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第五章《 图形的轴对称》章节综合测试卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．为铭记历史传承文化，沙坪坝区将每年的3月30日设立为“沙磁文化日”．下列文字图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按图3的流程进行操作，即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 ABC中，，点是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（ ）
A． B． C． D．
6．虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　）
A． B． C． D．
7．已知四边形为长方形．如图，点在线段上，将其沿折叠得到图，分别交于，再将沿折叠得到图，点恰好落在线段上．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
9．如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在 ABC中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，与交于点．某数学兴趣小组分析图形后得出以下结论：①；②；③；④．上述结论一定正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在 ABC中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________．
12．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为___________．
13.如图①，将一条两边互相平行的长方形纸带沿所在直线折叠，，将图①纸带继续沿所在直线折叠成图②，则__________．
14．如图，P为内一定点，M，N分别是射线上的点，当的周长最小时，，则____________；
15．在 4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有_______种．
16．如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____．
17．小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家．如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且．若点A到河岸CD的中点的距离为1000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是________m．
18．如图，在 ABC中，平分，过点作交于点交于点，作的平分线交于点，交于点，若，下列结论：
①；②；③；④；⑤．其中正确的是_____________．

三、解答题（10小题，共66分）
19．如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）．
(1)如果，求的度数；
(2)如果，则 ；
(3)探究与的数量关系，并说明理由．
20．如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？
小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置．
下面是小明根据这一方法写出的证明过程：
证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接
点B与点关于直线l对称
________，_________；
当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置．
(1)解决问题：补全证明过程；
(2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法）
21．图1是一个平分角的仪器，其中，．
(1)如图2，将仪器放置在 ABC上，使点与点重合，，分别在边，上，沿画射线交于，则是的平分线，说明理由；
(2)如图3，在（1）的条件下，过点作于，若，，，求 ABC的面积．
22．如图，在四边形中，平分，于点E．
(1)若，求证：；
(2)若，求证：．
23．尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：在 ABC中．
(1)作的角平分线交于点D；
(2)作边上的垂直平分线l交于点E；
(3)连接，若，，则________．
24．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．

(1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使；
(2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球．
25．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形） ABC关于直线对称的图形为，其中是的对称点．
(1)请作出对称轴及 ABC关于直线对称的；
(2)如果每一个小正方形的边长为，则 ABC的面积为 ；
(3)在直线上找到点，使得最小．
26．如图， ABC和关于直线MN对称，和关于直线EF对称．
(1)请用无刻度的直尺画出直线EF（保留画图痕迹，不写画法）．
(2)直线MN与EF相交于点O，试探究与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系．
27．如图，在 ABC中，是的角平分线，是上一个点，，交于点，，交于点．
(1)求证：点到和的距离相等；
(2)若，且的面积是15，求的面积．
28．综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小．
小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长．
如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可．
(1)请完成图3中小明的证明；
(2)如图4，在 ABC中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________；
(3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度．
参考答案
一、选择题
1．C
解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．是轴对称图形，故该选项符合题意；
．不是轴对称图形，故该选项不符合题意．
2．A
解：A、中右下角的图符合图3最右边的图，符合题意；
B、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意；
C、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意；
D、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意；
故选：A．
3．B
解：如图所示：作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，点即为所求；
故选：B．
4．B
解：∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
5．B
解：如图所示，
可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，
∵，
∴弹性小球第次落脚点为图中的点，
故选：．
6．A
解：A.墙上的时钟时间约为，最接近，符合题意；
B. 墙上的时钟时间约为，不符合题意；
C. 墙上的时钟时间约为，不符合题意；
D. 墙上的时钟时间约为，不符合题意．
故选：A．
7．B
解：∵四边形是长方形，
∴，，
由折叠得：，，
∴ ，
∵，
∴，
由折叠得，且在上，
∴，
∴
∴，
故选：B．
8．C
解：如图：
根据题意：A是P与的中点；B是与的中点；C是与的中点；
依此类推，跳至第5步时，所处位置与点P关于C对称；
故再有一步，可以回到原处P．
所以至少要跳6步回到原处P．
故选：C．
9．C
解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，，
，，，
，
、、共线，
根据对称的性质可知，，
，
，
当、、、共线时，的值最小，即此时的值最小，
由对称性可知，
，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
当时，的值最小，最小值为，
，
的最小值为．
故选：C．
10．C
解：
，
∵是边的中点，
故②正确；
，，
在 BDFC和中，
，
，故①正确；
平分，且，
在和中，
，
，故④正确；
如图，过点G作于K，
平分，且，
，
∵在中，＞，
＜，故③错误．
故选：C．
二、填空题
11．
解：连接，
∵，平分，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
12．
解：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，
．
故答案为：．
13．
解：根据题意，，，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为： ．
14．
解：如图，作P关于，的对称点，连接．则当M，N是与的交点时，的周长最小．
∵P，关于对称，，

∴，．
同理，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
15．4
解：如图所示．
这样的添法共有4种．
故答案为：4．
16．8
解：如图所示，连接，过点作线段的垂线，交的延长线于点．
∵点与点关于对称， 点与点关于对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是个等腰直角三角形，
，
∴要使面积最小，需要的值最小，
当垂直时，即与重合时，的值最小．
∵，解得；
∴面积的最小值为．
17．2000
解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，连接．
根据轴对称可知，
，
∵两点之间线段最短，
∴的值最小，即的值最小，
∴小刚从处到河里处打水，再送去王奶奶家，所走的路程最小．
根据作图并结合题意可知，，，
在和中，
，
，，
为的中点．
∵点到河岸的中点的距离为，
，
，
．
故小刚从处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是．
故答案为：．
18．①②④⑤
延长CD，交AB的延长线于H，连接HP、HG，作于M，于N，于Q
，即，
，即△ACH为等腰三角形
∵AD平分∠BAC
∴AD为HC的垂直平分线
∵∠BCA的平分线CF交AD于点P
∴，故①正确
∵平分，作的平分线交于点，交于点
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴，故②正确
∵CF为∠ACB的角平分线
∴HP为∠FHG的角平分线
在△HFP和△HGP中
∴，故④正确
∵，，
∴
，，
，故⑤正确
故答案为：①②④⑤．

三、解答题
19．（1）解：根据题意，得，
∴，
由折叠的性质得，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质得，，
∴，
∴，
由折叠的性质得，，
∴.
（3）解：
理由：设，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质得，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴，
∴．
20．（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，，
，，
，
当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置，
故答案为：，，；
（2）解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短．
21．（1）证明：在和中，
，
∴，
∴．
∵点O与点重合，
∴，
∴是的平分线；
（2）解：如图，过点P作，交于点H．
∵是的平分线，，，，
∴．
∵，，
∴．
22．（1）如图1．延长到点M，使．
∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
∴，即．
（2）如图2所示，延长到点M，使．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
在△ADC和△MBC中，，
∴．
∴．
23．（1）解：的角平分线如图所示，
（2）解：的垂直平分线如图所示，
（3）解：∵在 ABC中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
24．（1）解：如图1中，点，点即为所求；
，
由勾股定可得：，，，，，，
，，，
、、是等腰直角三角形，
，，
由平移的性质可得，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）解：如图2中，点即为所求，路径即为所求．
．
25．（1）解：如图，对称轴直线l及即为所求；
（2）解：；
（3）解：如图，点P即为所求，
根据轴对称的性质，，
此时最小．
26．（1）解：直线如图所示．
（2）解：如图，连接，，．
和关于直线对称，
．
和关于直线对称，
，
．
27．（1）证明：过作，
是的角平分线，
，
，
（2）解：是的角平分线，
到和的距离相等，
，
，，
，
．
28．（1）证明：由轴对称的性质可知，，，
∴，，
∴，，
∴当三点共线时，值最小，
∴点的位置即为所求；
（2）解：如图，连接，
∵m是边的垂直平分线，
∴，
∴的周长为，
当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立，
即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11，
故答案为：11；
（3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，
根据对称性可知，，
∴，
，
，
，
，
故答案为：110．

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