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期末复习强化--长方体和正方体强化练（易错知识点）
2025-2026学年下学期小学数学人教版五年级下册
一、选择题
1．在下图中选择合适的材料，搭成一个长方体，关于这个长方体，以下说法正确的是（ ）。
A．长方体的棱长总和是48cm B．长方体的表面积是98cm2
C．长方体的体积是60cm3 D．长方体的表面积是78cm2
2．把长3厘米，宽1厘米，高1厘米的长方体分割成3个小正方体，表面积增加了（ ）平方厘米。
A．3 B．6 C．1 D．4
3．四个同学分别用8个1cm3的立方体测量3个盒子的容积，容积最小的盒子是（ ）。
A．B． C． D．
4．把两个完全相同的小正方体拼成一个长方体后，这个长方体的表面积比原来每个小正方体的表面积增加60平方厘米，那么原来每个小正方体的表面积是（ ）平方厘米。
A．72 B．60 C．180 D．90
5．把如图的长方体木料锯成两个正方体，要在表面上涂满油漆，需要比原来多涂（ ）平方厘米。
A．25 B．50 C．100 D．125
6．下图是测量一个铁球体积的过程：①将300mL的水倒入一个容积是500mL的杯子中；②将四个相同的铁球放入水中，水没有满；③再将一个同样的铁球放入水中，水满溢出。根据以上测量过程推测一个铁球的体积是在（ ）。
A．50cm3以上60cm3以下 B．30cm3以上40cm3以下
C．40cm3以上50cm3以下 D．无法确定
7．已知大长方体的棱长之和为60cm，长为8cm，底面面积为32cm2，如果把这个长方体从正面的中间挖去一个小正方体，小正方体棱长之和为12cm，那么（ ）．
①体积变小，表面积变大
②体积变小，表面积变小
③体积、表面积均不变
④挖去小正方体后的体积是95cm3，表面积是140cm2
⑤挖去小正方体后的体积是96cm3，表面积是140cm2
⑥挖去小正方体后的体积是96cm3，表面积是136cm2
A．②④ B．③⑥ C．①④ D．①⑤
二、填空题
8．一个正方体的棱长之和是60dm，这个正方体的一条棱长是( )dm。
9．一个正方体铁块，它的棱长是2dm，它的棱长总和是( )dm，它的表面积是( )dm2，它的体积是( )dm3，它的占地面积是( )dm2。
10．一根铁丝正好做成一个长4cm、宽3cm、高2cm的长方体框架，这根铁丝长( )cm，如果把它做成一个正方体框架，棱长最长是( )cm。
11．一个长方体，长、宽、高分别为5m、1m和2m，如果把这个长方体平放在地面上，占地面积最大是( )m2，最小是( )m2，这个长方体的体积是( )m3。
12．已知长方体的体积是，它的高是7dm，它的底面积是( )。
13．一个瓶子最多能装2dm3的水，则2dm3既是瓶子的( )，又是水的( )。
14．一个棱长5厘米的正方体玻璃水箱，里面装有3厘米深的水，当把一块不规则的石头完全浸入水中后，水面上升到4厘米，这块石头的体积是( )立方厘米。
15．如图，正方体的棱长是4cm，从它的一个顶点处挖去一个棱长是2cm的小正方体，所剩下的物体的表面积是( )cm2。
三、计算题
16．求下面图形的表面积。
四、解答题
17．画一画。
用一块长30cm、宽20cm的长方形硬纸板（如图），裁剪粘贴成一个无盖的长方体纸盒（不考虑损耗和接缝，长、宽、高均为整厘米数），要使它的容积大于1000mL。
（1）请你在这张硬纸板上画出裁剪草图，并标明主要数据。
（2）你设计的纸盒长是（ ）cm，宽是（ ）cm，高是（ ）cm，容积是（ ）mL。
18．孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用一根36分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方分米的安全阻燃纸？这个灯笼的体积是多少立方分米？
19．如图，尽可能多地往收纳盒中放纸巾，你可以放置多少包？
结合生活实际想一想，我（ ）（填“同意”或“不同意"）小凯的想法。如果同意，请你写出理由；如果不同意，尽可能多地往乙收纳盒中放纸巾，你可以放置多少包？写出你的思考过程，可以写一写，画一画。
20．如图，在一个棱长为5分米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为2分米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中间再向下挖一个棱长为1分米的正方体小洞。求挖洞后的几何体的表面积是多少平方分米？
21．一个长方体储水箱，如果把一个底面边长是5厘米的长方体铁块（底面为正方形）全部放入水中，水面就上升9厘米（水没有溢出）；如果把长方体铁块竖直拉出水面8厘米后，水面就下降4厘米。这个长方体铁块的体积是多少？
22．如图，仓库里有A、B两种规格的铁皮各若干张，从中选出5张铁皮焊成一个无盖水箱。
（1）你能想出几种不同的选法？并算出每种选法做成的水箱容积各是多少升？
（2）如果选定容积最大且节省材料的方法做成水箱，请你算出需要多少平方分米铁皮？
（3）用（2）中做成的水箱盛水105升，浸没一个铁块后，水面离箱口0.5分米，铁块的体积是多少立方分米？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A D B D B C C
1．A
【详解】需选择4块长为6厘米，宽为3厘米的长方形和2块边长为3厘米的正方形搭成一个长方体，则搭成的长方体长为6厘米，宽为3厘米，高为3厘米，棱长总和是（厘米），表面积为（平方厘米），体积为（立方厘米）。
故答案为：A。
2．D
【分析】如图把一个长方体分割成3个小正方体增加了4个小正方形的面积，求出小正方形的面积，最后计算出4个小正方形的面积，据此解答。
【详解】
1×1×4＝4（平方厘米）
故答案为：D
【点睛】分割一次得到2个小正方体增加2个小正方形的面积，分割两次得到3个小正方体增加4个小正方形的面积。
3．B
【分析】根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，分别列式计算再比较大小即可。
【详解】A. 长宽高分别是4cm、3cm、3cm，容积是：4×3×3＝36（cm3）；
B. 长宽高分别是3cm、2cm、3cm，容积是：3×2×3＝18（cm3）；
C. 长宽高分别是4cm、4cm、2cm，容积是：4×4×2＝32（cm3）；
D. 长宽高分别是3cm、3cm、4cm，容积是：3×3×4＝36（cm3）；
36＝36＞32＞18，容积最小的盒子是B。
故选：B。
【点睛】掌握长方体的体积（容积）公式是解题的关键。
4．D
【分析】每个小正方体有6个面，把两个完全相同的小正方体拼成一个长方体后，长方体有10个小正方形的面，求出长方体比一个小正方体增加的面的数量，再求出正方体一个面的面积，乘6即可。
【详解】60÷（10－6）×6
＝60÷4×6
＝90（平方厘米）
故答案为：D
【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，正方体表面积＝棱长×棱长×6。
5．B
【分析】把长方体平均分开，正好成为两个相同的正方体，也就是说，增加的表面积是2个小正方体的面，先求出正方体一个面的面积，乘2即可求出一共要增加的面积。
【详解】5×5×2＝50（平方厘米）
所以需要比原来多涂50平方厘米。
故选：B。
【点睛】本题考查正方体的表面积，抓住长方体切割两个正方体的方法，得出增加的表面积是由2个小正方体的面围成的，是解决本题的关键。
6．C
【分析】将500mL减去300mL，求出杯子里面没有水部分的容积。根据测量过程可知，4个铁球的体积小于没有水部分的容积，5个铁球的体积大于没有水部分的容积。利用除法求出1个铁球的体积范围。
【详解】500mL＝500cm3，300mL＝300cm3
（500－300）÷4
＝200÷4
＝50（cm3）
（500－300）÷5
＝200÷5
＝40（cm3）
所以，1个铁球的体积在40cm3以上50cm3以下。
故答案为：C
7．C
【详解】长方体的底面面积为32cm2，则宽为32÷8=4cm，根据棱长为60可知，长+宽+高=60÷4=15，所以高为3cm．挖去小正方体后，体积变小，表面积变大，①正确，②③错误．
小正方体棱长之和为12cm，则小正方体棱长为12÷12=1cm
挖去小正方体后的体积是8×4×3-1×1×1=95（cm3）
挖去小正方体后的表面积是（8×4+8×3+3×4）×2+4×1×1=140（cm2）
因此④正确，⑤⑥错误．
故答案为C
8．5
【分析】根据正方体的棱长总和公式可知：正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此列式计算即可。
【详解】60÷12＝5（dm）
一个正方体的棱长之和是60dm，这个正方体的一条棱长是5dm。
9． 24 24 8 4
【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，代入数据，求出棱长总和；根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，求出正方体表面积；根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体体积；求占地面积，就是求正方体一个面的面积，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，即可解答。
【详解】2×12＝24（dm）
2×2×6
＝4×6
＝24（dm2）
2×2×2
＝4×2
＝8（dm3）
2×2＝4（dm2）
一个正方体铁块，它的棱长是2dm，它的棱长总和是24dm，它的表面积是24dm2，它的体积是8dm3，它的占地面积是4dm2。
10． 36 3
【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出这根铁丝的长度；如果把这根铁丝刚好能围成一个正方体框架，棱长总和不变，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，即可求出正方体框架的棱长，据此解答。
【详解】（4＋3＋2）×4
＝9×4
＝36（cm）
36÷12＝3（cm）
一根铁丝正好做成一个长4cm、宽3cm、高2cm的长方体框架，这根铁丝长36cm，如果把它做成一个正方体框架，棱长最长是3cm。
11． 10 2 10
【分析】根据题意可知：这个长方体的最大面的面积＝长×高，最小面的面积＝宽×高，据此求出占地面积最大和最小的情况；长方体的体积＝长×宽×高，把数据代入公式解答即可。
【详解】5×2＝10（m2）
1×2＝2（m2）
5×1×2
＝5×2
＝10（m3）
一个长方体，长、宽、高分别为5m、1m和2m，如果把这个长方体平放在地面上，占地面积最大是10m2，最小是2m2，这个长方体的体积是10m3。
12．12
【分析】根据长方体底面积＝体积÷高，列式计算即可。
【详解】84÷7＝12（平方分米）
【点睛】关键是灵活运用长方体体积公式，长方体体积＝长×宽×高＝底面积×高。
13． 容积 体积
【分析】根据容积的意义，物体所能容纳物体的体积叫物体的容积。
2dm3是指这个水瓶所能容纳水的体积，也是这个水瓶的容积。
【详解】根据分析可知，一个瓶子最多能装2dm3的水，则2dm3既是瓶子的容积，又是水的体积。
14．25
【分析】这块石头的体积＝上升的水的体积。根据题意，上升的水的形状是长5厘米，宽5厘米，高（4－3）厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出这块石头的体积。
【详解】5×5×（4－3）
＝5×5×1
＝25（立方厘米）
则这块石头的体积是25立方厘米。
15．96
【分析】分析题目，剩下物体的表面积等于棱长是4cm的正方体的表面积，据此结合正方体的表面积＝棱长×棱长×6列式计算即可。
【详解】4×4×6
＝16×6
＝96（cm2）
正方体的棱长是4cm，从它的一个顶点处挖去一个棱长是2cm的小正方体，所剩下的物体的表面积是96cm2。
16．852dm2
【分析】长方体和正方体叠加后，会减少了两个面的面积，即2个边长为6dm的正方形的面积；利用长方体的表面积公式和正方体的表面积公式，分别求出长方体和正方体的表面积，用长方体的表面积加上正方体的表面积，再减去2个正方形的面积，即可求出组合图形的表面积。
【详解】（9×6×2＋9×20×2＋6×20×2）＋6×6×6－6×6×2
＝（108＋360＋240）＋216－72
＝708＋216－72
＝852（dm2）
17．（1）见详解
（2）24；14；3；1008（答案不唯一）
【分析】根据长方体的容积＝长×宽×高，我们可以从长方体的高入手，首先假设长方体的高是1cm，则长方体的宽是20－2×1＝18cm，长是30－2×1＝28cm，计算出这个长方体的容积小于1000ml，不符合题意；
以此类推，假设长方体的高分别是2cm，3cm，4cm，5cm，找到符合题意的高，据此解答即可。
【详解】（1）24×14×3
＝336×3
＝1008（）
1008＝1008 mL
因此，我设计的无盖的长方体纸盒如下图所示：
（答案不唯一）
（2）由（1）可知
设计的纸盒长是24cm，宽是14cm，高是3cm，容积是1008mL。（答案不唯一）
18．45平方分米；27立方分米
【分析】由正方体的棱长和＝棱长×12可推导出，棱长＝正方体的棱长和÷12，据此先用铁丝长度除以12求出正方体灯笼的棱长；正方体灯笼5个面要糊上安全阻燃纸，再用棱长×棱长×5即可求出安全阻燃纸的面积；最后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出这个灯笼的体积。
【详解】（分米）
（平方分米）
（立方分米）
答：至少需要45平方分米的安全阻燃纸。这个灯笼的体积是27立方分米。
19．不同意；7包
【分析】联系生活实际可知，纸巾的形状是固定的有可能收纳盒的容积够，但是纸巾装不下，所以不能直接用收纳盒的容积除以每包纸巾的体积，应该计算收纳盒内部的长对应能放几包，内部的宽对应能放几包，最多能放几层，据此解答即可。
【详解】我不同意小凯的想法。
15÷5＝3（包）
17－7＝10（厘米）
10÷5＝2（包）
15÷7＝2（包）……1（厘米）
因为3＜4，所以只能放一层纸巾，共可以放置的数量为：
2×2＋3
＝4＋3
＝7（包）
如下图所示：
答：最多可以放置7包。
20．170平方分米
【分析】分析题目，通过平移可知：这个图形的表面积就等于棱长是5分米的正方体的表面积加棱长是1分米的正方体的前后左右4个面加棱长是2分米的正方体的前后左右4个面，据此结合正方体的表面积＝棱长×棱长×6列式计算即可。
【详解】5×5×6＋1×1×4＋2×2×4
＝25×6＋1×4＋4×4
＝150＋4＋16
＝170（平方分米）
答：挖洞后的几何体的表面积是170平方分米。
21．450立方厘米
【分析】如果把铁块竖着拉出水面8厘米长后，水面下降4厘米，那么底面边长为5厘米，高为8厘米的铁块体积，相当于这个容器高4厘米的体积。所以容器底面积为： 5×5×8÷4＝50平方厘米，长方体铁块体积＝容器底面积×水面上升的高度，据此解答。
【详解】（5×5×8÷4）×9
＝50×9
＝450（立方厘米）
答：这个长方体铁块的体积是450立方厘米。
【点睛】掌握长方体铁块的体积＝容器底面积×水面上升的高度，求出容器的底面积是解题关键。
22．（1）三种；216升；252升；252升
（2）198平方分米
（3）126立方分米
【分析】（1）根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相对。由此可知，有三种不同的选法，①选5张A；②选1张A和4张B；③选2张A和3张B。根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据分别代入公式解答。
（2）根据（1）所得容积，选出容积最大且表面积小的选法，第②和③容积一样大，但A的面积小于B，所以③的表面积小，计算需要铁皮的面积即可。
（3）根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出铁块和水的体积和，然后减去水的体积就是铁块的体积。
【详解】（1）第一种：选5张A，即是一个棱长为6分米的正方体：
6×6×6＝216（立方分米）
216立方分米＝216升
第二种：1张A和4张B，即是一个长6分米，宽6分米，高7分米的长方体：
7×6×6＝252（立方分米）
252立方米＝252升
第三种：2张A和3张B，即是一个长7分米，宽6分米，高6分米的长方体：
6×6×7＝252（立方分米）
252立方分米＝252升
（2）6×6×2＋6×7×3
＝72＋126
＝198（平方分米）
答：需要198平方分米铁皮。
（3）6×7×（6－0.5）
＝42×5.5
＝231（立方分米）
105升＝105立方分米
231－105＝126（立方分米）
答：铁块的体积是126立方分米。
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式
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