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2026年初中学业水平模拟考试
数学试题（二模）
（总分120分考试时间120分钟）
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共8页．
2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上．
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（ ）
A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且，现有一束光线从空气射向玻璃时发生折射，光线变成，点D为线段延长线上一点．已知，，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
5．下列图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、轴分别交于点A，B，以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数（）的图象恰好经过正方形的中心点E（即对角线的交点）．则k的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为的两根，则m的值为（ ）
A．32 B．36 C．32或36 D．不存在
9．如图1，在菱形中，分别以B，C点为圆心，以大于长为半径画弧，经过两弧交点的直线交于点E，交于点A．若点P是对角线上一动点，设的长度为，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a的值为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知：如图，四边形是边长为1的正方形，对角线、相交于点O．过点O作一直角，直角边、分别与、重合，然后逆时针旋转，旋转角为（），、分别交、于E、F两点，连接交于点G，则下列结论中正确的是（ ）．
①；
②；
③；
④在旋转过程中，当与的面积之和最大时，．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．
11．国产芯片龙头通富微电，成功突破5纳米工艺，拿下了来自美国芯片巨头AMD的大量订单，订单甚至排到了2026年，5纳米等于0.000000005米，数据“0.000000005”用科学记数法为__________．
12．分解因式：__________．
13．京剧、中医，国画，武术被称为中国四大国粹，是中华民族独有的、世代传承的文化瑰宝．县文化馆印刷了部分印有“四大国粹”图案的书签，除正面图案不同外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张，随机抽取的2张书签恰好是“京剧”和“国画”的概率是__________．
14．已知是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为3，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为__________．
15．如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，B，的坐标分别为，，，则的长为__________．
16．若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是__________．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线经过、，的半径为1（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为__________．
18．如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…，均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…，依据图形所反映的规律，__________．
三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（本题满分8分，第（1）题4分，第（2）题4分）
（1）计算：
（2）先化简，再求值，其中．
20．（本题满分8分）
在2026年某市中招体育考试中，1分钟跳绳为选考项目，男生、女生满分标准分别为180次/分钟和175次/分钟．体育考试前夕，为了解学生跳绳水平，某校从九年级学生的1分钟跳绳测试成绩（次数，用x表示）中随机抽取部分学生的成绩，并将其分成如下四组：
A组，B组，C组，D组．
下面给出了部分信息：
C组的成绩为：162，162，164，164，166，166，168，168，168，170，172，172，172，174，176，176，176，176，178，178．
根据以上信息解决下列问题：
（1）请补全频数分布直方图，C组成绩数据的众数为__________；中位数是__________次；
（2）请估计全校1500名九年级学生中1分钟跳绳成绩不低于160次的人数．
（3）学校将从成绩最好的4名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名，参加跳绳展示，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
21．（本题满分8分）如图，在四边形中，，平分，以为直径的经过点C．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求三角形的面积．
22．（本题满分8分）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测量学校综合楼及宣传牌的高度
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动
过程 模型抽象 综合楼，宣传牌，为山坡
测绘过程与数据信息 ①在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为， ②测得，，斜坡的坡角为． ③用计算器计算得：，，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）：
（1）求综合楼的高度；（2）求宣传牌的高度．
23．（本题满分8分）．城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2026年春风小区计划采购甲、乙两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元．
（1）求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？
（2）若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？
24．（本题满分10分）
【数学猜想】如图，已知正方形，点E在边上，点H在射线上，连接．
（1）如图1，当点H在边上时，过点H作交于点O，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
【深度探究】（2）如图2，平移图1中的线段，使点G与点D重合，点H在的延长线上，连接，取的中点P，连接，求证：；
【问题解决】（3）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库E、H、G（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点O．已知，水渠，求水库E到农田边的距离．
25．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线F的函数表达式；
（2）点P是线段上的一个动点，沿以每秒1个单位长度的速度由点O向点B运动，过点P作轴，交抛物线于点E，交直线于点M．在点P运动过程中，运动时间t为何值时，？
（3）设抛物线F顶点为D，点N是y轴上一动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，D，N为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2026年初中学业水平模拟考试数学试题（二模）
参考答案
考试时间：120分钟 试卷满分120分
一、选择题：本大题共10题，每小题选对得3分，共30分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D C B B D B B A
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．
11． 12． 13． 14．
15． 16．且 17．1 18．
三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
19．（本题满分8分，第（1）题4分，第（2）题4分）
（1）解：
． 4分
（2）解：
3分
当时，
原式
4分
20．（本题满分8分）
（1）解：众数为176，中位数171
补全频数分布直方图如下： 3分
跳绳成绩频数分布直方图
（2）解：不低于160次的是C组和D组，频数和为，
全校1500人中，不低于160次的人数约为900人． 5分
（3）解：两名男生表示为男1，男2，两名女生表示为女1，女2，抽取过程如图所示，
共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有8种，
抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是． 8分
21．（本题满分8分）
（1）证明：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线． 4分
（2）解：，，，
，
平分，
，
为的直径，
，
，
，
，
． 8分
22．（本题满分8分）
（1）解：∵仰角为，，
（m）．
答：综合楼的高度． 2分
（2）解：如图，过B作，，则四边形为矩形，
的坡角为，，
（m），
（m），
B处测得宣传牌顶部C的仰角为，
（m）， 5分
（m）．
答：宣传牌的高度． 8分
23．（本题满分8分）
（1）解：设购进1株甲种苗木需x元，1株乙种苗木需y元，
则，解得：，
答：购进1株甲种苗木需7元，1株乙种苗木需3元； 2分
（2）解：设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株，
由题意得：，
，
m为正整数，
m的可能取值为9、10、11、12、13，
共有5种购买方案：①购进甲种苗木9株，购进乙种苗木6株；②购进甲种苗木10株，购进乙种苗木5株；③购进甲种苗木11株，购进乙种苗木4株；④购进甲种苗木12株，购进乙种苗木3株；⑤购进甲种苗木13株，购进乙种苗木2株． 5分
（3）解：设小区年遮阴总面积为s平方米，
则，
，
s随m的增大而增大，
时，S最大，，
购进甲种苗木13株，购进乙种苗木2株时面积最大，最大面积是69平方米． 8分
24．（本题满分10分）
解：（1）猜想：，理由为： 1分
过点C作，交于点F，如图，
四边形是正方形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
又，
，
又，，
（ASA），
，
． 4分
（2）证明：由平移得，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
（ASA），
，
如图，在上截取，连接，则是等腰直角三角形，
，
，，
，
点C为的中点，
点P为的中点，
是的中位线，
，
，即． 7分
（2）解：如图，过点D作交于点N，
，即，
四边形是平行四边形，
，
，，
（km），
（km），
连接，在上方作，交的延长线于点M，
四边形是正方形，
，，
（ASA），
，，
，
，
，
，
在和中，，，，
（SAS），
，
设，则，
在中，，即，
解得：，
水库E到农田边的距离为． 10分
25．（本题满分12分）
（1）解：将，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为． 3分
（2）解：设，
当时，，
，
设直线解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
轴，
，，
，，
当时，，
解得或（舍去），
时，． 8分
（3）解：存在点N，使得以点B，D，N为顶点的三角形为直角三角形，理由如下：
，
，
设
，，，
①当为斜边时，
解得或，
或；
②当为斜边时，
解得，
；
③当为斜边时，
解得，
；
综上所述：N点坐标为或或或． 12分

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