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2026学年八年级数学下册期末测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是
C．当分式值为0时， D．无论x为何值，的值总为正数
5．如图，是 ABC的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（　　）
A．且 B．且
C． D．
8．如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是( )
A．关于的方程的解是
B．关于的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值大
D．关于，的方程组的解是
9．如图，在 ABC中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中正确的有（ ）个
（1）；（2）；（3）平行四边形的周长为44；（4）当时，的面积为20
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12．因式分解：____．
13．如图，在 ABC中，延长到点，使得，过的中点作（点在点的右侧），且，连接，若，则的长为___．
14．在平面直角坐标系中，点是一次函数图像上一点，将线段绕点顺时针方向旋转后，点的对应点恰好落在一次函数图像上，则点的坐标是______
15．关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的和是_______．
16．如图， 在中，，， 若以为一边画等腰三角形， 且使它的第三个顶点在边或上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为_____________．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．）
17．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．先化简：，再从1，2，3，4中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
19．如图，已知在中，是的角平分线，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知 ABC三个顶点的坐标分别是．
(1)将 ABC向下平移6个单位长度得到，请画出；
(2)画出关于原点O成中心对称的；
(3)若将 ABC绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心M的坐标是 ．
21．观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明．
22．随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床．
(1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？
(2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润．
23．定义运算：．已知，．
(1)直接写出： ， ；
(2)若关于的不等式组无解，求的取值范围；
(3)若的解集为，求不等式：的解集．
24．（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____．
（2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长．
25．如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F．
【初步尝试】
（1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由；
【深入探究】
（2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G，
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）．
参考答案
一、选择题
1．B
A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意．
2．C
解：∵不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，
∴若，则，选项A正确；
∵不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变，
∴若，则，选项B正确；
∵当时，，此时，不满足，
∴选项C的说法不正确；
∵不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变，
∴若，则，选项D正确；
故选：C．
3．B
解：∵因式分解要求从左到右变形后，结果为几个整式的积的形式，
∴A 选项中右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解；
B 选项中，左边是多项式，右边，是两个整式的积的形式，变形正确，是因式分解；
C 选项中，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
D 选项中，右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解．
4．D
解：对于A选项，∵分式有意义的条件是分母不为，即，不是，∴A错误；
对于B选项，∵确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，∴分式与的最简公分母是，不是，∴B错误；
对于C选项，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，∴，不是，∴C错误；
对于D选项，∵对任意都有，∴，分子，∴恒成立，∴D正确．
故选：D．
5．B
解：∵是的中位线，，，
∴，，；
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
6．B
解：正十二边形的每个内角为，
∴，
正六边形的每个内角为，
∴，
∴，
故选：B．
7．B
∵ 原方程为，将方程变形为，
两边同乘去分母得：，
整理求解得：，
∵ 方程的解为正数，且分式分母不能为0，
∴ ，且，
解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
∴ 且．
8．B
解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，
∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意；
关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意；
当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意；
关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意；
故选：B．
9．C
解：连接，，
由作法得，，
垂直平分，
，故①正确；
，，
，
由作法得平分，
，
，
，
在中，，
，
，故②正确；
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，故③错误；
， ，
，
垂直平分线段，故④正确．
故正确的个数有3个．
10．C
解：根据图形和图象，得当时，，故；
点P从点B运动到点D，行走路程为，；
当点P运动到点D时，，此时；
故平行四边形的周长为；
当时，，此时点P为的中点，
故的面积与的面积相等，且为的面积的一半，
过点B作于点H，
∵，
∴，
故，
故的面积为，
故的面积为24；
故（1）（2）（3）正确；（4）错误；
故选：C．
二、填空题
11．
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得
解得．
12．
解：
．
13．3
解：如图所示，取的中点，连接，
∵为的中点，点为的中点，，
∴，，，
∵，直线与直线重合，
∴直线与直线重合，
∵，，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：．
14．
解：因为点在一次函数的图像上，
设点的坐标为，
则点旋转后的对应点的坐标为，
因为点在一次函数的图像上，
所以，解得
将代入点的纵坐标表达式，得，
故点的坐标为．
15．
解：解不等式，得，
解不等式，得，
∵关于x的不等式组有且仅有3个整数解，
∴，
解得，
将关于y的分式方程的两边都乘以得，
，
解得，
∵关于y的分式方程的解为整数，
∴或或，
解得或或或或或，
又∵分式方程的增根是，
∴，
即，
解得，
又∵，
∴符合条件的整数a的和为．
16．或或
解：当时，顶角为；
当时，，顶角为；
当时，在边上，，
顶角；
当时，在边上，顶角为；
综上所述：顶角为：或或；
故答案为：或或．
三、解答题
17．解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴表示在数轴上为：
18．解：
，
当或时，原分式没有意义；
当时，原式；
当时，原式．
19．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图，连接，交点即为旋转中心点M，
由图可知，点M的坐标为．
故答案为：．
21．（1）解：；
故答案为：．
（2）第个等式：，
证明如下：
等式左边
等式右边，
故等式成立．
故答案为：．
22．（1）解：设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价为每床元，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，
（元）．
答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元．
（2）解：根据题意，得：，
解得：，
A款电热毯的售价为（元），
B款电热毯的售价为（元），
则，
∵，
∴W随a的增大而增大，
∵且x为正整数，
∴当时，W的值最大，．
答：最大利润为1998元．
23．（1）解：把，代入，
得：，
解得：；
故答案为：，；
（2）根据题意得；
解得：
∵关于的不等式组无解，
∴；
（3）根据题意得，
整理得：，
此不等式解集为，
，且，
整理得：，
所求不等式化简得：，即，
把代入得：
，解得：，
∴
解得：．
24．解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
∴，；
故答案为：，；
（2），证明如下：
如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
（3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．（1）解：四边形是平行四边形，理由如下，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
（2）①解：；理由如下：
如图，作交于点K，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形、是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
②如图，延长交的延长线于点R，
∵点P为中点，，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∴，
作交的延长线于点L，作于点Q，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为．

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