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2026年湖北省楚天名初协作体九年级下学期6月模拟训练（四）数学试题
一、单选题
1．下列四个数中，最大的数是（ ）
A．3 B． C．0 D．
2．鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，两个直角三角板的直角顶点，分别在斜边，上，且，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列事件中是随机事件的是（ ）
A．通常加热到时，水沸腾
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．掷一颗骰子，点数小于7
D．任意画一个五边形，它的外角和等于
7．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一个大正方形中有2个小正方形，则它们的面积，满足的关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
9．如图，的直径垂直于弦，垂足为，，，则弦的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
10．向高为30的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深与注水量的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．年1月19日，国家统计局公布的数据显示，年全年全国居民人均可支配收入超过元．数据用科学记数法表示为_________．
12．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的值可以是______．（写一个符合条件的m的值即可）
13．中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，小明准备在暑假期间随机选读其中两部，选到《西游记》和《三国演义》的概率是_________．
14．化简：______．
15．如图，矩形中，，，，分别是线段，上的点，且四边形是矩形，连接．若，则①的长是_________；②的长是________．
三、解答题
16．计算：．
17．如图，直线及其外一点．以点为圆心，适当长为半径作弧，交直线于点和，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点．连接交于点．点在上．求证：．
18．如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．无人机离地面的竖直高度为时，测得教学楼顶端处的俯角为，无人机与教学楼的水平距离为，求教学楼的高度．（参考数据：）
19．2025年11月25日，神舟二十二号飞船成功发射，中国载人航天工程首次应急发射任务取得圆满成功．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“逐梦星辰”为主题的航天知识竞赛，现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
(1)所抽取的成绩为90分的参赛作品份数是_______，并补全条形统计图；
(2)该校共收到900份参赛作品，请估计此次大赛成绩不低于90分的作品有多少份？
(3)学校对抽取的参赛作品的成绩进行分析，求得平均数为80.5，中位数为80，众数为80，从这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义．
20．阅读下列材料，并按要求完成任务．
我们知道：当两个数的和为定值时，它们的积会随着两个数的接近程度而变化．下面通过表格探究这一规律．已知两个正数，满足，下表列出了部分与对应的积．
10 11 12 13 …… 19
10 9 8 7 …… 1
100 99 96 …… 19
(1)观察与猜想：表格中的值为________，的最大值是________；
(2)推理与证明：设两个正数，满足（且为定值）．
①__________（用含和的代数式表示）；
②将配方得，；
③因此当时，的最大值为，其中________，________，（用含的代数式表示）；
(3)验证与应用：用一根长度为的绳子围成一个矩形．设矩形的一边长为，矩形面积为．当的值为_______时，的值最大，最大值是_______．
21．如图，为的直径，，为的弦，过点作的切线交的延长线于点，若．
(1)求证：平分；
(2)若，，求阴影部分的面积．
22．某景区门口有两个停车场，按停车小时数收费．A停车场，每小时收费3元，B停车场，前3小时收费10元，超过3小时的部分，每小时收费2元．
(1)设A停车场停车小时，收费元，B停车场停车小时，收费元，分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围；
(2)王老师要停车5小时，选择哪个停车场更省钱？请说明理由；
(3)当停车多少小时时，两个停车场收费相差3元？
23．在中，，，垂足为，点在上，，垂足为，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当是的中点，时，求的值；
(3)如图3，当，时，直接写出的值．
24．定义：对于坐标平面内任意一点，若点的坐标为，则称点为点的焕新点．如图，抛物线经过点和点，点是抛物线上的一个动点，横坐标为，其焕新点为，直线交直线于点．
(1)求，的值及直线的解析式；
(2)当点在线段上时，求的最大值；
(3)当焕新点在轴下方时，设．
①写出关于的函数解析式及的取值范围；
②根据的不同整数值，探索的取值个数情况．
参考答案
1．A
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∴最大的数是3．
故选：A．
2．C
【详解】
解：从前面看这个构件，可以得到的图形是，
故选：C．
3．A
【详解】解： A、合并同类项时，同类项系数相加，字母和指数不变，，∴A运算正确；
B、幂的乘方，底数不变，指数相乘，且负数的奇次幂为负， ，∴B运算错误；
C、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，∴C运算错误；
D、同底数幂相除，底数不变，指数相减，，∴D运算错误．
4．B
【详解】解：，
，
．
5．B
【详解】解：
移项得，，
系数化为1得，，
在数轴上表示如下：
6．B
【详解】解：先明确概念，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件．
∵ 选项A，通常加热到时水沸腾，是一定会发生的事件，属于必然事件，不符合要求，
选项B，篮球队员在罚球线上投篮一次，可能投中也可能未投中，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，符合要求，
选项C，掷一颗骰子，最大点数为，点数一定小于，是一定会发生的事件，属于必然事件，不符合要求，
选项D，任意凸多边形的外角和都为，任意五边形外角和不可能等于，是一定不发生的事件，属于不可能事件，不符合要求．
7．D
【详解】∵，是一元二次方程的两个实数根，
对原方程因式分解得，
∴ 方程的两个根为 ，或，，
对选项逐一判断：
选项 可能为也可能为，故错误；
选项，故错误；
选项 ，故错误；
选项 ∵是原方程的根，将代入原方程得，移项得 ，故正确．
8．B
【详解】解：设大正方形边长为，则大正方形对角线为，
将图中进行命名如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，均是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，即．
9．D
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵的直径垂直于弦，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．C
【详解】解：容器下部较粗，上部较细，且均为圆柱体，
注水过程中，水深与注水量的关系图象应为折线，
排除A、D选项；
下部底面积大，上部底面积小 ，
在下部注水时，水深随注水量的增加上升较慢，图象斜率较小（较平缓），
在上部注水时，水深随注水量的增加上升较快，图象斜率较大（较陡峭），
符合题意的图象是先平缓后陡峭的折线，
故选：C．
11．
【详解】解：．
12．1（不唯一）
【详解】解：∵反比例函数，当时，y随x增大而减小，
∴，
∴m的值可以是1，
故答案为：1（不唯一）．
13．
【详解】解：记《西游记》为A，《三国演义》为B，《水浒传》为C，《红楼梦》为D，
随机选取两部所有等可能的结果为：
，
共种等可能的结果，其中选到《西游记》和《三国演义》的结果只有种，
则所求概率为．
14．
【详解】解：
故答案为：
15．
【详解】解：①依题意，在矩形中：
，，，
由勾股定理得：，
∵，
；
②过点作交于点，交于点，
，
，，
，
，
，
又，
，
又，
，
，
，
根据勾股定理，得，
又四边形是矩形，
．
16．
【详解】解：
．
17．证明：由作图可得：，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，，
∴.
18．教学楼的高度约为
【详解】解：过作于，
结合题意可得：四边形为矩形，，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴教学楼的高度约为.
19．(1)，
补全统计图如图，
(2)估计本次大赛成绩不低于分的作品有份
(3)解：平均数为80.5，说明本次大赛的平均成绩为80.5分，反映的是整体的平均水平；
中位数为80，说明表示将所有成绩按大小排序后， 一半成绩分，一半成绩分 ，体现“中等水平”的成绩，不受极端值干扰，说明多数作品成绩集中在分左右；
众数为80，说明表示 分 是出现次数最多的成绩 ，说明该分数段在作品中最常见，反映最典型的得分倾向.
【详解】（1）解：总数为（份），
则90分的份数为（份），
补全图形略
（2）解：估计此次大赛成绩不低于分的作品有份；
答：估计此次大赛成绩不低于分的作品有份．
（3）略
20．(1)
，
(2)① ；③ ，
(3)，
【详解】（1）解：；
观察表格得的最大值是；
（2）解：①，
，
；
②，
③∵，，
∴，；
（3）解：由题意得矩形周长为，因此矩形两邻边之和为，
设矩形的一边长为，则另一边长为，矩形面积为．
∴，
由（2）③中结论知：当 时， 取得最大值，最大值为．
21．(1)证明：如图，连接，
∵过点作的切线交的延长线于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分.
(2)
【详解】（1）略
（2）解：如图，过作于，
∵，，
∴，即，
设，则
∴，
解得：，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，（舍去）
∴，
∴阴影部分的面积为：.
22．(1)，
(2)选择B停车场更省钱，理由：
当时：A停车场：（元）；
B停车场：，
（元），
，
选择B停车场更省钱．
(3)当停车小时或小时时，两个停车场收费相差元
【详解】（1）解：A停车场：每小时收费3元，停车小时，
；
B停车场：前3小时收费10元，超过3小时的部分每小时收费2元：
当时，；
当时，，
．
（2）解：当时：A停车场：（元）；
B停车场：，
（元），
，
选择B停车场更省钱．
（3）解：分两种情况讨论：
①当时，
，收费相差3元，即
解得（不符合，舍去）或；
②当时：
，收费相差3元，
即，
，
解得或（不符合，舍去），
综上，当停车小时或小时时，两个停车场收费相差元．
23．(1)证明：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
(2)
(3)
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接，过作于，取的中点，连接，
∵，，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四点共圆，而，
∴，
∵是的中点，，
∴ ，设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，延长交于，过作交的延长线于，
∵，，
设，则，设，
∴，，
∵，
∴，
同理：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
同理：，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
整理得：，
解得：（舍去），
∴，
∴．
24．(1)，直线为
(2)当点在线段上时，的最大值为
(3)①，
②当时，，
∴，
∴的整数值为，
∴的值为，
当时，，
对称轴为直线，
∴的最大值为：，
当时，，
当时，，
∴，
当时，，
解得：或，
当时，，
∴，
此时的整数值为，此时，
当时，，
对称轴为直线，
在对称轴的右侧，随的增大而增大，
当时，，
当时，，
∴，
∴的整数值为或，
∴或，
解得：（舍去）；（舍去）；
综上：根据的不同整数值，的取值有个．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为．
（2）解：如图，
∵点是抛物线上的一个动点，横坐标为，
∴，
∴，，
∴轴，
∵点在线段上，
∴，
当时，解得：，（舍去）
当时，
，
当时，的最大值为，
当时，，
对称轴为直线，在对称轴的右侧，随的增大而增大，
∴当时，的最大值为，
综上当点在线段上时，的最大值为．
（3）解：当焕新点在轴下方时，
∴，
∴，
解得：，
①如图，当时，
∴，，
∴，
当时，如图，
∴，，
∴，
如图，当时，
∴，，
∴，
当时，
∴，，
∴，
综上：．
②略

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