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湖北孝感市2025-2026学年九年级下学期5月阶段检测数学试题
一、单选题
1．中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．如果向西走30米记作米，那么米表示（ ）
A．向东走20米 B．向南走20米 C．向西走20米 D．向北走20米
2．榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一元二次方程的两根为， ，则的值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
5．如图，已知直线，将一块含的直角三角板按如图方式放置（）其中点，分别落在直线、上． 若， 则等于（ ）
A． B． C． D．
6．以下事件为随机事件的是（ ）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
B．通常加热到时，水沸腾
C．任意画一个三角形，其内角和是
D．明天太阳从东方升起
7．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
8．关于反比例函数，下列结论错误的是（　　）
A．图象位于二、四象限 B．点在这个函数图像上
C．图象关于原点对称 D．y随x的增大而增大
9．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发______套劳动工具．
12．已知一次函数（k是常数，），y随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值为________．
13．七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板、1个九连环、1个华容道、1个鲁班锁分别装在4个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这4个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是_____．
14．计算：_____．
15．如图1，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间（单位：秒）之间的函数关系图象如图2所示（点为曲线部分的最低点）．
则：（1）______；
（2）点的纵坐标的值为______．
三、解答题
16．计算：．
17．如图，已知点、、、在同一直线上，，，．求证：．
18．为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动：
小丽同学用测角仪测量一棵树的高度，她先在该树前平地上选择一点，站立此处，测得树顶端的仰角为，再测得点离树底端的距离为20米，并测得眼睛所在位置点离点的距离为米．请根据这些数据．（参考数据：，，）
(1) 米；
(2)求树的高度．
19．某校与科技协会共同组织“校园科技知识竞赛”，从九（1）班和九（2）班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行了整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分成A，B，C，D四个等级：A：；B：；C：；D：）
【收集数据】
九（1）班10名学生竞赛成绩：65，70，71，72，82，84，85，90，90，91
九（2）班10名学生中C等级学生的竞赛成绩：80，81，83，83

【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
九（1） 80 83 83.6
九（2） 80 82 83 92
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： ， ．
(2)请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班级成绩比较好，简要说明理由．
(3)九（1）班共有学生50人，九（2）班共有学生50人，按竞赛规定，90分及90分以上的学生可以获奖，估计这两个班级可以获奖的总人数是多少？
20．综合与实践
素材1 进位制是为了计数和运算方便约定的计数系统，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．其中十进制数“1024”记作1024，二进制数“1011”记作，五进制数“1024”记作等．
素材2 例：八进制数“1024”转换成十进制数为：．其他进位制也有类似的算法…
素材3 将十进制数转换为与其相等的进制数，用十进制的数除以，然后将商继续除以，直到商为0，将各步所得的余数按照逆序排列即可．例如：把十进制数66转换为七进制．
任务：请同学们认真阅读上面素材，解决下面的题目：
(1)把转换为十进制数为 ；把十进制数21转换为三进制数为 ．
(2)请尝试将转换为五进制数．
21．如图，是的半径，弦于点，，的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的直径．
22．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100千克．生产该产品每盒需要A原料2千克和B原料4千克，每盒还需其他成本9元．
(1)求A，B两种原料的单价分别是每千克多少元？并直接写出每盒产品的成本（成本原料费其他成本）；
(2)市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元．
①求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
②求每天的利润的最大值．
23．解答下列问题：
(1)如图1，已知于点，于点，交于点，求证：；
(2)【知识迁移】：如图2，在矩形中，是上的一点，作交于点，．若，，求的长；
(3)【拓展应用】：如图3，已知菱形的边长为5，，为上一点，过点作交于点，交于点．
①求菱形的面积；
②若，直接写出的长．
24．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过，两点．点是抛物线轴上方的一个动点，过点作轴交于点，其横坐标为（）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，若点在直线上方，交直线于点，求线段的最大值；
(3)定义：把平行于轴的直线，把平行于轴的直线与轴、轴围成的区域（不含边界点）称为“”域．过点作轴交于点，则矩形即为直线：，直线：与轴、轴围成的“”域．令矩形的周长为．
①求关于的函数解析式；
②当且“”域内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围．
参考答案
1．A
【详解】∵向西走30米记作米，
∴正数表示与西相反方向的行走，即向东走，
因此米表示向东走20米.
2．B
【详解】解：由图形可得，该图形的主视图为：
，
故选：B．
3．C
【详解】A、，运算错误，不符合题意；
B、，运算错误，不符合题意；
C、，运算正确，符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意．
4．B
【详解】根据题意可得：，
由根与系数的关系可知：.
5．A
【详解】解：如图，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
6．A
【详解】解：必然事件指一定发生的事件，不可能事件指一定不发生的事件，随机事件指可能发生也可能不发生的事件，
选项A：篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，结果不确定，可能发生也可能不发生，
∴ 该事件是随机事件，A符合题意；
选项B：通常加热到时，水一定沸腾，是一定会发生的事件，
∴该事件是必然事件，B不符合题意；
选项C：任意三角形的内角和为，不可能是，是一定不发生的事件，
∴该事件是不可能事件，C不符合题意；
选项D：明天太阳从东方升起是一定会发生的事件，
∴该事件是必然事件，D不符合题意．
7．B
【详解】和是以点为位似中心的位似图形，
．
8．D
【详解】解：根据题意得，反比例函数，
选项A、，图位于第二、四象限，则A正确；
选项B、当时，，则点在图上，故B正确；
选项C、反比例函数图关于原点对称，则C正确；
选项D、由于，反比例函数图在每一象限内随的增大而增大，但选项未指定“在每一象限内”，因此说法错误，
故选：D．
9．C
【详解】解：如图，连接，
在中，∵，，，
∴，
由作法得：，
∴为等边三角形，
∴，
∴的长为．
10．A
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
由翻折可知：，，
，
，
，
在中，
根据勾股定理得：，
，
解得：，
．
11．
【详解】解：由题意得：3个年级共需配发得套劳动工具总数为：套，
故答案为：．
12．（答案不唯一，即可）
【详解】在中，随的增大而减小，
,的值可以是（答案不唯一，即可）．
13．
【详解】解：根据题意，总共有4个等可能的抽取结果，抽中七巧板的结果有1种，
因此抽中七巧板的概率是.
14．
【详解】解：．
15． 6 4
【详解】解：（1）∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为，根据图象可知，当时，，
∴，
∵点为的中点，
∴．
（2）由图象可知，当运动时间时，最小，即最小，
∴此时，
∴如图所示，此时点P运动的路程为，
由（1）可知，，
∴，
在中，，即．
16．15
【详解】解：
．
17．证明：在和中，
，
，
，
．
18．(1)
(2)米
【详解】（1）解：由题意可知，，，，
∴四边形是矩形，
∴米；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴米，
在中，
（米），
（米）．
答：树的高度为米．
19．(1)90；30
(2)九（1）班成绩比较好．理由：九（1）班与九（2）的平均数相同，九（1）班中位数、众数高于九（2）班，方差低于九（2）班，总体九（1）班成绩比较好；
(3)30人
【详解】（1）解：∵九（1）班10名学生竞赛成绩90出现的次数最多，共出现2次，
∴众数为90，即；
∵九（2）班成绩在“C等级”的共有4人，占，
∴；
（2）解：九（1）班的成绩比较好．理由如下：
①九（1）班学生竞赛成绩中位数83高于九（2）班学生竞赛成绩中位数82，
②九（1）班学生竞赛成绩方差83.6低于九（2）班学生竞赛成绩方差92，
③九（1）班学生竞赛成绩众数90高于九（2）学生竞赛成绩众数83；
（3）解：由题意知：10人中90分及以上的学生九（1）班有3人，占，九（2）班占，
∴估计九（1）90分及90分以上的学生有：（人）可以获奖，九（2）90分及90分以上的学生有：（人）可以获奖，
∴这两个班可以获奖的总人数是：（人）．
20．(1)11；
(2)
【详解】（1）解：由题意可得，；
十进制数21转换为三进制数，可得
（2）解：转换为十进制数，可得，
再将转换为五进制数，可得
，
将转换为五进制数为．
21．(1)证明：，
，
，
是的半径，
是的切线；
(2)
【详解】（1）解：略
（2），
，
设，
在中，，
，
，则，
的直径为．
22．(1)A原料的单价为每千克元，B原料的单价为每千克3元．每盒产品的成本为30元．
(2)①；②最大利润为16000元
【详解】（1）解：设B原料的单价为每千克m元，则A原料的单价为每千克元，
依题意，得．
解得，．
经检验是原方程的根，符合题意．
答：A原料的单价为每千克元，B原料的单价为每千克3元．
每盒产品的成本为：（元），
（2）解：①
；
②，且，
∴当时，w取得最大值，最大值为16000．
23．(1)证明：，
，
．
又，
．
(2)
(3)①24；②
【详解】（1）略
（2）解：在矩形中，，
同（1）可证，
，
设，则，
，
解得（不合题意，舍去），
的长为；
（3）解：①如图，连接交于点O，
四边形是菱形，
，
，
设，
解得（负值舍去），
∴，
②记与交点为M，
，，
又 ，
，
，
，
四边形菱形，
，
，
．
．
24．(1)
(2)2
(3)①；②或
【详解】（1）解：都在抛物线上，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：点，则点，
当时，线段的最大值2．
（3）解：①∵，
当时，，
解得，，
，
点，
当时， ，
当时， ，
，
；
②当时，都成立，
当时，，
当且“”域内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点时，仅包含点，
当时，（舍去）；
当时，（舍去）；
；
当时，，，
令，
当 时，，或 ，
“”域内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点，包含点，
当时，（舍去），，
∴符合条件m的取值范围是或．

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