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四川省巴中市2024-2025学年下学期七年级数学期末试题（北师大版）
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．将一根长为的木条折成一边为的等腰三角形，则三角形的另外两边长分别为（　　）
A．， B．，或，
C．， D．，
3．把一副三角板（，，）按如图所示摆放，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，图书馆的左侧有一栋高度为12米的居民房，点位于图书馆与居民房之间，且D、C、E三点共线．测得点到点的距离为28米，点到点的距离为12米，且，则图书馆的高度为（　　）
A．12米 B．16米 C．28米 D．40米
5．图中方格线上的八条等长线段形成一个图形，其中四条线段标上号码，擦去下列哪个选项中的两条线段后，剩下的图形不是轴对称图形（　　）
A．②和③ B．①和② C．③和④ D．①和③
6．乘法公式可以用几何图形验证，图中验证的乘法公式为（　　）
A． B．
C． D．
7．周一上午，在上学的路上，小明对小强说：“感觉要下雨了，今天的升旗仪式估计得改在室内举行了．”小强回应道：“不仅升旗仪式要改在室内，而且体育课也得改成室内健康课了．”小明叹了口气：“哎……太可惜了，我还打算在体育课上展示举起万斤的哑铃呢．”小强催促道：“快点啊，可能要迟到了．”对话内容中，随机事件和不可能事件分别为几件（　　）
A．5，0 B．4，1 C．3，2 D．2，3
8．为培养小强吃苦精神和坚强意志，爸爸和小强开展了一次远足活动，图是小强与爸爸远足的时间与离家的距离的关系，请根据图中信息判断下列选项，其中不正确的是（　　）
A．小强离家最远10公里
B．2至3时，小强可能因物品掉落，返回寻找
C．小强当天一共走了20公里
D．中途，小强和爸爸休息了一个小时
9．如图，是边BC上一点，，过点作的垂线，交于点E，若的面积是，，则长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，根据图中的作图痕迹，有下列结论：
①，
②连接，则的周长，
③连接，，则平分，
④．其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．铭铭的幸运英文字母是，他在英语单词（数学）中随机抽取一个字母，抽到是的概率是　 　．
12．如图，，垂足为E，与相交于，，，则　 　．
13．聪聪想知道地球距离太阳有多远，他翻阅资料得知光的传播速度约为，太阳光照射到地球上大约需要，据此他计算出地球距离太阳大约　 　（用科学记数法表示）．
14．按如图所示的程序计算，若输出的结果为12，则开始输入的最大值为　 　．
15．如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线运动．若经过秒后同时停止，当与全等时，则点的运动速度是　 　．
三、解答题（95分）
16．计算题
（1）计算：
（2）先化简，再求值：．其中，．
17．如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C均在格点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）在直线上作一点，使最短；
（3）以为边作与全等的三角形（不包括），可作出_____________个．
18．如图：中，是的平分线，；点E、F是边、上的点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）若，求的度数．
19．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有红球、黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
摸球次数 100 150 200 500 800 1000 2000
摸到红球的次数 52 72 262 404 499 1000
摸到红球的频率 0.52 0.51 0.524 0.505 0.499 0.5
（1）表中的_____________，_____________；
（2）通过摸球实验，请你估计摸到红球的概率是_____________；
（3）上述实验中，若袋中10个球中有3个黑球，为决定谁将获得仅有的一张电影票，设计了如下的摸球游戏，规则如下：如果摸到黑球，则小明获胜；如果摸到白球，则小颖获胜；如果抽到红球，则视为无效抽球，需将球放回袋中，游戏继续，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由，如果不公平，请重新设计一个公平游戏．
20．把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值．
解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值．
所以当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）将变形为的形式_____________，则的最小值为_____________；
（2）已知，求的值．
21．如图，是线段的中点，．
（1）求证：；
（2）请判断线段与的数量关系，并说明理由；
（3）分别连接，，求证垂直平分．
22．游乐场里的数学
【问题情境】
海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研．如图1所示，海盗船摆臂的长度为12米，其最大摆角为．（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角度）
【问题探究】
小组成员使用手机测距和计时功能，记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度h（单位：）以及所用的时间（单位：）的数据，并将这些数据绘制成图2．
请根据图2中信息回答问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_____________；
（2）该点最高时距地面_____________米，最低时距地面_____________米；
【问题解决】
（3）该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是多少米？（结果保留）
23．如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接、，与交于点．
（1）求证：；
（2）判断与的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，连接，若，求四边形的面积．
24．二维码中的数学
【阅读材料】
生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示信息，即可通过在网格中，对每一个方格涂色或不涂色来表示不同的信息．
【问题探究】
（1）图①中1个方格可表示2个不同信息；图②中2个方格可表示4个不同信息；图③的网格图，它可表示不同信息的总个数为_____________；（图中标号1、2、3、4表示四个不同位置的方格）
（2）二维码的容量由网格图中方格数量、方格颜色（黑／白）等因素决定．现需扩大一个版本的二维码，在相邻的两边分别增加个方格和个方格，构成新的长方形（或正方形）二维码．已知扩展后满足以下条件：
．求扩展后的二维码共有多少个方格？
【实践应用】
（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用（行列）的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共510人，且要求和为正整数，则的最小值为_____________．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【解答】
A、同底数幂相乘，底数不变指数相加；
B、积的乘方，底数不变指数相乘；
C、同底数幂相乘，底数不变指数相加；
D、积的乘方，先给积的各因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当为底边时，此时两腰长度相等，总周长为，故两腰之和为，每腰长为，此时三边分别为，，，满足三角形三边关系，符合题意；
当为腰长时，此时另一腰也为，底边长为，此时三边分别为、、，不满足三角形三边关系，不符合题意；
综上所述，三角形的另外两边长分别为，，
故选：D．
【分析】
由于三角形的任意两边之和大于第三边，则腰不可能为6，即底边为6，则腰为12．
3．【答案】C
【知识点】角的运算；余角；平行线的应用-求角度；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图：
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
【分析】
如图，由于两直线平行同错角相等，则，再由同角的余角相等可得．
4．【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：米，米，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴米，
故选：C．
【分析】
由一线三垂直全等模型可证明即可，再利用全等三角形的对应边相等即可．
5．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、擦去②和③，是轴对称图形，故不符合题意；
B、擦去①和②，是轴对称图形，故不符合题意；
C、擦去③和④，剩余部分没有一条直线可以将其分为完全相同的两部分，故不是轴对称图形，符合题意；
D、擦去①和③，是轴对称图形，故不符合题意；
故选：C．
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，再根据轴对称图形的定义逐项判案即可．
6．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：由图可得，阴影部分的面积可以表示为，还可以表示为，
故验证的公式为，
故选：B．
【分析】
完全平方公式的几何背景，利用割补法可得阴影部分面积等于阴影正方形面积，即．
7．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：下雨：可能发生，属于随机事件；
升旗仪式改在室内：是否发生取决于是否下雨，属于随机事件；
体育课改健康课：同样依赖下雨条件，属于随机事件；
举起万斤哑铃：万斤（5000公斤）远超人类能力，属于不可能事件；
可能迟到：是否迟到不确定，属于随机事件；
综上，随机事件共4件，不可能事件1件；
故选：B．
【分析】
随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件是指在一定条件必然发生或不可能发生的事件，包括不可能事件和必然事件的概念，再根据概念逐项判断即可．
8．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可得：小强离家最远10公里，故A正确，不符合题意；
2至3时，小强可能因物品掉落，返回寻找，故B正确，不符合题意；；
中途，小强和爸爸休息了一个小时，故D正确，不符合题意；
小强当天一共走了公里，故C不正确，符合题意；
故选：C．
【分析】
从函数图象获取信息，观察图象知，小强最先走到距家8公里处，再返回到距家6公里处，再休息1小时后继续行走到距家10公里处，最后行走3小时返回家中，则小强最远距离家中10公里，故A正确；由于中途小强从2到3时返回了2公里，故B正确；由于小强共走了24公里，故C错误；中途从3止4时路程没有变化，故D正确．
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵是边BC上一点，，的面积是，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
由于同底等高两三角形的面积比等于底边的比，则，再利用三角形面积公式即可求得DE长．
10．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可得：平分，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，故①正确；
连接，
，
由线段垂直平分线的性质可得：，
∴，故②正确；
连接，，
，
则，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴平分，故③正确；
如图：作于，
，
由角平分线的性质定理可得：，
∵，，，
∴，故④错误，
综上所述，正确的个数为个，
故选：C．
【分析】
由基本尺规作图知平分，垂直平分，再由等角的余角相等可得①正确；
连接，由线段垂直平分线的性质可得AN＝BN，则CN+BN＝CN+AN＝AC，即BC+BN+CN＝BC+AC，故②正确；
连接BN、BQ，则AQ＝BQ、AN＝BN，再由等边对等角可得，再利用角的和差关系即可得③正确；
过点Q作AC的垂线段QE，则由角平分线的性质可得QM＝QE，但QN>QE，即QMQN，则，故④错误．
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：一共有11种等可能性，其中抽到是的可能性有2种，
故抽到是的概率是．
故答案为：．
【分析】
直接利用简单事件概率公式计算即可．
12．【答案】
【知识点】垂线的概念；三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
先由直角三角形两锐角互余可得，再由对顶角相等可得，最后再利用三角形外角的性质即可．
13．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】
常用科学记数法把一个绝对值较大的数字表示为的形式，其中，n取这个数字整数部分数位个数与1的差．
14．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；一元二次方程的其他应用；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意，得
，
∴，
∴，
∴或，
∴输入的最大值为4．
故答案为：4．
【分析】
先由题意可得关于x的方程，再求解并取结果的最大值即可．
15．【答案】或
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设点的运动速度为，则，，，
，
分两种情况：①当时，
∴，
∴，；
解得：，；
②当时，则，
∴，，
解得：，．
综上，点的运动速度是或．
故答案为：或．
【分析】
设点Q的速度为，则观察图形可分两种情况，即：①当时，则，即；②当时，则，，即，，再分别求解即可．
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
当，时，
原式．
【知识点】负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算，先算乘方，再化简绝对值，最后再算加减即可；
（2）整式的化简求值，先利用平方差公式和单项式对多项式的乘法计算括号内的算式并合并同类项，再利用多项式对单项式的除法化 简原式，最后再把，代入计算即可．
（1）解：
；
（2）
，
当，时，
原式．
17．【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，连接交直线于点，点即为所求；
（3）3
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；作图﹣轴对称；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
（3）
解：根据轴对称，确定全等三角形如下：
共有3个，
故答案为：3．
【分析】
（1）分别作出A、B、C三点关于直线l的对称点、、，再顺次连接、、即可；
（2）由将军饮马模型可连接交直线于点即可；
（3）如图，分别取格点C1、C2、C3，则由轴对称的性质可得、、，故可作三个与全等的三角形．
（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，连接交直线于点，点即为所求；
（3）解：根据轴对称，确定全等三角形如下：
共有3个，
故答案为：3．
18．【答案】（1）证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴
∴
由（1）知：
∴
（3）解：∵
∴
∵
∴，
由（1）知：
又∵，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；平行线的应用-证明问题；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
（1）如图，先由角平分线的定义得到，再由等边对等角可得，即，再由内错角相等两直线平行即可；
（2）先由同位角两直线平行可得，再由两直线平行内错角相等可得，再由两直线平行同旁内角互补可得，再等量代换即可；
（3）先两直线平行同位角相等可得，再由等边对等角结合三角形内角和定理可得，再由等边对等角结合三角形外角性质可得即可．
（1）证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴
∴
由（1）知：
∴
（3）解：∵
∴
∵
∴，
由（1）知：
又∵，
∴
∴．
19．【答案】（1）0.48；102
（2）0.5
（3）解：由（2）摸到红球的概率是0.5，
∴红球的个数为（个），
∴白球的个数为（个），
∴摸到的白球的概率为
摸到的黑球的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，
设计公平游戏为：将袋中红球拿出 1个换成白球，即袋中10个球，有3个黑球，3个白球，4个红球，或将袋中黑球拿出 1个换成红球，即袋中10个球，有2个黑球，2个白球，6个红球．规则不变，即为公平的游戏．
【知识点】频数与频率；游戏公平性；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】
（1）
解：，
，
故答案为：0.48；102．
（2）
解：由统计表可知：摸到红球的频率约为0.5，
∴估计摸到红球的概率是0.5．
【分析】
（1）用摸到红球的次数除以摸球的总次数求出a、再用摸球的总次数乘以摸到红球的频率求出b即可；
（2）大量重复试验的概率稳定在频率附近；
（3）游戏是否公平由结果的概率决定，若各结果的概率相等则游戏公平，否则游戏不公平．
（1）解：，
，
故答案为：0.48；102．
（2）解：由统计表可知：摸到红球的频率约为0.5，
∴估计摸到红球的概率是0.5．
（3）解：由（2）摸到红球的概率是0.5，
∴红球的个数为（个），
∴白球的个数为（个），
∴摸到的白球的概率为
摸到的黑球的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，
设计公平游戏为：将袋中红球拿出 1个换成白球，即袋中10个球，有3个黑球，3个白球，4个红球，或将袋中黑球拿出 1个换成红球，即袋中10个球，有2个黑球，2个白球，6个红球．规则不变，即为公平的游戏．
20．【答案】（1），1；
（2）解：解：
，
∴，，
∵当时，取最小值0，当时，取最小值0，
∴，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性
【解析】【解答】
（1）
解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值1．
所以当时，有最小值1．
故答案为：，1；
【分析】
（1）配方法的应用，若一个二次三项式的二次项系数为1，则可给二次项与一次项的和加上一次项系数一半的平方配成一个完全平方式，从而把原式转化为一个完全平方式与一个常数和的形式，再利用偶次方的非负性求出其最小值；
（2）先把25拆成9与16的和，再由配方法可将地等式右边转化为两个完全平方式的和，再由偶次方的非负性可得这两个完全平方式都等于0从而可得a、b的值，最后再代值计算即可.
（1）解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值1．
所以当时，有最小值1．
故答案为：，1；
（2）解：
，
∴，，
∵当时，取最小值0，当时，取最小值0，
∴，，
∴．
21．【答案】（1）证明：∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：，理由如下：
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：
∵，
∴，
∴，
，
，
，
∴垂直平分．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由中点的概念可得AC＝BC，再利用已知结合证明即可；
（2）先由全等可得，再由等角对等边可得，再利用线段和差关系即可；
（3）由于OD＝OE，则可利用ASA证明，则OG＝OF、DG＝EF，再由（1）的结论知CD＝CE，则由线段的和差关系可得CG＝CF，再由线段垂直平分的判定定理即可．
（1）证明：∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：，理由如下：
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：设，的交点为M，
∵，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴垂直平分．
22．【答案】（1），h；
（2）8，2；
（3）解：∵海盗船摆臂的长度为12米，
该点所在的圆的周长为，
∵其最大摆角为，
∴该点单次摆动路程为，
即该点一个周期摆动，
由图2可知一个周期为，
∴2分钟即共摆动个周期，
∴该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是．
【知识点】弧长的计算；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】（1）解：∵高度随时间变化而变化，
∴自变量是，因变量是h，
故答案为：，h；
（2）解：由图2可知，该点最高时距地面8米，最低时距地面2米；
故答案为：8，2；
【分析】
（1）由函数的概念可知高度h随着时间t的变化而变化，故自变量是，因变量是h；
（2）观察函数图象知最高点距离地面8米，最低点距离直面2米；
（3）由题意可知该点一个周期摆动，则2分钟摆动的周期数为15，最后再相乘即可．
23．【答案】（1）证明：等腰直角三角形和等腰直角三角形，
，，，
，
即，
在和中，，
，
∴；
（2）解：，理由如下：设与交于点，如图，
∵等腰直角三角形，
∴，
∵，
，，
∵，
，
；
（3）解：由（1）得，由（2）知：，
，
，
，
；
【知识点】等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由于等腰直角三角形ABF和CBD有公共顶点B，则可利用手拉手全等模型证明即可；
（2）如图，由（1）的三角形全等知，又对顶角相等可得，再由直角三角形两锐角互余结合等量代换可得即可；
（3）由于四边形ACDF的对角线互相垂直，则由割补法知即可．
（1）证明：等腰直角三角形和等腰直角三角形，
，，，
，
即，
在和中，，
，
∴；
（2）解：，理由如下：
设与交于点，如图，
∵等腰直角三角形，
∴，
∵，
，，
∵，
，
；
（3）解：由（1）得，由（2）知：，
，
，
，
；
24．【答案】解：（1）16；
（2）根据题意，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
答：扩展后的二维码共有24个方格；
（3）47.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；求代数式的值-整体代入求值；列出事件所有的可能性
【解析】【解答】解：（1）根据题意，画树状图如下：
，
共有16种不同的信息，
故答案为：16．
（3）根据题意，得，
故，
故，
故的值为511，257，173，107，91，61，49，47，
故的最小值为47．
故答案为：47．
【分析】
本题以“二维码”为实际背景，综合考查统计、完全平方公式及整数运算，掌握公式变形与数的分解是解题核心.
（1）运用树状图法，依次分析每个方格的涂色/不涂色情况，统计所有不同的信息表示结果；
（2）结合已知条件，利用完全平方公式，求出，再由，求出，展开并整体代入计算；
（3）由，对510分解质因数，结合m、n为正整数的条件，找出使m+n最小的m、n的值.
1 / 1四川省巴中市2024-2025学年下学期七年级数学期末试题（北师大版）
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【解答】
A、同底数幂相乘，底数不变指数相加；
B、积的乘方，底数不变指数相乘；
C、同底数幂相乘，底数不变指数相加；
D、积的乘方，先给积的各因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
2．将一根长为的木条折成一边为的等腰三角形，则三角形的另外两边长分别为（　　）
A．， B．，或，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当为底边时，此时两腰长度相等，总周长为，故两腰之和为，每腰长为，此时三边分别为，，，满足三角形三边关系，符合题意；
当为腰长时，此时另一腰也为，底边长为，此时三边分别为、、，不满足三角形三边关系，不符合题意；
综上所述，三角形的另外两边长分别为，，
故选：D．
【分析】
由于三角形的任意两边之和大于第三边，则腰不可能为6，即底边为6，则腰为12．
3．把一副三角板（，，）按如图所示摆放，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；余角；平行线的应用-求角度；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图：
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
【分析】
如图，由于两直线平行同错角相等，则，再由同角的余角相等可得．
4．如图，图书馆的左侧有一栋高度为12米的居民房，点位于图书馆与居民房之间，且D、C、E三点共线．测得点到点的距离为28米，点到点的距离为12米，且，则图书馆的高度为（　　）
A．12米 B．16米 C．28米 D．40米
【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：米，米，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴米，
故选：C．
【分析】
由一线三垂直全等模型可证明即可，再利用全等三角形的对应边相等即可．
5．图中方格线上的八条等长线段形成一个图形，其中四条线段标上号码，擦去下列哪个选项中的两条线段后，剩下的图形不是轴对称图形（　　）
A．②和③ B．①和② C．③和④ D．①和③
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、擦去②和③，是轴对称图形，故不符合题意；
B、擦去①和②，是轴对称图形，故不符合题意；
C、擦去③和④，剩余部分没有一条直线可以将其分为完全相同的两部分，故不是轴对称图形，符合题意；
D、擦去①和③，是轴对称图形，故不符合题意；
故选：C．
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，再根据轴对称图形的定义逐项判案即可．
6．乘法公式可以用几何图形验证，图中验证的乘法公式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：由图可得，阴影部分的面积可以表示为，还可以表示为，
故验证的公式为，
故选：B．
【分析】
完全平方公式的几何背景，利用割补法可得阴影部分面积等于阴影正方形面积，即．
7．周一上午，在上学的路上，小明对小强说：“感觉要下雨了，今天的升旗仪式估计得改在室内举行了．”小强回应道：“不仅升旗仪式要改在室内，而且体育课也得改成室内健康课了．”小明叹了口气：“哎……太可惜了，我还打算在体育课上展示举起万斤的哑铃呢．”小强催促道：“快点啊，可能要迟到了．”对话内容中，随机事件和不可能事件分别为几件（　　）
A．5，0 B．4，1 C．3，2 D．2，3
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：下雨：可能发生，属于随机事件；
升旗仪式改在室内：是否发生取决于是否下雨，属于随机事件；
体育课改健康课：同样依赖下雨条件，属于随机事件；
举起万斤哑铃：万斤（5000公斤）远超人类能力，属于不可能事件；
可能迟到：是否迟到不确定，属于随机事件；
综上，随机事件共4件，不可能事件1件；
故选：B．
【分析】
随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件是指在一定条件必然发生或不可能发生的事件，包括不可能事件和必然事件的概念，再根据概念逐项判断即可．
8．为培养小强吃苦精神和坚强意志，爸爸和小强开展了一次远足活动，图是小强与爸爸远足的时间与离家的距离的关系，请根据图中信息判断下列选项，其中不正确的是（　　）
A．小强离家最远10公里
B．2至3时，小强可能因物品掉落，返回寻找
C．小强当天一共走了20公里
D．中途，小强和爸爸休息了一个小时
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可得：小强离家最远10公里，故A正确，不符合题意；
2至3时，小强可能因物品掉落，返回寻找，故B正确，不符合题意；；
中途，小强和爸爸休息了一个小时，故D正确，不符合题意；
小强当天一共走了公里，故C不正确，符合题意；
故选：C．
【分析】
从函数图象获取信息，观察图象知，小强最先走到距家8公里处，再返回到距家6公里处，再休息1小时后继续行走到距家10公里处，最后行走3小时返回家中，则小强最远距离家中10公里，故A正确；由于中途小强从2到3时返回了2公里，故B正确；由于小强共走了24公里，故C错误；中途从3止4时路程没有变化，故D正确．
9．如图，是边BC上一点，，过点作的垂线，交于点E，若的面积是，，则长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵是边BC上一点，，的面积是，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
由于同底等高两三角形的面积比等于底边的比，则，再利用三角形面积公式即可求得DE长．
10．如图，在中，，根据图中的作图痕迹，有下列结论：
①，
②连接，则的周长，
③连接，，则平分，
④．其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可得：平分，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，故①正确；
连接，
，
由线段垂直平分线的性质可得：，
∴，故②正确；
连接，，
，
则，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴平分，故③正确；
如图：作于，
，
由角平分线的性质定理可得：，
∵，，，
∴，故④错误，
综上所述，正确的个数为个，
故选：C．
【分析】
由基本尺规作图知平分，垂直平分，再由等角的余角相等可得①正确；
连接，由线段垂直平分线的性质可得AN＝BN，则CN+BN＝CN+AN＝AC，即BC+BN+CN＝BC+AC，故②正确；
连接BN、BQ，则AQ＝BQ、AN＝BN，再由等边对等角可得，再利用角的和差关系即可得③正确；
过点Q作AC的垂线段QE，则由角平分线的性质可得QM＝QE，但QN>QE，即QMQN，则，故④错误．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．铭铭的幸运英文字母是，他在英语单词（数学）中随机抽取一个字母，抽到是的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：一共有11种等可能性，其中抽到是的可能性有2种，
故抽到是的概率是．
故答案为：．
【分析】
直接利用简单事件概率公式计算即可．
12．如图，，垂足为E，与相交于，，，则　 　．
【答案】
【知识点】垂线的概念；三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
先由直角三角形两锐角互余可得，再由对顶角相等可得，最后再利用三角形外角的性质即可．
13．聪聪想知道地球距离太阳有多远，他翻阅资料得知光的传播速度约为，太阳光照射到地球上大约需要，据此他计算出地球距离太阳大约　 　（用科学记数法表示）．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】
常用科学记数法把一个绝对值较大的数字表示为的形式，其中，n取这个数字整数部分数位个数与1的差．
14．按如图所示的程序计算，若输出的结果为12，则开始输入的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；一元二次方程的其他应用；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意，得
，
∴，
∴，
∴或，
∴输入的最大值为4．
故答案为：4．
【分析】
先由题意可得关于x的方程，再求解并取结果的最大值即可．
15．如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线运动．若经过秒后同时停止，当与全等时，则点的运动速度是　 　．
【答案】或
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设点的运动速度为，则，，，
，
分两种情况：①当时，
∴，
∴，；
解得：，；
②当时，则，
∴，，
解得：，．
综上，点的运动速度是或．
故答案为：或．
【分析】
设点Q的速度为，则观察图形可分两种情况，即：①当时，则，即；②当时，则，，即，，再分别求解即可．
三、解答题（95分）
16．计算题
（1）计算：
（2）先化简，再求值：．其中，．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
当，时，
原式．
【知识点】负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算，先算乘方，再化简绝对值，最后再算加减即可；
（2）整式的化简求值，先利用平方差公式和单项式对多项式的乘法计算括号内的算式并合并同类项，再利用多项式对单项式的除法化 简原式，最后再把，代入计算即可．
（1）解：
；
（2）
，
当，时，
原式．
17．如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C均在格点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）在直线上作一点，使最短；
（3）以为边作与全等的三角形（不包括），可作出_____________个．
【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，连接交直线于点，点即为所求；
（3）3
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；作图﹣轴对称；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
（3）
解：根据轴对称，确定全等三角形如下：
共有3个，
故答案为：3．
【分析】
（1）分别作出A、B、C三点关于直线l的对称点、、，再顺次连接、、即可；
（2）由将军饮马模型可连接交直线于点即可；
（3）如图，分别取格点C1、C2、C3，则由轴对称的性质可得、、，故可作三个与全等的三角形．
（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，连接交直线于点，点即为所求；
（3）解：根据轴对称，确定全等三角形如下：
共有3个，
故答案为：3．
18．如图：中，是的平分线，；点E、F是边、上的点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴
∴
由（1）知：
∴
（3）解：∵
∴
∵
∴，
由（1）知：
又∵，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；平行线的应用-证明问题；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
（1）如图，先由角平分线的定义得到，再由等边对等角可得，即，再由内错角相等两直线平行即可；
（2）先由同位角两直线平行可得，再由两直线平行内错角相等可得，再由两直线平行同旁内角互补可得，再等量代换即可；
（3）先两直线平行同位角相等可得，再由等边对等角结合三角形内角和定理可得，再由等边对等角结合三角形外角性质可得即可．
（1）证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴
∴
由（1）知：
∴
（3）解：∵
∴
∵
∴，
由（1）知：
又∵，
∴
∴．
19．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有红球、黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
摸球次数 100 150 200 500 800 1000 2000
摸到红球的次数 52 72 262 404 499 1000
摸到红球的频率 0.52 0.51 0.524 0.505 0.499 0.5
（1）表中的_____________，_____________；
（2）通过摸球实验，请你估计摸到红球的概率是_____________；
（3）上述实验中，若袋中10个球中有3个黑球，为决定谁将获得仅有的一张电影票，设计了如下的摸球游戏，规则如下：如果摸到黑球，则小明获胜；如果摸到白球，则小颖获胜；如果抽到红球，则视为无效抽球，需将球放回袋中，游戏继续，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由，如果不公平，请重新设计一个公平游戏．
【答案】（1）0.48；102
（2）0.5
（3）解：由（2）摸到红球的概率是0.5，
∴红球的个数为（个），
∴白球的个数为（个），
∴摸到的白球的概率为
摸到的黑球的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，
设计公平游戏为：将袋中红球拿出 1个换成白球，即袋中10个球，有3个黑球，3个白球，4个红球，或将袋中黑球拿出 1个换成红球，即袋中10个球，有2个黑球，2个白球，6个红球．规则不变，即为公平的游戏．
【知识点】频数与频率；游戏公平性；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】
（1）
解：，
，
故答案为：0.48；102．
（2）
解：由统计表可知：摸到红球的频率约为0.5，
∴估计摸到红球的概率是0.5．
【分析】
（1）用摸到红球的次数除以摸球的总次数求出a、再用摸球的总次数乘以摸到红球的频率求出b即可；
（2）大量重复试验的概率稳定在频率附近；
（3）游戏是否公平由结果的概率决定，若各结果的概率相等则游戏公平，否则游戏不公平．
（1）解：，
，
故答案为：0.48；102．
（2）解：由统计表可知：摸到红球的频率约为0.5，
∴估计摸到红球的概率是0.5．
（3）解：由（2）摸到红球的概率是0.5，
∴红球的个数为（个），
∴白球的个数为（个），
∴摸到的白球的概率为
摸到的黑球的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，
设计公平游戏为：将袋中红球拿出 1个换成白球，即袋中10个球，有3个黑球，3个白球，4个红球，或将袋中黑球拿出 1个换成红球，即袋中10个球，有2个黑球，2个白球，6个红球．规则不变，即为公平的游戏．
20．把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值．
解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值．
所以当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）将变形为的形式_____________，则的最小值为_____________；
（2）已知，求的值．
【答案】（1），1；
（2）解：解：
，
∴，，
∵当时，取最小值0，当时，取最小值0，
∴，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性
【解析】【解答】
（1）
解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值1．
所以当时，有最小值1．
故答案为：，1；
【分析】
（1）配方法的应用，若一个二次三项式的二次项系数为1，则可给二次项与一次项的和加上一次项系数一半的平方配成一个完全平方式，从而把原式转化为一个完全平方式与一个常数和的形式，再利用偶次方的非负性求出其最小值；
（2）先把25拆成9与16的和，再由配方法可将地等式右边转化为两个完全平方式的和，再由偶次方的非负性可得这两个完全平方式都等于0从而可得a、b的值，最后再代值计算即可.
（1）解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值1．
所以当时，有最小值1．
故答案为：，1；
（2）解：
，
∴，，
∵当时，取最小值0，当时，取最小值0，
∴，，
∴．
21．如图，是线段的中点，．
（1）求证：；
（2）请判断线段与的数量关系，并说明理由；
（3）分别连接，，求证垂直平分．
【答案】（1）证明：∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：，理由如下：
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：
∵，
∴，
∴，
，
，
，
∴垂直平分．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由中点的概念可得AC＝BC，再利用已知结合证明即可；
（2）先由全等可得，再由等角对等边可得，再利用线段和差关系即可；
（3）由于OD＝OE，则可利用ASA证明，则OG＝OF、DG＝EF，再由（1）的结论知CD＝CE，则由线段的和差关系可得CG＝CF，再由线段垂直平分的判定定理即可．
（1）证明：∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：，理由如下：
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：设，的交点为M，
∵，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴垂直平分．
22．游乐场里的数学
【问题情境】
海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研．如图1所示，海盗船摆臂的长度为12米，其最大摆角为．（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角度）
【问题探究】
小组成员使用手机测距和计时功能，记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度h（单位：）以及所用的时间（单位：）的数据，并将这些数据绘制成图2．
请根据图2中信息回答问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_____________；
（2）该点最高时距地面_____________米，最低时距地面_____________米；
【问题解决】
（3）该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是多少米？（结果保留）
【答案】（1），h；
（2）8，2；
（3）解：∵海盗船摆臂的长度为12米，
该点所在的圆的周长为，
∵其最大摆角为，
∴该点单次摆动路程为，
即该点一个周期摆动，
由图2可知一个周期为，
∴2分钟即共摆动个周期，
∴该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是．
【知识点】弧长的计算；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】（1）解：∵高度随时间变化而变化，
∴自变量是，因变量是h，
故答案为：，h；
（2）解：由图2可知，该点最高时距地面8米，最低时距地面2米；
故答案为：8，2；
【分析】
（1）由函数的概念可知高度h随着时间t的变化而变化，故自变量是，因变量是h；
（2）观察函数图象知最高点距离地面8米，最低点距离直面2米；
（3）由题意可知该点一个周期摆动，则2分钟摆动的周期数为15，最后再相乘即可．
23．如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接、，与交于点．
（1）求证：；
（2）判断与的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，连接，若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：等腰直角三角形和等腰直角三角形，
，，，
，
即，
在和中，，
，
∴；
（2）解：，理由如下：设与交于点，如图，
∵等腰直角三角形，
∴，
∵，
，，
∵，
，
；
（3）解：由（1）得，由（2）知：，
，
，
，
；
【知识点】等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由于等腰直角三角形ABF和CBD有公共顶点B，则可利用手拉手全等模型证明即可；
（2）如图，由（1）的三角形全等知，又对顶角相等可得，再由直角三角形两锐角互余结合等量代换可得即可；
（3）由于四边形ACDF的对角线互相垂直，则由割补法知即可．
（1）证明：等腰直角三角形和等腰直角三角形，
，，，
，
即，
在和中，，
，
∴；
（2）解：，理由如下：
设与交于点，如图，
∵等腰直角三角形，
∴，
∵，
，，
∵，
，
；
（3）解：由（1）得，由（2）知：，
，
，
，
；
24．二维码中的数学
【阅读材料】
生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示信息，即可通过在网格中，对每一个方格涂色或不涂色来表示不同的信息．
【问题探究】
（1）图①中1个方格可表示2个不同信息；图②中2个方格可表示4个不同信息；图③的网格图，它可表示不同信息的总个数为_____________；（图中标号1、2、3、4表示四个不同位置的方格）
（2）二维码的容量由网格图中方格数量、方格颜色（黑／白）等因素决定．现需扩大一个版本的二维码，在相邻的两边分别增加个方格和个方格，构成新的长方形（或正方形）二维码．已知扩展后满足以下条件：
．求扩展后的二维码共有多少个方格？
【实践应用】
（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用（行列）的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共510人，且要求和为正整数，则的最小值为_____________．
【答案】解：（1）16；
（2）根据题意，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
答：扩展后的二维码共有24个方格；
（3）47.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；求代数式的值-整体代入求值；列出事件所有的可能性
【解析】【解答】解：（1）根据题意，画树状图如下：
，
共有16种不同的信息，
故答案为：16．
（3）根据题意，得，
故，
故，
故的值为511，257，173，107，91，61，49，47，
故的最小值为47．
故答案为：47．
【分析】
本题以“二维码”为实际背景，综合考查统计、完全平方公式及整数运算，掌握公式变形与数的分解是解题核心.
（1）运用树状图法，依次分析每个方格的涂色/不涂色情况，统计所有不同的信息表示结果；
（2）结合已知条件，利用完全平方公式，求出，再由，求出，展开并整体代入计算；
（3）由，对510分解质因数，结合m、n为正整数的条件，找出使m+n最小的m、n的值.
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