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2025-2026七年级下册数学期末测试卷【押题C卷】
【北师版】
考试时间：90分钟 满分：100分 考试范围：第1章~第6章
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．花窗是中国传统建筑中带镂空花纹的装饰窗，窗芯则是花窗内部构成图案的核心部分．下面选项中的窗芯是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．小阳有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框，那新选的木条的长度可以为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
4．跨学科试题·物理 在烧开水时，水温达到就会沸腾，如表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间和温度的数据：
0 2 4 6 8 10 12 14 …
30 44 58 72 86 100 100 100 …
在水烧开之前（即），温度T与时间t的关系式及自变量分别为（ ）
A．，t B．，t C．，t D．，T
5．（新情境试题·社会热点型）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．山东某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是．决策类人工智能、．人工智能机器人、．语音类人工智能、．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习．已知甲乙两位同学都选了“（决策类人工智能）”，丙同学选了“（人工智能机器人）”，丁同学选了“（语音类人工智能）”，如果从这人中选人到某智能公司总部观摩学习，则抽到的这两位同学选择项目是一样的概率（ ）
A． B． C． D．
6．（新情境试题·生活应用型）图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，已知，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
7．（新情境试题·学科交叉型）在物理课上，小明利用平面镜探究光的反射定律．他将平面镜斜放，让一束光线照射到平面镜上并反射，如图所示，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
9．如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形、扇形、扇形的圆心角分别为、、，让转盘自由转动1次，则指针落在扇形的概率是_____．
10．如图，图2是图1共享单车示意图，已知，，则的度数为________．
11．若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______．
12．如图，将一张长方形纸条折叠，折痕分别与交于点，点分别落在处，与交于点．若，则的度数为____．
13．（新情境试题·规律型）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”，其规律是：从第3行起，每行两端的数都是1，其余数都等于该数“两肩”上的数之和．若用数对表示第行从左到右第个数，例如表示的数是2，表示的数是6，则表示的数是___________．
三、解答题（本大题共7个小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14．（6分）先化简，后计算：，其中，．
15．（7分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点都是格点．
(1)作关于直线对称的；
(2)求出的面积．
16．（8分）为了统计初一年级同学每周的阅读时长，某数学兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查（数据共分为4组：A组：，B组：，C组：，D组，其中x表示每周阅读时长，单位为小时）已知在所调查的学生中随机选取一人，所选学生每周阅读时间不低于9小时的概率为
(1)参与此次调查的学生有______人，请补全条形统计图；
(2)______，扇形统计图中C组对应的扇形的圆心角度数为______．
(3)若初一年级学生共有750人，根据本次调查结果，估计初一年级学生中每周阅读时间不少于3小时的共有多少人？
17．（8分）如图，，，，，相交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数．
18．（10分）（新情境试题·生活应用型）小明从家骑自行车去C处的图书馆，先走上坡路到达A处，再走平路到达B处，最后走下坡路到达图书馆，小明的行程情况和时间分配情况如下图所示．
(1)小明平路每分钟比上坡每分钟多行几米？
(2)小明骑自行车下坡用时多少分钟？
19．（10分）（新情境试题·综合与实践） 在一次综合与实践课上，李老师以“潜望镜里的数学”为主题开展数学探究活动．
【初识反射】物理学中光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线（过入射点垂直于反射面的直线）都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律
(1)【理解运用】光的反射是生活中常见的现象，图1展示了光的反射定律（为法线，为反射面，m，n分别为入射光线和反射光线，和分别为入射角和反射角），其中，入射角等于反射角（即），则_______；（填“”“”或“”）
(2)【潜望探秘】了解光的反射定律后，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，如图2，，是平行放置的两面平面镜（即），入射光线经过两次反射后，得到反射光线．已知，，请证明：；
(3)【拓展探究】把两个平面镜，按如图3所示位置放置，入射光线经过两次反射后，反射光线与入射光线平行但方向相反（即）．已知，，求的度数．
20．（12分）（新情境试题·材料阅读理解型）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？
∵，∴
∴当时，代数式有最小值1．
材料二：我们定义：若两个关于x的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则A和B互为“和常多项式”，“和常值”为5．
(1)判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”；
(2)已知多项式，（m，n为常数），且M和N互为“和常多项式”．若N的最小值为2，求M和N的“和常值”；
(3)关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为．已知，求式子的最值．2025-2026七年级下册数学期末测试卷【押题C卷】
【北师版】
考试时间：90分钟 满分：100分 考试范围：第1章~第6章
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．花窗是中国传统建筑中带镂空花纹的装饰窗，窗芯则是花窗内部构成图案的核心部分．下面选项中的窗芯是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．小阳有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框，那新选的木条的长度可以为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
4．跨学科试题·物理 在烧开水时，水温达到就会沸腾，如表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间和温度的数据：
0 2 4 6 8 10 12 14 …
30 44 58 72 86 100 100 100 …
在水烧开之前（即），温度T与时间t的关系式及自变量分别为（ ）
A．，t B．，t C．，t D．，T
5．（新情境试题·社会热点型）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．山东某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是．决策类人工智能、．人工智能机器人、．语音类人工智能、．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习．已知甲乙两位同学都选了“（决策类人工智能）”，丙同学选了“（人工智能机器人）”，丁同学选了“（语音类人工智能）”，如果从这人中选人到某智能公司总部观摩学习，则抽到的这两位同学选择项目是一样的概率（ ）
A． B． C． D．
6．（新情境试题·生活应用型）图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，已知，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
7．（新情境试题·学科交叉型）在物理课上，小明利用平面镜探究光的反射定律．他将平面镜斜放，让一束光线照射到平面镜上并反射，如图所示，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
9．如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形、扇形、扇形的圆心角分别为、、，让转盘自由转动1次，则指针落在扇形的概率是_____．
10．如图，图2是图1共享单车示意图，已知，，则的度数为________．
11．若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______．
12．如图，将一张长方形纸条折叠，折痕分别与交于点，点分别落在处，与交于点．若，则的度数为____．
13．（新情境试题·规律型）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”，其规律是：从第3行起，每行两端的数都是1，其余数都等于该数“两肩”上的数之和．若用数对表示第行从左到右第个数，例如表示的数是2，表示的数是6，则表示的数是___________．
三、解答题（本大题共7个小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14．（6分）先化简，后计算：，其中，．
15．（7分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点都是格点．
(1)作关于直线对称的；
(2)求出的面积．
16．（8分）为了统计初一年级同学每周的阅读时长，某数学兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查（数据共分为4组：A组：，B组：，C组：，D组，其中x表示每周阅读时长，单位为小时）已知在所调查的学生中随机选取一人，所选学生每周阅读时间不低于9小时的概率为
(1)参与此次调查的学生有______人，请补全条形统计图；
(2)______，扇形统计图中C组对应的扇形的圆心角度数为______．
(3)若初一年级学生共有750人，根据本次调查结果，估计初一年级学生中每周阅读时间不少于3小时的共有多少人？
17．（8分）如图，，，，，相交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数．
18．（10分）（新情境试题·生活应用型）小明从家骑自行车去C处的图书馆，先走上坡路到达A处，再走平路到达B处，最后走下坡路到达图书馆，小明的行程情况和时间分配情况如下图所示．
(1)小明平路每分钟比上坡每分钟多行几米？
(2)小明骑自行车下坡用时多少分钟？
19．（10分）（新情境试题·综合与实践） 在一次综合与实践课上，李老师以“潜望镜里的数学”为主题开展数学探究活动．
【初识反射】物理学中光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线（过入射点垂直于反射面的直线）都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律
(1)【理解运用】光的反射是生活中常见的现象，图1展示了光的反射定律（为法线，为反射面，m，n分别为入射光线和反射光线，和分别为入射角和反射角），其中，入射角等于反射角（即），则_______；（填“”“”或“”）
(2)【潜望探秘】了解光的反射定律后，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，如图2，，是平行放置的两面平面镜（即），入射光线经过两次反射后，得到反射光线．已知，，请证明：；
(3)【拓展探究】把两个平面镜，按如图3所示位置放置，入射光线经过两次反射后，反射光线与入射光线平行但方向相反（即）．已知，，求的度数．
20．（12分）（新情境试题·材料阅读理解型）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？
∵，∴
∴当时，代数式有最小值1．
材料二：我们定义：若两个关于x的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则A和B互为“和常多项式”，“和常值”为5．
(1)判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”；
(2)已知多项式，（m，n为常数），且M和N互为“和常多项式”．若N的最小值为2，求M和N的“和常值”；
(3)关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为．已知，求式子的最值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2025-2026七年级下册数学期末测试卷【押题C卷】
答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
二、填空题
三、解答题
14题、
15题、
16题、
17题、
18题、
19题、
20题、
M
人、
C
每周阅读时长的扇形统计图
每周阅读时长的条形统计图
人数
160
140
120
A
120
B
m%o
D
C
080420
80
40
A B
C D
组别
B
D
H
E
A
C
行程情况
上坡、平路、下坡时间分配统计图
路程（米）
2865
上坡
40%
平路
25%
1465
B
下坡
640
35%
0
813
时间（分）
A
E
E>-
-1
m
n
B
C
3
4
A
B
G义H
D
图1
图2
图3/ 让教学更有效
2025-2026七年级下册数学期末测试卷【押题C卷】
答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
二、填空题
三、解答题
14题、
15题、
16题、
17题、
18题、
19题、
20题、
M
人、
C
每周阅读时长的扇形统计图
每周阅读时长的条形统计图
人数
160
140
120
A
120
B
m%o
D
C
080420
80
40
A B
C D
组别
B
D
H
E
A
C
行程情况
上坡、平路、下坡时间分配统计图
路程（米）
2865
上坡
40%
平路
25%
1465
B
下坡
640
35%
0
813
时间（分）
A
E
E>-
-1
m
n
B
C
3
4
A
B
G义H
D
图1
图2
图3/ 让教学更有效
2025-2026七年级下册数学期末测试卷【押题C卷】
【北师版】
考试时间：90分钟 满分：100分 考试范围：第1章~第6章
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．花窗是中国传统建筑中带镂空花纹的装饰窗，窗芯则是花窗内部构成图案的核心部分．下面选项中的窗芯是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．小阳有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框，那新选的木条的长度可以为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
4．跨学科试题·物理 在烧开水时，水温达到就会沸腾，如表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间和温度的数据：
0 2 4 6 8 10 12 14 …
30 44 58 72 86 100 100 100 …
在水烧开之前（即），温度T与时间t的关系式及自变量分别为（ ）
A．，t B．，t C．，t D．，T
5．（新情境试题·社会热点型）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．山东某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是．决策类人工智能、．人工智能机器人、．语音类人工智能、．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习．已知甲乙两位同学都选了“（决策类人工智能）”，丙同学选了“（人工智能机器人）”，丁同学选了“（语音类人工智能）”，如果从这人中选人到某智能公司总部观摩学习，则抽到的这两位同学选择项目是一样的概率（ ）
A． B． C． D．
6．（新情境试题·生活应用型）图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，已知，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
7．（新情境试题·学科交叉型）在物理课上，小明利用平面镜探究光的反射定律．他将平面镜斜放，让一束光线照射到平面镜上并反射，如图所示，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
9．如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形、扇形、扇形的圆心角分别为、、，让转盘自由转动1次，则指针落在扇形的概率是_____．
10．如图，图2是图1共享单车示意图，已知，，则的度数为________．
11．若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______．
12．如图，将一张长方形纸条折叠，折痕分别与交于点，点分别落在处，与交于点．若，则的度数为____．
13．（新情境试题·规律型）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”，其规律是：从第3行起，每行两端的数都是1，其余数都等于该数“两肩”上的数之和．若用数对表示第行从左到右第个数，例如表示的数是2，表示的数是6，则表示的数是___________．
三、解答题（本大题共7个小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14．（6分）先化简，后计算：，其中，．
15．（7分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点都是格点．
(1)作关于直线对称的；
(2)求出的面积．
16．（8分）为了统计初一年级同学每周的阅读时长，某数学兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查（数据共分为4组：A组：，B组：，C组：，D组，其中x表示每周阅读时长，单位为小时）已知在所调查的学生中随机选取一人，所选学生每周阅读时间不低于9小时的概率为
(1)参与此次调查的学生有______人，请补全条形统计图；
(2)______，扇形统计图中C组对应的扇形的圆心角度数为______．
(3)若初一年级学生共有750人，根据本次调查结果，估计初一年级学生中每周阅读时间不少于3小时的共有多少人？
17．（8分）如图，，，，，相交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数．
18．（10分）（新情境试题·生活应用型）小明从家骑自行车去C处的图书馆，先走上坡路到达A处，再走平路到达B处，最后走下坡路到达图书馆，小明的行程情况和时间分配情况如下图所示．
(1)小明平路每分钟比上坡每分钟多行几米？
(2)小明骑自行车下坡用时多少分钟？
19．（10分）（新情境试题·综合与实践） 在一次综合与实践课上，李老师以“潜望镜里的数学”为主题开展数学探究活动．
【初识反射】物理学中光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线（过入射点垂直于反射面的直线）都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律
(1)【理解运用】光的反射是生活中常见的现象，图1展示了光的反射定律（为法线，为反射面，m，n分别为入射光线和反射光线，和分别为入射角和反射角），其中，入射角等于反射角（即），则_______；（填“”“”或“”）
(2)【潜望探秘】了解光的反射定律后，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，如图2，，是平行放置的两面平面镜（即），入射光线经过两次反射后，得到反射光线．已知，，请证明：；
(3)【拓展探究】把两个平面镜，按如图3所示位置放置，入射光线经过两次反射后，反射光线与入射光线平行但方向相反（即）．已知，，求的度数．
20．（12分）（新情境试题·材料阅读理解型）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？
∵，∴
∴当时，代数式有最小值1．
材料二：我们定义：若两个关于x的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则A和B互为“和常多项式”，“和常值”为5．
(1)判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”；
(2)已知多项式，（m，n为常数），且M和N互为“和常多项式”．若N的最小值为2，求M和N的“和常值”；
(3)关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为．已知，求式子的最值．2025-2026七年级下册数学期末测试卷【押题C卷】
【北师版】
考试时间：90分钟 满分：100分 考试范围：第1章~第6章
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．花窗是中国传统建筑中带镂空花纹的装饰窗，窗芯则是花窗内部构成图案的核心部分．下面选项中的窗芯是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A选项，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B选项，是轴对称图形，故此选项符合题意；
C选项，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D选项，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
2．小阳有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框，那新选的木条的长度可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设新选木条的长度为，根据三边关系求出，再逐一判断各选项即可．
【详解】解：设新选木条的长度为，根据三角形三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
∵已有两边长度分别为和，
∴，
化简得，
对比选项，只有满足该范围．
3．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由平方差公式，能用平方差公式计算的条件是：两个二项式相乘，存在相同项和互为相反数的项，据此对各选项逐一判断即可．
【详解】解：A、中两项均为相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，不符合题意；
B、中，存在相同项，互为相反数的项和，符合平方差公式的形式，能用平方差公式计算，符合题意；
C、，两项均为相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，不符合题意；
D、，两项均为相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，不符合题意．
4．跨学科试题·物理 在烧开水时，水温达到就会沸腾，如表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间和温度的数据：
0 2 4 6 8 10 12 14 …
30 44 58 72 86 100 100 100 …
在水烧开之前（即），温度T与时间t的关系式及自变量分别为（ ）
A．，t B．，t C．，t D．，T
【答案】A
【分析】根据表格信息即可求解．
【详解】解：由表格可得，开始时温度为，每增加1分钟，温度增加，
∴温度T与时间t的关系式为：，此时自变量为t．
5．（新情境试题·社会热点型）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．山东某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是．决策类人工智能、．人工智能机器人、．语音类人工智能、．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习．已知甲乙两位同学都选了“（决策类人工智能）”，丙同学选了“（人工智能机器人）”，丁同学选了“（语音类人工智能）”，如果从这人中选人到某智能公司总部观摩学习，则抽到的这两位同学选择项目是一样的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查古典概型的概率计算，利用列举法列出所有等可能结果，再找出满足条件的结果，最后代入概率公式计算即可．
【详解】解： 人分别为甲、乙、丙、丁，从人中任选人，所有等可能的结果有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共种，
其中抽到两位同学选择项目相同的结果只有“甲乙”这种，
所求概率．
6．图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，已知，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质得到，进而得到，根据平行线的性质得到，即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．（新情境试题·学科交叉型）在物理课上，小明利用平面镜探究光的反射定律．他将平面镜斜放，让一束光线照射到平面镜上并反射，如图所示，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系计算的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
8．如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据同角的余角相等可证，又因为，可得；利用可证，根据全等三角形的性质可证，证明，根据全等三角形的性质可证，根据可证结论成立；根据全等三角形的性质可证，根据可知，；过点作，可知四边形是矩形，证明，根据全等三角形的性质可证，，根据可证结论成立．
【详解】解：，，
，
，，
，
又，
，
故①正确；
，
，
，
，
，
，
，，
在和中，，
，
，
，
且，
，
在和中，，
，
，
故②正确；
由②可知，
，
由②可知，
，
，
，
，
，
故③不成立；
如下图所示，过点作，
则四边形是矩形，
由②可知，
，
，
在和中，，
，
，，
四边形是正方形，
，
由②可知，
，
，
；
综上所述，结论正确的有①②④．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
9．如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形、扇形、扇形的圆心角分别为、、，让转盘自由转动1次，则指针落在扇形的概率是_____．
【答案】
【分析】本题主要考查几何概率的求法，根据概率公式，指针落在扇形C的概率等于扇形C的圆心角与整个圆周角的比值，据此计算即可求解．
【详解】解：由题意得，整个转盘被分成3个扇形，圆周角为，扇形C的圆心角为，
所以指针落在扇形C的概率是．
10．如图，图2是图1共享单车示意图，已知，，则的度数为________．
【答案】/70度
【分析】根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：，，
（两直线平行，内错角相等），
故答案为：．
11．若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______．
【答案】
【分析】先根据得，再结合三角形三边关系：两边之和大于第三边，得，即可作答．
【详解】解：，
，，
解得：，
为三角形的三边，
．
12．如图，将一张长方形纸条折叠，折痕分别与交于点，点分别落在处，与交于点．若，则的度数为____．
【答案】
【分析】根据折叠的性质，平行线的性质，进行求解即可.
【详解】解：∵折叠，，
∴，，
∵，
∴，，
∴.
13．（新情境试题·规律型） 如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”，其规律是：从第3行起，每行两端的数都是1，其余数都等于该数“两肩”上的数之和．若用数对表示第行从左到右第个数，例如表示的数是2，表示的数是6，则表示的数是___________．
【答案】20
【分析】本题考查杨辉三角的规律及应用（组合数的几何表示）
解题关键：利用杨辉三角“每行首尾为1，其余数等于肩上两数之和”的规律，先写出第7行数字，再找到第4个数．明确数对表示第行从左到右第个数；根据杨辉三角的递推规律，由第6行推出第7行的所有数字；在第7行中定位第4个数字，即为所求结果．
【详解】解：杨辉三角的规律：从第3行起，每行两端的数都是1，其余各数都等于它“两肩”上的数之和．
第 6 行：1， 5， 10， 10， 5， 1
第 7 行：两端为 1，中间的数依次为：
， ， ， ，
所以第 7 行完整为：1， 6， 15， 20， 15， 6， 1
第 7 行：1（第 1 个）， 6（第 2 个）， 15（第 3 个）， 20（第 4 个）， 15， 6， 1
（7，4）表示的数是20．
三、解答题（本大题共7个小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14．（6分）先化简，后计算：，其中，．
【答案】；
【详解】解：原式；
当，时，原式．
15．（7分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点都是格点．
(1)作关于直线对称的；
(2)求出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据轴对称的性质找到A、B、C的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积为：
；
16．（8分）为了统计初一年级同学每周的阅读时长，某数学兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查（数据共分为4组：A组：，B组：，C组：，D组，其中x表示每周阅读时长，单位为小时）已知在所调查的学生中随机选取一人，所选学生每周阅读时间不低于9小时的概率为
(1)参与此次调查的学生有______人，请补全条形统计图；
(2)______，扇形统计图中C组对应的扇形的圆心角度数为______．
(3)若初一年级学生共有750人，根据本次调查结果，估计初一年级学生中每周阅读时间不少于3小时的共有多少人？
【答案】(1)400；见解析
(2)20；
(3)600人
【分析】（1）利用概率公式可求出参与调查的人数，再求出B组的人数并补全统计图即可；
（2）根据总人数和A组人数，然后求出m即可；用乘以C组的人数占比，求出圆心角度数即可；
（3）用750乘以样本中初一年级学生中每周阅读时间不少于3小时的人数占比即可．
【详解】（1）解：人，
∴参与此次调查的学生有400人，
∴B组的人数为人，
补全统计图如下：
（2）解：由（1）得，
∴；
扇形统计图中C组对应的扇形的圆心角度数为；
（3）解：人
答：估计初一年级学生中每周阅读时间不少于3小时的共有600人．
17．（8分）如图，，，，，相交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)证明：∵，
．
在和中，
，
∴．
(2)
【分析】（1）由，，，利用，即可判定；
（2）由，可得，继而求得，则可求得的度数．
【详解】（1）略
（2）解：设与交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
18．（10分）（新情境试题·生活应用型）小明从家骑自行车去C处的图书馆，先走上坡路到达A处，再走平路到达B处，最后走下坡路到达图书馆，小明的行程情况和时间分配情况如下图所示．
(1)小明平路每分钟比上坡每分钟多行几米？
(2)小明骑自行车下坡用时多少分钟？
【答案】(1)85米
(2)7分钟
【分析】（1）根据图象求出平路和上坡的速度，即可；
（2）根据上坡所用时间占到，求出总时间，再乘以下坡所占的百分比即可．
【详解】（1）平路的速度为：（米/分），
上坡的速度为（米/分），
（米），
答：平路每分钟比上坡每分钟多行85米；
（2）解：（分钟），
答：小明骑自行车下坡用时7分钟．
19．（10分）（新情境试题·综合与实践） 在一次综合与实践课上，李老师以“潜望镜里的数学”为主题开展数学探究活动．
【初识反射】物理学中光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线（过入射点垂直于反射面的直线）都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律
(1)【理解运用】光的反射是生活中常见的现象，图1展示了光的反射定律（为法线，为反射面，m，n分别为入射光线和反射光线，和分别为入射角和反射角），其中，入射角等于反射角（即），则_______；（填“”“”或“”）
(2)【潜望探秘】了解光的反射定律后，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，如图2，，是平行放置的两面平面镜（即），入射光线经过两次反射后，得到反射光线．已知，，请证明：；
(3)【拓展探究】把两个平面镜，按如图3所示位置放置，入射光线经过两次反射后，反射光线与入射光线平行但方向相反（即）．已知，，求的度数．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等角的余角相等分析求解，即可解题；
（2）根据平行线性质，以及平角的相关计算，推出，再结合平行线判定定理即可证明；
（3）过点作，利用平行线性质推出，再结合平角定义与平行线性质求解，即可解题．
熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）证明：，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：过点作，
，
，
，，，
，
，
，
，
.
，，
．
20．（12分）（新情境试题·材料阅读理解型）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？
∵，∴
∴当时，代数式有最小值1．
材料二：我们定义：若两个关于x的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则A和B互为“和常多项式”，“和常值”为5．
(1)判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”；
(2)已知多项式，（m，n为常数），且M和N互为“和常多项式”．若N的最小值为2，求M和N的“和常值”；
(3)关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为．已知，求式子的最值．
【答案】(1)多项式与互为“和常多项式”，证明见解析，它们的“和常值”为2
(2)2
(3)8
【分析】本题主要考查了新定义，整式的混合运算，完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的关键．
（1）计算出的结果，再根据“和常多项式”的定义判断即可；
（2）计算出的结果，根据M和N互为“和常多项式”得到含x的项的系数为0，据此可求出m的值，再根据N的最小值为2可求出n的值，进而可得答案；
（3）求出的结果，根据“和常多项式”的定义可推出，，根据得到；则可得到，进而可用m表示出，再利用配方法求解即可．
【详解】（1）解：多项式与互为“和常多项式”，证明如下：
，
∴多项式与互为“和常多项式”；
（2）解：
，
∵M和N互为“和常多项式”，
∴，
∴；
，
∵，
∴，
∵N的最小值为2，
∴，
∴，
∴，
∴M和N的“和常值”为2；
（3）解：
，
，
∵关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为，
∴，，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴的最小值为8．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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