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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.1.1.1认识勾股定理第一章勾股定理1.1.1认识勾股定理同步练习题（北师大版八年级上册）一、核心知识点梳理勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边长为$$a、b$$，斜边长为$$c$$，则公式为：$$a^2+b^2=c^2$$。定理仅适用于直角三角形，斜边为最长边，解题需先明确直角与斜边，避免边长代入错误。二、基础练习题1.填空题（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，若$$a=5，b=12$$，则$$c=$$______；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，若$$a=6，c=10$$，则$$b=$$______；（3）已知直角三角形两直角边比例为3:4，斜边长为10，则两直角边长分别为______。2.选择题（1）已知Rt△ABC中，∠C=90°，$$AC=12，BC=5$$，则斜边AB的长为（）A.13 B.14 C.15 D.16（2）直角三角形三边长为2、3、$$x$$，则$$x$$对应的正方形面积为（）A.5 B.13 C.5或13 D.无法确定三、提升解答题1.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知直角边之和$$a+b=14\mathrm{cm}$$，斜边长$$c=10\mathrm{cm}$$，求该直角三角形的面积。2.已知直角三角形斜边长17cm，一条直角边长15cm，求这个三角形的面积。四、参考答案与解析1.填空题（1）13，解析：$$5^2+12^2=25+144=169=13^2$$；（2）8，解析：$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{100-36}=8$$；（3）6、8，解析：设直角边为$$3x、4x$$，$$(3x)^2+(4x)^2=10^2$$，解得$$x=2$$。2.选择题（1）A，解析：$$12^2+5^2=13^2$$，符合勾股定理；（2）C，解析：$$x$$可为斜边或直角边，分两种情况计算得面积5或13。3.解答题1.解：由$$a+b=14$$得$$(a+b)^2=196$$，即$$a^2+2ab+b^2=196$$。由勾股定理$$a^2+b^2=100$$，代入得$$2ab=96$$，$$ab=48$$，面积$$S=\dfrac{1}{2}ab=24\mathrm{cm^2}$$。2.解：设另一直角边为$$x$$，$$x^2+15^2=17^2$$，解得$$x=8$$，面积$$S=\dfrac{1}{2}\times8\times15=60\mathrm{cm^2}$$。五、易错小结解题核心：牢记定理只适用于直角三角形，区分直角边与斜边；未明确边长身份时需分类讨论，计算时灵活运用平方公式简化运算，避免直接硬算出错。了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系.
能够运用勾股定理进行简单的计算.
掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题，培养运算能力和数学的语言表达能力，欣赏数学语言的优美与简洁.
知识回顾
三角形
定义
角
边
直角
三角形
定义
角
边
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的平面图形。
三角形的内角和是 180°。
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
有一个角是 90°的三角形是直角三角形。
直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余的三角形是直角三角形。
？
《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话，商高对周公姬旦说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”.
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”.
按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五.
你知道为什么吗？
探究点一： 勾股定理的初步认识
我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：
观察右边地面的图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？
A
B
C
A
B
C
问题1 图中正方形 A、B、C 的面积之间有何关系吗？
探究点一： 勾股定理的初步认识
以等腰直角三角形两直角边为边的小正方形的面积的和，等于以斜边为边的正方形的面积.
问题2　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位 1 )：
这两幅图中 A，B 的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
探究点一： 勾股定理的初步认识
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
探究点一： 勾股定理的初步认识
根据前面求出的 C 的面积直接填出下表：
A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图
右图
4
13
25
9
16
9
探究点一： 勾股定理的初步认识
问题3 正方形 A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
探究点一： 勾股定理的初步认识
几何语言描述：
在Rt△ABC 中，∠C = 90°，
∴ a2 + b2 = c2
a
b
c
公式变形：
（a、b、c 为正数）
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2 + b2 = c2.
探究点一： 勾股定理的初步认识
如图，从电线杆离地面 8 m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线
杆底部 6 m，那么需要多长的钢索？
解：由勾股定理可得
AB2 = AC2 + BC2 = 62 + 82 = 100，
即 AB = 10.
A
C
B
答：需要 10 m 的钢索.
探究点二： 勾股定理的简单应用
解：(1) 正方形的面积为 325.
(2) x = 8.
例1 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度.
(1)
(2)
探究点二： 勾股定理的简单应用
例2 如图，长 13 m 的梯子 AC 靠在墙上，梯子的底部 C 离墙角 B 的距离 BC 为 5 m (AB⊥BC)，求梯子的顶端 A 离地面 BC 的距离 AB．
A
B
C
5m
13m
解：在Rt△ABC 中，
由勾股定理得，AB2 + BC2 = AC2，
所以 AB2 + 52 = 132，
解得 AB = 12（m）．
答：梯子的顶端 A 离地面 BC 的距离AB 为 12 m.
探究点二： 勾股定理的简单应用
练 习
如图，将长为 16 cm 的橡皮筋放置在数轴上，两端固定在点 A 和点 B 处，然后把中点 C 沿垂直于 AB 的方向拉升 6 cm 至点 D 处，则橡皮筋被拉长了______cm。
【解析】由题易知 AC = AB = ×16 = 8 (cm)，
CD = 6 cm。 在 Rt△ACD 中，由勾股定理，
得 AD2 = AC2 + CD2 = 82 + 62 = 100，
则 AD = 10 cm。 同理可得 BD = 10 cm。
所以 AD + BD-AB = 10+10-16 = 4 (cm)。
故橡皮筋被拉长了 4 cm。
1
2
1
2
4
题型二 先构造直角三角形再利用勾股定理解决问题
如图，在 △ABC 中，AB = 15，AC = 13，BC = 14，求△ABC 的面积。
思路分析
过点 A 作 AD⊥BC
AD2=AB2-BD2
AD2=AC2-CD2
求 AD
求 S△ABC
解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
则∠ADB = ∠ADC = 90°。
设 BD = x，则 CD = BC-BD = 14-x。
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得
AD2 = AB2 - BD2 = 152-x2。
在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得
AD2 = AC2-CD2 = 132-(14-x)2。
所以152-x2 = 132-(14-x)2，
解得 x = 9，即 BD = 9。
所以 AD2 = AB2-BD2 = 152-92 = 144。
所以 AD = 12。
所以 S△ABC = BC·AD = ×14×12 = 84。
1
2
1
2
题型三 利用勾股定理解决折叠问题
如图，有一张直角三角形纸片，其中∠ACB = 90°，AB = 5，AC = 3。 现将△ABC 折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 D 处，
折痕为 AE，则 CE 的长为（ ）
A. 1 B. 2 C.1.5 D. 2.5
C
解析：由折叠知 AD = AC = 3，
CE = DE，∠ADE = ∠ACE = 90°，
所以 BD = AB-AD = 2，
∠BDE = 180°-∠ADE = 90°。
在Rt△ABC 中，BC2 =AB2-AC2 = 52-32 = 16，
所以 BC = 4，所以 BE = 4-DE。
在Rt△BDE 中，BE2 = DE2 + BD2，
即 (4-DE)2 =DE2 + 22，解得 DE = 1.5，即 CE = 1.5。
练 习
如图，在 Rt△ABC中，AB = 9，BC = 6，∠B = 90°，将△ABC折叠，使点 A 与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为（ ）
A. B. C.4 D.5
5
3
5
2
C
【解析】设 BN = x，则 DN = AN = AB-BN = 9-x。
因为 D 是 BC 的中点，BC = 6，所以 BD = 3。
在Rt△BDN 中，BN2 + BD2 = DN2，
即 x2 + 32 = (9- x)2，解得 x = 4。
所以线段 BN 的长为 4。
知识点1 勾股定理
1.在中， ，下列结论正确的是( )
D
A. B.
C. D.
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2.在一个直角三角形中，若一条直角边长是3，另一条直角边长是4，则
斜边长的平方是( )
D
A.5 B.9 C.16 D.25
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3.如图，在中， 。
（第3题）
（1）若，，则 ____；
（2）若，，则 ___；
（3）若，，则 ___。
17
8
7
返回
（第4题）
4. 如图，某农舍的大门是一个木制的长方形
栅栏，它的高为，宽为 ，现需要在相对的顶点间
用一块木板加固，则木板的长为_______。
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5.［2025渭南期中］如图，在中，，垂足为，是
边上的中线，，，则的长是____ 。
13
（第5题）
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认识勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2
利用勾股定理进行计算

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