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2026学年八年级数学下学期期末测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）
1．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列变形中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
4．2026年郑州植物园迎春花展以“骏马迎春花满商都”为主题，紧扣生肖元素，展示马蹄莲、蝴蝶兰、石斛兰、秋海棠等特色花卉及年宵花卉60余种．如图为展会上一种三角形花架，D，E分别是的中点，若，则的长为（ ）
A． B．7 C．14 D．21
5．下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式无意义
B．当时，分式的值为正数
C．当分式时，
D．无论x取何值，的值总为正数
6．如图，在 ABC中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ）
①平分；
②作图依据是；
③；
④点在的垂直平分线上．
A．个 B．个 C．个 D．个
7．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，连接，，，，三角形的周长为．下列结论：
①；②；③；④四边形的周长为；⑤阴影部分的面积为．其中正确的个数为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（ ）
A．方程的解是
B．方程的解是
C．关于x，y的方程组的解是
D．不等式的解集是
9．若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
10．如图，在中，平分交于点，连接，点分别是的中点，连接．交于点．延长交于点．则下列结论中：①平分；②；③；④；⑤，正确的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若二次根式有意义，则正整数m的值可以是________．（写出一个即可）
12．已知点与点关于原点对称，则的值是______．
13．若多项式可因式分解为，则的值为________．
14．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________．
15．对于，，我们定义两种运算：，．则__________．
16．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”．如图，在 ABC中，，，，是 ABC所在平面内任意一点，若四边形是“准筝形”，则四边形的面积为_________．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．）
17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
18．先化简，再求值：，其中满足．
19．如图，已知： ABC是等边三角形，，，且．
(1)求证：
(2)判断 BDE的形状？并说明理由．
20．如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“智慧数”，如，因此8是“智慧数”．
(1)28________“智慧数”（填“是”或“不是”）；
(2)说明16是一个“智慧数”；
(3)设两个连续奇数为和（其中为正整数），说明它们构造的“智慧数”能被8整除．
21．在如图所示的平面直角坐标系中，有 ABC．点，，．
(1)将 ABC向x轴负方向平移4个单位得到，画出图形并写出点的坐标；
(2)以原点O为旋转中心，将 ABC顺时针旋转后得到，画出图形并写出点的坐标；
(3)可以看作是由先向右平移4个单位，然后以原点O为旋转中心，顺时针旋转得到的．除此之外，还可以由经过旋转变换得到，请在图中找出旋转中心．并写出其旋转中心的坐标．
22．把烦恼丢进风里，把自己还给自然．随着夏季的到来，为给游客提供更好的旅游体验，某景区计划购买A，B两种型号的帐篷．已知A型号帐篷的单价比B型号帐篷的单价多300元，用3200元购买A型号帐篷的数量与用2000元购买B型号帐篷的数量相等．
(1)求A，B两种型号帐篷的单价各多少元？
(2)若该景区计划购买A，B两种型号的帐篷共30顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买A型号帐篷的数量不超过B型号帐篷数量的2倍．
①B型号帐篷至少要买多少顶？
②景区用于此次购买的计划资金为22000元，问此计划资金是否一定够用？
23．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”．
(1)是方程和下列不等式__________的“梦想解”；（填序号）
①；②，③．
(2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值．
(3)若关于的方程和关于的不等式组有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出的取值范围．
24．【阅读】
三角形中位线定义：在 ABC中，若点D、E分别是与的中点，则是 ABC的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
(1)【定理证明】
证明三角形的中位线定理的方法有多种．我们可以延长至F，使得，连接，再利用全等三角形、平行四边形的知识进行证明，请结合图2，完成证明．
已知：在 ABC中，点D，E分别是，的中点．
求证：，且．
(2)【定理应用】
如图3，在 ABC中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，，求的长．
25．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形．
(1)如图，在邻余四边形中，，是钝角，，则 ．
(2)如图，在 ABC中，，，垂直平分交于点E，垂足为D，，，F为上一点，求证：四边形是邻余四边形．
(3)如图1，图2，在邻余四边形中，，是钝角，E为B中点，，
①如图1，当时，判断四边形ADCE的形状并证明你的结论．
②如图2，当，时，直接写出CD的长．
参考答案
一、选择题
1．B
解：A、原式变形左边是整式乘法，结果是多项式，不是几个整式乘积的形式，不符合要求；
B、左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义；
C、，右边中不是整式，不符合要求；
D、，原式变形错误，不符合要求．
2．B
解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
3．C
解：A．方程两边同除以得，与选项中结果不符，故A错误；
B．不等式两边同乘，不等号方向改变，得，与选项中结果不符，故B错误；
C．给两边同时加c可得 又，则，，即，故C正确；
D．举反例：若，满足，但，，不满足 ，故D错误．
4．C
解：D，E分别是的中点，
是 ABC的中位线，
．
5．C
对于A:当 时，分母 ，分式无意义，选项A正确，不符合题意；
对于B:当 时，分母 ，分子为正，分式值为正，选项B正确，不符合题意；
对于选项C:∵ 分式 ， 需分子为0且分母不为0，即 且 ，
∴ 或 ，但 时， ，分式无意义，
∴ 只有 成立，选项C错误，符合题意；
对于D:分母 ，分子为正，分式值总为正数，选项D正确，不符合题意．
故选：C．
6．C
解：①如图所示，连接，
由尺规作图可知，，且，
∴，
∴，
即平分，
故①正确；
②由①可得作图依据是,
故②错误；
③∵，，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
④由③可得，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
故④正确；
综上，正确的选项有①③④，共3个．
7．C
解：由平移可知，在上，因此，①正确；
平移距离相等，即，②正确；
平移∵BC=EF=4,CH=,后对应角相等，故，③正确；
四边形的周长，
周长为12，，
周长，④正确；
，
阴影面积 梯形的面积 ⑤错误，
综上，正确的个数为4．
8．D
解：∵一次函数的图象经过点，
∴当时，，
所以方程的解是，则A正确；
∵一次函数的图象和一次函数的图象交于点，
∴当时，两个函数值相等，
即方程的解是，则B正确；
方程组的解是，则C正确；
不等式的解集是，则D错误．
9．A
解：
解①得，
解②得，
∵不等式组的解集为
∴，
解得；
解分式方程，得
∵分式方程的解为正整数，，是整数且
∴是正整数，且，
∴
∴或或
∴或4或1
∴满足条件的的值之和为．
10．B
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，故①正确；
∵点M，N分别是的中点，
∴，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，，
，故③正确；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故④错误；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，故⑤正确，
综上所述：结论正确的有①②③⑤．
二、填空题
11．（答案不唯一）
解：有意义，
解得，
又为正整数，
∴m的值可以是5．
12．
解：点与点关于原点对称，
，，
，
．
13．
解：由题意知，．
，
．
，
．
14．4
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由作图可知：平分，，
∴，
∴，
∵平行四边形的周长为48，
∴，
∴，
∴．
15．
解：根据新定义运算：，，则，
∴
．
16．或或
解：过点作交的延长线于点，
，
，
，
在中，，
， ，
在中，，
，
，，
，
四边形是“准筝形”，
分三种情况讨论：
若，，如图，过点作于，
是等边三角形，，
，，
，
．
若，，如图，连接，作于点，于，
是等边三角形，
，，，
，，
，
，，
，，
；
若，，如图，连接，过点作，交延长线于点，过点作于，
是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
综上，四边形的面积为或或．
三、解答题
17．解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解集是；
在数轴上表示为：
．
18．解：原式
．
因为，
所以，．
所以，．
所以，原式．
19．（1）解：∵ ABC是等边三角形，
∴，
∵，，
∴
在和中，
∴，
∴．
（2）解： BDE是等边三角形，理由如下：
∵ ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴ BDE是等边三角形．
20．（1）解：设两个连续奇数的平方差为28，较小奇数为，则，
展开整理得，
解得，
∵不是奇数，
∴28不是“智慧数”
（2）解：∵，且和是两个连续奇数，
∴16符合“智慧数”的定义，
∴16是一个“智慧数”；
（3）解：
，
∵是8的倍数，
∴两个连续奇数为和构造的“智慧数”能被整除．
21．（1）解：如图所示，点的坐标为；
；
（2）解：如图所示，点的坐标为；
（3）解：连接，并分别作的垂直平分线，相交于点P，
所以，点就是所求的旋转中心．
22．（1）解：设型号帐篷的单价为元，则型号帐篷的单价为元，依题意有：
，
解得．
经检验，是原方程的解．
∴ ．
故：，两种型号帐篷的单价分别为800元、500元．
（2）解：①设型号帐篷购买顶，则型号帐篷购买顶，依题意有：
，
解得：．
故：型号帐篷至少要买10顶．
②设总费用为元，则有： ，
．
，
随的增大而减小．
又，
∴当时， ．
故：此计划资金一定够用．
23．（1）解：解①得：，故不是①的“梦想解”，
解②得：，故不是②的“梦想解”，
解③得：，故是③的“梦想解”，
是方程和不等式③的“梦想解”；
（2）解方程组，得，
，
方程组的解是不等式组的“梦想解”，
，
解不等式组得：，
为整数，
∴m=-5或；
（3）解方程：，得：，
解不等式组，得：，
关于x的方程和关于x的不等式组有“梦想解”，
，
解不等式组得：，
因为所有正整数“梦想解”的和为10，所以正整数“梦想解”为1，2，3，4，
，解得：，
综上：．
24．（1）证明：延长至，使，连接．
是的中点，
．
在 ADE和中，
，
∴ ADE≌ CFE(SAS)．
，．
．
是的中点，
．
．
又，
四边形是平行四边形．
，．
．
（2）解：延长交于点．
平分，
．
，
．
在和中，
，
(ASA)．
，E是的中点．
是的中点，
是 BCF的中位线．
．
．
．
25．（1）解：∵在邻余四边形中，，是钝角，
∴，
又，
∴，
故答案为：；
（2）证明：连接，
∵垂直平分，
∴，，，
又，
∴，
又，
∴，
又，，
∴，
∴∠B=90 ，
∴，
∴四边形是邻余四边形；
（3）解：①四边形是平行四边形，
理由：∵在邻余四边形中，，是钝角，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②过A作交的延长线于F，连接，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
由邻余四边形知：，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，，
∴．

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