务．
7．打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成．现在，甲、乙两人轮流工作．甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时…如此交替下去，打印这部稿件共要　 　小时。
8．（成都）一项工程甲单做要6小时完成，乙单独做要10小时完成，如果按照甲、乙、甲、乙…顺序交替工作，每次工作1小时，那么要_____分钟才能完成．
9．一项工程，甲、乙合做时可以完成。若第1时乙做，第2时甲做，这样交替轮流做，恰好整时数做完；若第1时甲做，第2时乙做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多时，则乙的工作效率是( )。若这项工作由甲单独做，则要用( )时才能完成。
三、解答题
10．一个水池安装了甲乙两个进水管。单开甲管24分钟能把空池灌满，单开乙管18分钟可以把空池灌满。现在甲乙两管轮流开，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟……如此交替下去，灌满一池水共用多少分钟？
11．一个水池有甲、乙、丙三个排水管，要把水池里的水全部排完，原计划按甲、乙、丙、甲…的顺序每个排水管打开一小时，恰好整数小时排完；若按乙、丙、甲、乙…的顺序轮流打开三个排水管，则比原计划多用30分钟；若按丙、甲、乙、丙…的顺序轮流打开三个排水管，则比原计划多用20分钟。已知单独打开甲排水管22小时可以将水排完。请问原计划多少小时能将水池里的水排完？
12．某车间为了能高质量准时完成一批齿轮订单，对车间工人提前进行了加工齿轮效率的测试，经过统计测算，平均每个工人加工齿轮效率情况如图。
（1）根据图象判断，加工齿轮的个数和天数成________比例。
（2）加工小齿轮的效率比大齿轮高________%。
（3）已知这个车间有工人85人，1个大齿轮和3个小齿轮配为一套，为了使大小齿轮能成套出厂，如果你是车间主任，怎样安排这85名工人最合理？
13．学校新配一套桌椅（一张桌子和一把椅子）的价格是360元，椅子的价格和桌子的价格比是3︰5.桌子和椅子的价格各是多少元？
14．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少人？
15．家具厂有70名木匠师傅，每个木匠师傅平均每天能加工10张课桌或者15张方凳。1张课桌必须与2张方凳一起配成一套销售。为了使一天加工的课桌和方凳刚好配套，家具厂需要安排多少人加工课桌？多少人加工方凳？
16．某车间共有86个工人，已知每个工人每天可以加工甲种部件15个，或乙种部件12个，或丙种部件9个。3个甲种部件、2个乙种部件、1个丙种部件恰好配成一套。如果要使加工后的部件恰好配套，那么应安排多少人加工甲种部件、多少人加乙种部件、多少人加工丙种部件？
参考答案
题号 1 2 3
答案 C C A
1．C
【解析】根据题意，设甲步行共走了x千米，骑自行车走了y千米，那么乙骑车共行了x千米，步行共行了y千米，因为两人是同时到达B地，分别表示出甲行完全程所用时间和乙行完全程所用时间，两者相等，据此找出x和y之间的关系。再根据平均速度＝路程÷时间，解答即可。
【详解】解：设设甲步行共走了x千米，骑自行车走了y千米，那么乙骑车共行了x千米，步行共行了y千米。
5x＋y＝3y＋x
y＝2x
甲的平均速度是：（x＋y）÷（）
＝3x÷
＝3÷
＝（千米）
故选择：C。
【点睛】此题主要考查行程问题，明确甲、乙行完全程所用时间相同，并且甲步行时间等于乙骑车时间，甲骑车时间等于乙步行时间。
2．C
【解析】把工程量看作单位“1”，甲工作效率是每小时， 乙是，据此列式解决问题。
【详解】甲乙合作完成需要：
1÷（+），
=1÷，
=3.75（小时）；
每人工作3小时，还剩下：
1﹣（+）×3，
=1﹣，
=；
甲再工作1小时，剩下的由乙完成需要：
（﹣）÷，
=÷，
=（小时）；
一共3×2+1+=（小时）；
答：需要小时完成。
故选：C。
3．A
【分析】将这项工程看成单位“”1，则甲的工作效率是，乙的工作效率是。甲乙工作效率之和是，两人各自工作5小时（共10小时）后，完成了这项工程的，剩下的按照交替顺序应该是甲完成，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，再加上10个小时即可。
【详解】
（小时）
10＋＝（小时）
则需要小时才能完成任务。
故答案为：A
4．6
【分析】根据甲乙丙三水管开放29小时灌满水池，且甲乙丙轮流各开放1小时可以求出29个小时里面，甲和乙各开放了10小时，丙开放了9小时，据此求出丙的工作效率，然后根据题意可知甲的工作效率×a＋乙的工作效率×b＋丙的工作效率×c＝，据此求出满足题意的a、b、c即可。
【详解】29÷3＝9（小时）……2（小时）
即甲和乙水管各开放了9＋1＝10（小时），丙水管开放了9小时
1÷24＝
1÷30＝
1－－
＝1－－
＝
即丙水管9小时灌了水池的水，所以丙管的工作效率是
即单独开放丙管36小时可以灌满。
根据题意可得：
即
所以30a＋24b＋20c＝360
即15a＋12b＋10c＝180
因为甲管工作效率最高，考虑180÷15＝12，即尽量让a最大：
即当a＝12时，甲管工作12小时，乙管、丙管都不用开放即可灌满水池的一半，不符合甲、乙、丙三水管同时开放的条件；
当a＝11时，没有办法找到b和c为整数的情况满足15a＋12b＋10c＝180；
当a＝10时，没有办法找到b和c为整数的情况满足15a＋12b＋10c＝180；
当a＝9时，没有办法找到b和c为整数的情况满足15a＋12b＋10c＝180；
当a＝8时，b＝5，c＝0，不符合甲、乙、丙三水管同时开放的条件；
当a＝7时，没有办法找到b和c为整数的情况满足15a＋12b＋10c＝180；
当a＝6时，b＝0，c＝9，不符合甲、乙、丙三水管同时开放的条件；
当a＝6时，b＝5，c＝3，符合甲、乙、丙三水管同时开放的且a、b、c均是整数而且15a＋12b＋10c＝180，此时至少需要6小时；
当a＝5时，没有办法找到b和c为整数的情况满足15a＋12b＋10c＝180；
当a＝4时，b＝5，c＝6，符合甲、乙、丙三水管同时开放的且a、b、c均是整数而且15a＋12b＋10c＝180，此时至少需要6小时；
再枚举下去，找不到比6小时更小的时间了。即至少需要6小时。
所以如果同时打开甲，乙，丙三管，分别开放a，b，c小时（这里a，b，c均为整数），那么，至少需要6小时恰好灌入半池水
【点睛】本题考查了工程问题的应用。属于不定方程整数解的情况，写出不定方程并解答，是解决此题的关键。
5．12.25
【分析】先求出甲、乙合做1小时后，剩下的工作量是多少，甲、乙轮流各做1小时，完成的工作量是一定的，可以按照周期问题求解。
【详解】甲、乙合做1小时后，还剩下：；
甲、乙单独做2小时，共做
2×5＝10（小时），甲、乙先各做5小时；
还剩下，需要甲做1小时，还有，乙还需要做小时；
一共需要1＋10＋1＋0.25＝12.25（小时）
所以完成该工程共用12.25小时。
【点睛】本题考查的是工程问题，这里求出甲、乙合做1小时剩下的工作量后，不能直接用。
6．5
【分析】首先根据：工作时间＝工作量÷工作效率，把甲、乙各工作1小时看做一个循环周期，则需要1÷（+）＝2个循环，得数不是整数，所以经过2个循环周期，此时还剩下全部工作量的，此时轮到甲工作，甲工作1小时正好完成，据此求出需要多少小时才能完成任务即可．
【详解】1÷（+）
＝1÷
＝2（小时）
[1﹣（+）×2]÷
＝[1﹣×2]÷
＝[1﹣]÷
＝÷
＝1（小时）
2×2+1
＝4+1
＝5（小时）
答：需要5小时才能完成任务．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率．
7．
【分析】把工作总量看作单位“1”，甲单独打要12小时完成，则甲每小时完成，乙单独打要15小时完成，乙每小时完成，甲工作1小时，乙工作2小时完成，甲工作2小时，乙工作1小时完成，6小时甲乙共完成，则每6个小时两人完成全部的，12小时后完成，还剩，甲再工作1小时后还剩，乙再工作（小时）完成工作，12＋1＋即是打印这部稿件共需的时间。
【详解】
＝（）＋（）
＝
＝
12＋1＋（1－）÷
＝12＋1＋（1－）÷
＝13＋
＝13＋
＝13＋
＝（小时）
打印这部稿件共要小时。
8．440
【分析】甲、乙、甲、乙…顺序交替工作，每次工作1小时，可按每两小时为单位进行分析，由于两人每两小时完成总工作量的＋，1÷（＋）＝3，则3个两小时后两人可完成全部的（＋）×3＝，此时还剩下全部工作量的1－＝，此时轮到甲工作，甲工作1小时后，还剩下全部的－＝，所以乙再工作÷═小时后，即可完成全部工作，据此完成。
【详解】1÷（＋）
＝1÷
＝1×
＝3
1－（＋）×3
＝1－×3
＝1－
＝
－×1＝－＝
÷＝×10＝（小时）
3×2＋1＋＝6＋1＋＝7（小时）
7×60＝440（分钟）
要440分钟才能完成工作。
9． 7
【分析】根据题意可知，如果第1时乙做，第2时甲做，这样交替轮流做恰好整时数做完；若第1时甲做，第2时乙做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多时，这句话说明乙甲交替轮流做是乙结尾，而甲乙交替轮流做是乙做完1时后，甲再做时完成，说明甲做1时的效率＝乙做1时＋甲的，从而可知，乙的工作效率＝甲的，则甲乙的工作效率比为5∶3，用甲乙的工作效率和分别乘甲、乙的工作效率占工作效率和的分率即可求出甲、乙的工作效率；再根据“工作总量÷工作效率＝工作时间”解答即可。
【详解】工作效率和：1÷＝；
甲乙的工作效率比为5∶3；
乙的工作效率为：×＝；
甲的工作效率为：×＝；
1÷＝7（天）
【点睛】解答本题的关键是找到甲、乙的工作效率比，再根据按比例分配的知识点求出乙的效率，根据工作总量、工作效率和工作时间的关系求出甲单独做需要的时间。
10．20.5分钟
【分析】要解决甲乙两管交替进水灌满水池的问题，需先明确单管效率，再分析循环周期内的总进水量，最后计算完整周期后的剩余水量及所需时间，具体步骤如下：
步骤 1：计算甲、乙管的进水效率
将“灌满空池”的工作量视为“1”个单位，进水效率＝工作量÷时间，因此：
甲管效率（每分钟进水量）：（单开2分钟灌满，1分钟灌）
乙管效率（每分钟进水量）：（单开18分钟灌满，1 分钟灌）
步骤 2：分析交替循环的周期与进水量
题目中交替规律为：现在甲乙两管轮流开，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟……如此交替下去，形成一个完整循环。
周期时长：1＋2＋2＋1＝6分钟
周期内总进水量：分别计算各阶段进水量并求和
步骤 3：计算完整循环的次数与剩余水量
假设进行n个完整循环，总进水量需≤1，进行试算。
步骤 4：计算剩余水量的填充时间
步骤 5：计算总时间
总时间＝完整循环时间＋剩余水量填充时间：
【详解】甲管效率，乙管效率
甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，这是一个周期，下一次会从甲管灌水；这个周期中甲乙各使用3分钟，总共用去6分钟，它们的总灌水量为：
3×（＋）
＝ 3×（＋）
＝3×
＝
周期时长：1＋2＋2＋1＝6（分）
3×6＝18（分）
3个循环（18 分钟）后，剩余水量：
×3
＝1
＝
甲管再开1分钟（18~19 分钟）剩余水量：－＝
乙管继续开（19 分钟后）注满时间： ÷＝＝1.5（分）
总时间：3×6＋1＋1.5＝20.5（分）
答：灌满一池水共用20.5分钟。
11．28小时或者29小时
【分析】无论是按照哪种顺序排水，都是按照3个小时为一个周期。按甲、乙、丙、甲、…的顺序每个排水管打开一小时，恰好整数小时排完，所以最后1小时由甲排水管或乙排水管完成，不能由丙排水管完成，如果那样的话，三种排水顺序需要的时间是相同的。这样就分两种情况：
（1）最后1小时由甲排水管完成
【甲、乙、丙、甲、乙、丙、…、甲、乙、丙、】甲
【乙、丙、甲、乙、丙、甲、…、乙、丙、甲、】乙、丙
【丙、甲、乙、丙、甲、乙、…、丙、甲、乙、】丙、甲
甲＝乙＋丙＝丙＋甲，设甲的工作效率为3份，乙的工效是x份，丙的工效是y份。
根据丙＋甲＝甲，得出丙的功效是2份，根据乙＋丙＝甲得出乙的功效也是2份。单独打开甲排水管22小时可以将水排完，甲的工效是3份，则整个排水的工作总量是66份，将66份的水按照原计划甲乙丙的顺序，工效总和是7份，需要完成9份这样的周期，还剩下3份的工作未完成，给甲正好1个小时完成。9份的周期里面，每个周期是3的小时，一共是27小时，加上最后甲排的1小时，原计划的时间是28小时。
（2）最后1小时由乙排水管完成
【甲、乙、丙、甲、乙、丙、…、甲、乙、丙、】甲、乙
【乙、丙、甲、乙、丙、甲、…、乙、丙、甲、】乙、丙、甲
【丙、甲、乙、丙、甲、乙、…、丙、甲、乙、】丙、甲、乙
甲＋乙＝乙＋丙＋甲＝丙＋甲＋乙，设甲的工作效率为4份，乙的工效是x份，丙的工效是y份。将甲＋乙＝乙＋丙＋甲＝丙＋甲＋乙进行简化，则甲＝丙＋甲，乙＝丙＋乙。根据甲＝丙＋甲，得出丙的功效是2份，根据乙＋丙＝丙＋甲得出乙的功效是3份。单独打开甲排水管22小时可以将水排完，甲的工效是4份，则整个排水的工作总量是88份，将88份的水按照原计划甲乙丙的顺序，工效总和是9份，需要完成9份这样的周期，还剩下7份的工作未完成，给甲正好1个小时完成4份，乙1个小时完成3份。9份的周期里面，每个周期是3的小时，一共是27小时，加上最后甲、乙各排的1小时，原计划的时间是29小时。
【详解】30分钟＝小时，20分钟＝小时
（1）最后1小时由甲排水管，设甲的工作效率是3份，乙的工效是x份，丙的工效是y份。
y＋＝3
y＝3－1
y＝2
x＋＝3
x＝3－1
x＝2
22×3＝66（份）
3＋2＋2＝7（份）
66÷7＝9（组）……3份
9×3＋3÷3
＝27＋1
＝28（小时）
（2）最后1小时由乙排水管完成，设甲的工作效率是4份，乙的工效是x份，丙的工效是y份。
4＝y＋
y＝4－2
y＝2
x＝2＋
＝2
x＝
x＝3
22×4＝88（份）
4＋3＋2＝9（份）
88÷9＝9（组）……7（份）
9×3＋2
＝27＋2
＝29（小时）
答：原计划28小时或者29小时能将水池里的水排完。
【点睛】需要理解题目中的意思，无论是怎么样的循环方式，完成3个小时的工作总量是一样的。
12．（1）正；（2）25；（3）做大齿轮有25人，小齿轮有60人。
【分析】（1）根据图象可以直接看出加工齿轮的个数和天数成正比例；
（2）根据效率＝齿轮加工个数÷天数，分别求出大小齿轮的效率，用它们的差除以加工大齿轮的效率即可；
（3）设x人做大齿轮，（85－x）人做小齿轮，使加工的大小齿轮的个数比是1∶3，据此列比例解答即可。
【详解】（1）根据图象判断，加工齿轮的个数和天数成正比例。
（2）50÷5＝10（个），40÷5＝8（个）
（10－8）÷8
＝2÷8
＝25%
加工小齿轮的效率比大齿轮高25%。
（3）解：设x人做大齿轮，（85－x）人做小齿轮，
8x∶[（85－x）×10]＝1∶3
（85－x）×10＝3×8x
（85－x）×10＝24x
85×10－10x＝24x
34x＝850
34x÷34＝850÷34
x＝25
85－25＝60（人）
答：做大齿轮有25人，小齿轮有60人。
【点睛】此题考查了正比例的实际应用，明确工作效率是一定的是解题关键。
13．桌子225元；椅子135元
【详解】桌子：360× =225（元）
椅子：360× =135（元）
14．10人；16人
【分析】首先根据题意，设应安排生产螺钉x人，则应安排生产螺母（26﹣x）人；然后根据：每人每天可以生产螺母的数量×安排生产螺母的工人的人数＝每人每天可以生产螺钉的数量×安排生产螺钉的工人的人数×2，列出方程，求出x的值是多少，进而求出应安排生产螺母多少人即可。
【详解】解：设安排x名工人生产螺钉，则（26-x）人生产螺母，由题意得：
1000（26-x）=2×800x
x=10
26-10=16（人）
答：应安排生产螺钉和螺母的工人各10人，16人。
15．30人加工课桌；40人加工方凳
【分析】根据“家具厂有70名木匠师傅”，可以设加工课桌的有人，则加工方凳的有人；那么每天生产的课桌数量为张，方凳数量为张。根据配套条件，方凳数量是课桌数量的2倍，据此列出方程，并求解。
【详解】解：设加工课桌的有人，则加工方凳的有人。
加工方凳的有：（人）
答：家具厂需要安排30人加工课桌，40人加工方凳。
16．36人；30人；20人
【解析】设加工甲种部件a个人，加工乙种部件b个人，那么加工丙种部件（86－a－b）个人，表示出每天加工的甲种部件、乙种部件、丙种部件的数量，列比例方程求解。
【详解】解：设加工甲种部件a个人，加工乙种部件b个人，那么加工丙种部件（86－a－b）个人；
（人）
答：应安排36人加工甲种部件、30人加乙种部件、20人加工丙种部件。
【点睛】本题考查的是列比例方程求解实际问题，合理设未知数，准确列方程是求解问题的关键。
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