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人教版九年级（上）
25.2 降次—解一元二次方程
25.2.1 第1课时 直接开方法
第二十五章 一元二次方程
古代行军打仗，常常需要先探知敌方驻扎情况.
某日，侦察兵汇报：“敌方驻扎在 30 里之外，营地形似正方形，约 16 方里.”将军立马说：“原来敌方营地长 4 里.”
思考：将军是怎么知道敌方营地长的？
解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法.
(1) x2 = 4；
(2) x2 = 0；
(3) x2 + 1 = 0.
解：根据平方根的意义，得 x1 = 2，x2 = -2.
解：移项，得 x2 = -1．
∵ 负数没有平方根，
∴ 原方程无实数解.
解：根据平方根的意义，得 x1 = x2 = 0.
你能归纳一下这类方程的解的情况吗？
知识点：直接开平方法
总结
一般的，对于可化为 x2 = p 的方程：
p 的取值范围 方程两根
p > 0
p = 0
p < 0
相等实根 x1 = x2 = 0
无实根
不相等实根
总结
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
例1 利用直接开平方法解下列方程：
(1) x2 = 6；
(2) x2 - 900 = 0.
解：
直接开平方，得
解：移项，得
x2 = 900.
直接开平方，得
x = ±30.
∴ x1 = 30，x2 = -30.
1. 解下列方程.
(1) 2x2 - 120 = 0；
(2) 4x2 + 2 = 123 .
解：
移项，得 2x2 = 120
系数化为1，得 x2 = 60
解：
移项，得 4x2 = 121
系数化为1，得
探究 2 对照上面方法，你认为怎样解方程 (x + 3)2 = 5？
一个一元二次方程
两个一元一次方程
降次
将 (x + 3) 看作一个整体
例2 解下列方程：
(1) (x ＋1)2 = 2；
(1) 将 x + 1 看作一个整体
(2) (x 1)2 4 = 0.
(2) (x 1)2 = 4
将 x 1 看作一个整体
x 1=±2
1. 解方程：(2x + 3)2 = (3x + 2)2.
解：开方，得 2x + 3 = 3x + 2 或 2x + 3 = -3x - 2 ，
解得 x1 = 1 或 x2 = -1.
概念
直接开平方
利用平方根的定义求方程的根的方法
步骤
关键要把方程化成 x2 = p (p≥0)或 (x + n)2 = p (p≥0)
基本思路
一元二次方程
降次
直接开平方法
两个一元一次方程
______
___________________
1. 用直接开平方解方程 (x - 3)2 = 8，得方程的根为 ( )
B
2.下面是小李同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗？如果有错，指出具体位置并帮他改正.
①
②
③
④
解：
3. 关于 x 的方程 m(x + h)2 + k = 0 (m，h，k 均为常数，
m ≠ 0) 的解是 x1 = -3， x2 = 2，则方程
m(x + h -3)2 + k = 0 的解是多少？
m (x + h - 3)2 + k = 0
x1 = 0， x2 = 5
x - 3 = -3 或 x - 3 = 2
看作关于 (x - 3)的一元二次方程
m[(x - 3) + h ]2 + k = 0

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