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2026学年八年级数学下学期期末测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）
1．计算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义．下列纹样中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．某同学统计了贵州毕节百里杜鹃周边某商店四个吉祥物的日销量（单位：件），数据如下：
吉祥物 花花 海海 毕毕 节节
日销量/件 90 92 90 80
根据上表信息，吉祥物日销量的中位数和众数分别是（ ）
A．91、90 B．90、91 C．90、90 D．91、91
4．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，四边形中，对角线相交于点，下列四组条件中不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．， B．
C．， D．
6．如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．我国北宋诗人欧阳修名言：“立身以立学为先，立学以读书为本”表达了学习和读书的重要性．为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆300人次，第三个月进馆432人次，设进馆人次的月平均增长率为x，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．有一个角是直角的平行四边形是菱形
9．如图，小明从点A出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转……，一直这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A． B． C． D．
10．X射线因其极强的穿透性被广泛用于医学（如）， 工业（如金属探伤），治安（如机场安检）等领域．如图1，将一个厚度均匀的零件（图中阴影部分）放置在平面直角坐标系中．射线和射线是两条从原点开始分别沿x轴正半轴，y轴正半轴匀速运动的X射线，其中t为运动时间．当X射线穿过零件时会发生衰减，根据衰减情况我们可以得到射线与零件重合部分的所有线段长度之和为，与零件重合部分的所有线段长度之和为．已知和的函数图象分别如图2，图3所示，则说法错误的是（ ）
A． B．
C．零件中心的小孔是正方形 D．该零件的面积是12
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若代数式有意义，则的取值范围是______．
12．已知，是方程的两个根，则______．
13．某班男生人数占全班人数的．在一次体育课上，对全班学生进行立定跳远测试，已知男生测试成绩的优秀率为，女生测试成绩的优秀率为，则该班此次测试成绩的优秀率为________．
14．如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形．
15．如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）．
16．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为________．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
(1)； (2)．
18．（8分）在数学课上，老师展示两道习题的解答过程：
习题1：计算：． 解：原式 第一步 第二步 第三步 习题2：解方程： 解： 第一步 第二步 第三步 第四步
(1)解答过程中，习题1从第______步开始出现错误，习题2从第______步开始出现错误；
(2)任选其中一个习题写出正确的解答过程（若两个题都作答，则只按习题1给分）．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，
(1)把先向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，请画出，并写出点的坐标；
(2)把绕原点逆时针旋转，得到，请画出，并写出点的坐标．
20．（8分）已知：如图的对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的平行线于点，连接．
(1)求证：；
(2)当满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论．
21．（8分）为响应国家“文化传承”的教育方针，山东省某中学利用假期组织了主题为“春风启新程，研学向未来”的春季研学旅行活动，学校随机抽取了20名学生，调查其从家到自己喜欢的研学基地的出行距离（单位：百公里），以规划车辆调度与研学手册制作．调查过程与数据分析如下：
【收集数据】
抽取20名学生的出行里程：1.2，1.5，1.8，2.2，2.5，2.6，2.8，3.0，3.1，3.2，3.3，3.5，3.6，3.8，4.0，4.2，4.5，4.8，5.0，5.5．
【整理数据】
频数分布表
分组（百公里）
频数 a 4 b 4 2
【分析数据】
统计量表
统计量 平均数（保留1位小数） 中位数 众数 方差（保留1位小数）
数值 3.3 c 1.3
根据以上信息解决以下问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)填空：a=______，b=______，c=______；
(3)若该校参加研学的学生共有500人，试估计所有出行距离不低于300公里的学生人数；
(4)学校在制定研学出行方案时，需要考虑交通调度与人员集散．请结合以上统计数据，针对不同距离段的学生出行安排，写出一条具体合理的建议．
22．（10分）根据表中的素材，探索完成任务．
素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．
问题解决
(1)任务一：求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率．
(2)任务二：工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？
(3)任务三：有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由．
23．（10分）问题情境：如图，某校“几何之美”社团利用四根木条钉制了一个平行四边形框架．已知边，小华同学将一根细绳AF固定在顶点，且始终经过边的中点，绳子另一端恰好落在边的延长线上的点处．
(1)【模型探究】请证明：，并求出线段的长度；
(2)【拓展提升】当细绳与边垂直（即）时，测得，求此时细绳的长．
24．（10分）综合探究
【模型建立】
(1)如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
(2)如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
(3)如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B
解：
．
2．A
解：A.是中心对称图形，故选项A符合题意；
B. 不是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C. 不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D. 不是中心对称图形，故选项D不符合题意．
3．C
解：首先把日销量数据从小到大排序，得 ，
∵数据总个数为4，是偶数，中位数为排序后中间两个数的平均数，
∴中位数，
∵90出现次数最多，共出现2次，
∴众数为．
4．C
解：对于选项A，和不是同类二次根式，不能直接合并，错误；
对于选项B，，错误；
对于选项C，，正确；
对于选项D，，错误．
5．C
解： ∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴四边形是平行四边形．
选项A不符合要求；
∵，
∴四边形是平行四边形，
故选项B不符合要求．
∵C中条件无法判定四边形是平行四边形．
选项C符合要求．
∵
∴四边形是平行四边形．
选项D不符合要求．
6．A
解：如图，连接，由折叠知，，
设，则，
在中，，
化简得，，即，
解得，，
．
7．A
解：∵第一个月进馆人次为300，月平均增长率为x，
∴第二个月进馆人次为，
第三个月进馆人次为，
∵题目已知第三个月进馆432人次，
∴可列方程为．
8．B
解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，∴A错误；
∵菱形本身四边相等，若有一个角是直角，则四个角均为直角，满足正方形的定义，∴B正确；
∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，∴C错误；
∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，∴D错误．
9．A
解：，
，
∴一直这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了．
10．D
解：如图，
根据题意得：四边形为矩形，
由图1得：，，
由图2得：，，即，，故A，B选项正确，不符合题意；
∴，
∴零件中心的小孔是正方形，故C选项正确，符合题意；
根据题意得：，
如图，延长交y轴于点K，则，
根据题意图3，设当时，过直线，分别与于点M，Q，过点M作于点N，则，，，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴该零件的面积是，故D选项错误，符合题意．
二、填空题
11．
解：若代数式有意义，
则需满足被开方数非负，且分母不为
即 ，
，
，
即恒成立，
解不等式，
得，
综上，．
12．
解：∵，是方程的两个根，其中，，，
，，
∴．
13．
设全班总人数为，
由题意得，男生人数为 ，女生人数为 ，
男生优秀人数为 ，女生优秀人数为 ，
全班优秀总人数为 ，
则该班此次测试成绩的优秀率为 ．
14．6
解：当是矩形时，，
．
15．
解：如图，
连接，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
16．
解:设矩形的长为，宽为，
由题意可得：
得：③，
将③代入②，得：，
整理，得，
解得：，（舍去），
所以，
所以按图3放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：．
三、解答题
17．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（1）解：习题中第二步在合并分子时，对分子去括号时出错，应为；
习题中第三步应为；
（2）解：习题1：原式
；
习题2：∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，．
19．（1）解：如图，即为所求；
点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求；
点的坐标为．
20．（1）解：∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴；
（2）解：当是矩形时，四边形是菱形，证明如下：
∵，
∴，
∵是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
21．（1）解：共有3个数据，故；
总样本数为20，因此，故；
（2）解：由（1）知，；
20个数据的中位数是从小到大排列后第10、11个数据的平均数，第10个数据为，第11个数据为，因此，故．
（3）解：出行距离不低于300公里，即不低于百公里， 样本中符合条件的频数为：，
因此估计总人数为：人．
答：估计出行距离不低于300公里的学生人数为人．
（4）对500公里以上的学生安排直达专车，300-500公里学生统一编组乘车。
22．（1）解：设车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为x，
由题意得，
解得或（舍去）．
答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为；
（2）解：设该零件的实际售价为m元，
由题意得，
整理得，
解得或．
∵尽可能让消费者得到实惠，
∴．
答：该零件的实际售价应定为50元；
（3）解：设该零件的实际售价为n元时，月销售利润能达到20000元，
由题意得，
整理得，
，
方程没有实数根，
故月销售利润不能达到20000元．
23．（1）证明：在中，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，是的中点，
∴，，
由（1）得，
∵，
∴．
24．(1)，
理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
(2)，
理由如下：
过E点作于点M，过E点作于点N，如图，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形是正方形，
∴是正方形对角线，，
∴， ，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
(3)，
理由如下，
过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

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