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人教版九年级（上）
第二十五章 一元二次方程
25.1 一元二次方程
问题1 要设计一座高 5 m 的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全身的高度比，则雕像的下部应设计多少米高？
知识点 1：一元二次方程的概念
A
C
B
解：设雕像腰部以下的身长 BC = x m，
列方程得 x2 = 5(5 - x)，
整理得　x 2 + 5x - 25 = 0．①
雕像腰部以上的身长 AC 与腰部以下的身长 BC 满足如下等量关系：
AC∶BC = BC∶5，即 BC = 5AC.
解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长.
问题1 有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？
100 cm
50cm
3600 cm2
设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为 (100 - 2x) cm，宽为 (50 - 2x) cm，根据方盒的底面积 3600 cm2，可列方程为
(100-2x)(50-2x) = 3600.
整理并化简，得
x - 75x + 350 = 0. ②
由方程②可以得出各角所切正方形铁皮的边长.
100 cm
50cm
3600 cm2
问题3 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛 1 场)，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？
设应邀请支球队参赛，每支球队要与其他
(x－1) 支球队各赛 1 场，则此次邀请赛共需进行
场，所以可列得方程
整理并化简，得 x2 - x - 56 = 0. ③
由方程③可以得出应邀请的球队数.
方程 ① ② ③ 有什么共同点？
x - 75x + 350 = 0. ②
x 2 + 5x - 25 = 0． ①
x2 - x - 56 = 0. ③
总结
一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2，这样的方程叫作一元二次方程.
一元二次方程的一般形式：
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
二次项系数
二次项
ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
一次项系数
常数项
一次项
重点讲解
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
C
1.判断下列方程是否为一元二次方程：

×
×
×
×

×
×
定义
一元二次方程
只含有__个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是__(二次) 的方程
一般形式
1
2
ax2 + bx + c = 0(a___0)
≠
1. 下列哪些是一元二次方程？
是
不是
是
不是
不是
是
3x + 2 = 5x - 2；
x2 = 0；
(x + 3)(2x - 4) = x2；
3y2 = (3y + 1)(y - 2)；
x2 = x3 + x2 - 1；
3x2 = 5x - 1.
2. 填表：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
3. (1) 已知方程 5x + mx 6 = 0 的一个根为 4，则 m 的
值为 ；
(2) 若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2－4 = 0
有一个根为 0，求 m 的值.
二次项系数不为零不容忽视
解：将 x = 0 代入方程得 m2 4 = 0，
解得 m = ±2.
∵ m + 2 ≠ 0，
∴ m ≠ 2.
综上可知 m = 2.
_____
4. 如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程(其中 π 取 3).
解：由于圆的半径为 x cm，故其面积为 3x2 cm2.
整理，得
根据题意，得
200 cm
150 cm

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