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2026年高考上海卷数学高考真题与解析
一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共,54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若集合，且，则
【考查点】元素与集合的关系
【答案】-2
【解析】由，，所以，
2.已知数列是等比数列，且，，则
【考查点】等比数列基本量运算
【答案】54
【解析】由，，所以，
【一题多解】由，，所以.
【一题多解】由，，,
【方法总结】充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题
3.已知，则
【考查点】三角恒等变换
【答案】
【解析】.
【一题多解】由，可得
4.已知事件A和事件B互斥，且，则
【考查点】互斥事件的概率
【答案】0.7
【解析】事件A和事件B互斥，则
【方法总结】运用互斥事件的概率加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）解题时，首先要判断事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件拆分为若干个两两互斥的事件，然后求出各事件的概率，用互斥事件的概率加法公式得出结果.
5.函数是偶函数，当时，，若，则
【考查点】函数奇偶性的应用
【答案】1
【解析】若，则，因当时，
故，又因是偶函数，则有
又，可得，所以1
【速解】
【易错警示】利用f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）整体代换求解
6.在的二项展开式中，项的系数为
【考查点】二项式定理
【答案】10
【解析】的展开式的通项，
令，解得
【方法总结】求二项展开式特定项的步骤
7.已知，则=
【考查点】基本不等式求最值
【答案】
【解析】由，可得，即
【一题多解】设则
8.已知的分布为，，则=
【考查点】离散型随机变量的均值
【答案】
【解析】由题设有.
由分布列性质可得，两式相加可得
【易错警示】离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和
9．已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________．
【考查点】等差数列基本量运算
【答案】
【详解】根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出，
且，是单调递增的，所以必须满足，
所以，所以.
10．已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________．
【考查点】平面向量线性运算
【答案】
【详解】方法一：因为，所以，
因为，所以，
所以，
因为不平行，所以，
所以，
方法二：因为，，两两不平行，
所以，，
若不共面，所以，矛盾，
所以共面，可设，
所以，
所以，
因为，可设，
所以，，
所以，，
所以，所以.
11．已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________．
【考查点】导数的几何意义，三角函数的性质
【答案】
【解析】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4，
又，
所以，解得，故；
已知初速度为0，则，解得，
已知，则，
速度第一次达到4时用时秒，则，
即，则，
解得，
解得，当时取得最小正数，，
此时．
12．在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________．
【考查点】椭圆的离心率
【答案】
【解析】因为，
根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点.
①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1
则或，解得或无解；
②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2，
则或，方程组均无解；
综上所述：，，，所以离心率.
二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上）
13．为不为1的任意实数，则（ ）．
A． B． C． D．
【考查点】指数运算
【答案】B
【解析】由，则.
14．事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（ ）．
A． B． C． D．
【考查点】事件的运算
【答案】C
【解析】根据已知至少有一个发生，
则对立事件为都不发生，所以的对立事件为.
15．已知，为复数，当为实数或的共轭复数为实数时，称和互相伴随．则当和互相伴随时，和互相伴随的充要条件是（ ）．
A． B．
C． D．
【考查点】复数的运算，新定义问题
【答案】D
【解析】设，，，，
则，，，，
，，
，，
因为和互相伴随，所以，
若，则为实数，所以和互相伴随，
若和互相伴随，则，
所以和互相伴随的充要条件为.
16．已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与轴、轴、轴重合，顶点与坐标原点重合，点是正方体底面中与相对的对角顶点，点在点的正上方．将正方体绕直线旋转一周，试问点的运动轨迹会经过几个空间卦限（ ）．

A． B． C． D．
【考查点】空间图形上点的坐标
【答案】A
【解析】不妨设正方体的棱长为3，
则，，，
可得，，
设点在体对角线上的投影为，，，

则，
可得，解得，
则，即，且，
可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，
解法一：在点的轨迹任取一点，则，
则，整理可得，
令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切，
令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切，
令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切，
所以点的轨迹经过空间中的1个卦限；
解法二：将正方体补成边长为6的正方体，如图所示：

则，，，
可知为边长为的正三角形，且其中心为，且内切圆半径，
即可知点的轨迹即为的内切圆，所以点的轨迹经过空间中的1个卦限.
三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下：
颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86
二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86
(1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？
(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论）
(3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？
参考数据：
【考查点】古典概型，回归方程
【解】（1）9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为.
（2）统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现.
随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正，
又因为相关系数，故相关系数在区间上.
（3）采用方程时，2023年预测值为，
预测值与实际值差值绝对值为；
因为
，
所以，可得.
故采用方程时，
2023年预测值为，
预测值与实际值差值绝对值为；
因为，故方程对于2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小.
18．已知四棱锥，底面为矩形，底面，垂足在边上，且，，．
(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为，求二面角的大小．
【考查点】线面位置关系，二面角
【解】（1）(1)根据已知四棱锥的性质，结合已知条件，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，
则，设点，
则，
，
．
（2）四棱锥体积，解得，
，则，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设二面角为，则，
由图可知，二面角为锐角，则二面角大小为．
19．已知，函数，．
(1)已知，求的解集；
(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．
【考查点】利用导数解不等式，利用导数研究恒成立问题
【解】（1）由题意，，
在与中，
，解得，
∴，
∵，
∴，解得或或
∴不等式的解集为.
（2）由题意及（1）得，，
在中，，
∴
∵直线为在点的切线，
∴直线的方程为：，即，
∵是过点且垂直于的直线，
∴直线的方程为：，即，
在中，，与、在第一象限内均无公共点，
∴与无正实数解，
分离参数得，，，
∴直线与与曲线在内均无交点，
而，
当时，解得（舍）或，
∴当即时，函数单调递减，
当即时，函数单调递增，
∴在处取最小值，，
当时，，当时，，
∴且，即或，
∴实数的取值范围为.
20．已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．
(1)求点到双曲线渐近线的距离；
(2)若，求；
(3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【考查点】双曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，探索性问题
【解】（1）由题意可知：，，
则，，渐近线方程为，即，
所以点到双曲线渐近线的距离为.
（2）解法一：因为，
由余弦定理可得，
整理得：，
因点是双曲线上一点，则，可得，
代入可得，，则，
所以的面积为；
解法二：设，则，即，
可得，，
因为，即，解得，
所以的面积为；
解法三：因为，即，
由中线长定理可知：，
因为，可得，
代入可得，，可得，
解得，则，，
所以的面积为.
（3）不妨取，，则直线的斜率，
依题意，设直线：，则，设直线：，则，，，
联立方程，消去x可得，
则，，
可得，
可知函数在内单调递增，则，
且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故，
因，所以；
同理可得：
可知在内单调递减，则，
且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故；
由题意可知：，可得，解得，
所以存在实数符合题意，此时的取值范围为.
21．已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为．
(1)已知，，，，判断是否为排列；
(2)对，，，满足条件的，求的取值范围；
(3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，．
【考查点】函数新定义，逻辑推理问题
【解】（1）由题意得，
则当，，
则恒成立，
，
则恒成立，
故是为排列.
（2）若，则1，2，3的全排列均满足题意，
①，则有：，此时两个不等式显然成立．
②，则有：，即.
③，则有：，即.
④，则有：，即.
⑤，则有：．
⑥，则有：，即.
则上述不等式均要成立，取它们的交集有，
即，即对恒成立，
分离参数得，因为当时，，
所以.
（3）首先证明第1个结论，
观察（2）问的6个情况，若和在上同时成立，
那么排列都将是排列，此时至少为4．
当时，即，
因为是定义在上的函数，且严格单调递减，实数，
则恒成立，
又因为函数在上单调递增，
则在区间上，，.
若恒成立，则，
则只需，即，因为对任意的，，
则，则，则解得，
当时，即，
因为严格递减，所以且，
，
只要，就有，
则可取即可满足题意．
即存在，使得.
再证明第2个结论.
假设对于任意的，都有，
因为（2）中①排列始终满足条件，
则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是排列．
首先，我们证明不可能恒成立：
假设对于某个，在上恒有．
即，
即，
取．由于严格递增，
令，
则，
于是对任意正整数：
，
当时，，这与矛盾！
因此，不可能恒成立．则排列③排列和④排列永远不可能是排列．
接下来只剩②排列，其需满足，
⑤排列，其需满足，
⑥排列，其需满足，
下面证明：对于任意在上恒成立＂与＂在上恒成立＂这两个命题，必须有且只有一个为真．
（i）若对任意，都有，即都有，
对于任意和，
则，
当且仅当时等号成立，又因为，故等号无法取到，
所以恒成立，
则对所有的恒成立.
则此时②排列，⑤排列，⑥排列均成立，
则，与假设矛盾！
（ii）并非对于所有都有，即，
则必定存在，使得，
设，
因为是严格单调递增的连续函数，
则对于已知的，总可以找到，使得，
即，即，
同时，因为严格递增且，必有．
即，
即，即，
则可取充分小的使得，即存在，使得，
所以＂恒成立＂这个命题是假的．
既然为假，那么＂恒成立＂必须为真．
即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列成立，此时满足，
则对于，在时都有：
，
即，
取，则对于任意：
，
因为严格递增，则．
则
又因为，
则
即，对任意都成立．
取，因为，则，
则对于内的任意，都满足，
因为，故有，
但是，之前我们得到，
即，则，
则有：， 这与我们的假设相矛盾．
综上，原命题成立，必然存在，使得．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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