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湖北孝感市安陆市2025-2026学年度下学期期中质量检测八年级数学
一、单选题
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）．
A．2，3，4 B．7，24，25 C．6，7，8 D．1，1，2
5．在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
7．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，，则菱形的边长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
8．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．邻边相等
9．如图，点O是矩形的对角线的中点，点E为的中点．若，则的周长为（ ）

A．12 B． C． D．14
10．如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，点P是对角线上一动点，则的最小值为（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
11．计算：______．
12．在中，，，，则______．
13．一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形的边数是______．
14．在中，对角线，相交于点，若，，则的取值范围是______．
15．观察下列等式：①；②；③；…；根据以上规律，
（1）第5个等式是______；（2）第n个等式可表示为：______（n为正整数）．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
18．如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求证AC⊥CD．
19．如图，在中，点E，F分别在，上，且．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)请从以下三个条件：①，②平分，③中，选择两个合适的作为已知条件，使四边形为菱形，并加以证明．
20．阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．
例如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．
例如：比较和的大小．
解：，，
∵，
∴．
(1)对二次根式进行“分子有理化”；
(2)比较和的大小．
21．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处．
(1)求证：；
(2)求重叠部分的面积．
22．如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长．
23．如图，在正方形中，点，分别在，边上，且，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
24．【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式的最小值为 ；
（2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值；
【模型拓展】
（3）已知正数x满足，求x的值．
参考答案
1．C
【详解】解：A．，故不是最简二次根式；
B．，故不是最简二次根式；
C．是最简二次根式；
D．，故不是最简二次根式；
故选C．
2．C
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x-3≥0，解得x≥3．
故选C．
3．C
【详解】解：选项A：∵与不是同类二次根式，不能直接相加合并，∴A错误；
选项B：∵，结果不等于，∴B错误；
选项C：∵，∴C正确；
选项D：∵，二次根式的运算结果为非负数，结果不等于，∴D错误．
4．B
【详解】解：选项A、，，，∴不能构成直角三角形，不符合题意；
选项B、，，即，∴能构成直角三角形，符合题意；
选项C、，，，∴不能构成直角三角形，不符合题意；
选项D、，∴不能构成三角形，不符合题意．
5．C
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
6．C
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以C选项正确；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以D选项错误．
故选：C
7．A
【详解】解：在菱形中，对角线和相交于点，，，
，，且，
在中，
由勾股定理可得，
则菱形的边长为5．
故选：A．
8．B
【详解】解：∵矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；
菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选：B．
9．C
【详解】解：∵点O是矩形对角线的中点，E点为中点，
∴，，，
在中，，
在中，，
∴，
则的周长为：，
故选：C．
10．A
【详解】解：连接，
正方形，
点C关于的对称点为点A，
，
根据两点之间线段最短可得就是的最小值，
正方形的边长为4，，
，
，
的最小值是5．
11．3
【详解】解：．
12．
【详解】解：∵，，，
∴．
13．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，
解得，
故答案为：4．
14．
【详解】解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在中，根据三角形三边关系，可得，
即，
∴．
15．
【详解】解：①；
②；
③；
④；
⑤；
…；
则第n个等式可表示为：．
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：原式；
（2）∵，，
∴．
18．见解析
【详解】证明：∵∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
∵AB＝3，BC＝4，
∴根据勾股定理得：AC＝ ＝5，
∵CD＝12，AD＝13，
∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，
即AC⊥CD．
19．(1)见解析
(2)选择条件：①，③，证明见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：选择条件：①，③，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得：四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
20．(1)；
(2)．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
，
∵，
∴，
∴．
21．(1)见解析；
(2)．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠性质可知，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
在中，有，
即，解得，
∴．
22．
【详解】解：∵，E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：．
23．(1)见解析；
(2)的长为．
【详解】（1）证明：延长到点，使得，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（）得，
∴，
∵于点，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴的长为．
24．（1）13；（2）；（3）4.8
【详解】（1），，
，
∴的最小值是13，
故答案为13；
（2）如图，
，
，
，
∴的最小值是；
（3）构造于，如图所示：
设，则，
，
，
，
，
，
∴方程的解是．

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