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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.1.3勾股定理的应用第一章勾股定理1.3勾股定理的应用同步精讲+习题（北师大版八年级上册）一、核心解题思想勾股定理应用的核心思路：把实际问题转化为直角三角形模型。生活中的距离、高度、最短路径、折叠、航行问题，大多无直接直角三角形，需要通过作辅助线、展开立体图形、利用折叠性质，构造出直角三角形，再借助$$a^2+b^2=c^2$$求解边长。二、四大必考经典题型题型1：立体图形最短路径问题（展开法）圆柱、长方体表面最短路径，解题关键：立体转平面，将立体图形侧面展开为长方形，两点之间线段最短，构造直角三角形求解。核心：展开后直角边分别为立体图形的高、底面周长的一半或底面边长。题型2：折叠问题（边长不变法）矩形、三角形折叠问题，核心性质：折叠前后对应边长相等、对应角相等。通常设未知边长为$$x$$，用含$$x$$的式子表示直角三角形三边，列勾股方程求解。题型3：航海与方位角问题利用“南北、东西方向互相垂直”，直接构造直角三角形，结合方位角确定两条直角边长度，求两点直线距离。题型4：梯子、竹竿高度问题经典靠墙模型，墙与地面垂直，天然形成直角三角形，梯子、竹竿为斜边，移动前后斜边长度不变，通过勾股定理求高度、底部移动距离。三、基础填空题1.解决立体图形最短路径问题的核心方法是将立体图形________，转化为平面图形求解。2.折叠问题的核心性质是折叠前后________相等，据此设未知数列方程解题。3.一架长10m的梯子斜靠在墙上，梯子底部距墙面6m，则梯子顶端距地面________m。四、选择题1.长方体表面最短路径问题，最终依据的数学原理是（）A.垂线段最短B.两点之间线段最短C.三角形三边关系D.勾股逆定理2.一艘船先向正东航行8km，再向正北航行6km，此时船距离出发点直线距离为（）A. 10km B. 12km C. 14km D. 16km五、解答应用题（考试高频题型）1.一架长25m的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子底端离墙7m。若梯子顶端下滑4m，求梯子底部水平滑动的距离。2.有一个圆柱，高为12cm，底面周长为18cm，一只蚂蚁从圆柱底面一点爬到顶面正对一点，求最短爬行距离。六、参考答案与解析填空题1.侧面展开；2.对应边长；3. 8，解析：$$\sqrt{10^2-6^2}=8$$。选择题1. B解析：立体展开为平面，依据两点之间线段最短求最短路径。2. A解析：正东正北垂直，$$8^2+6^2=10^2$$，直线距离10km。解答题1.解：初始状态，墙高$$\sqrt{25^2-7^2}=24\mathrm{m}$$。顶端下滑4m后，新高度为$$24-4=20\mathrm{m}$$。此时梯子底部距墙$$\sqrt{25^2-20^2}=15\mathrm{m}$$。滑动距离：$$15-7=8\mathrm{m}$$。答：梯子底部滑动8米。2.解：将圆柱侧面展开为长方形，长方形高12cm，底面半周长9cm。最短距离为斜边：$$\sqrt{12^2+9^2}=15\mathrm{cm}$$。答：最短爬行距离为15cm。七、本节易错总结1.立体图形展开错误，找错直角边长度，混淆底面周长和半周长；2.梯子滑动问题只算最终距离，忘记减去初始距离，漏求滑动差值；3.折叠问题不会设未知数，无法利用边长不变构造方程；4.忽略方位角垂直关系，无法构造直角三角形解题。运用勾股定理的逆定理判定垂直，从实际问题中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构建直角三角形，运用勾股定理解决实际问题.
能在具体情境中抽象出直角三角形，将实际问题转化为数学问题.
灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题，培养学生的数学语言表达能力、提高学生分析问题和解决问题能力.
回顾前面学过的内容，回答问题：
1.勾股定理的内容是什么？
直角三角形 → a2 + b2 = c2
a2 + b2 = c2 → 直角三角形
2.勾股定理的逆定理是什么？
A
C
B
a
b
c
装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB.
（1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？
A
B
C
D
探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用
用卷尺分别测量 AD，DB，AB 的长，
若 AD2 + AB2＝DB2，
则 ∠A＝90°，即AD⊥AB.
（2）李叔叔测得边 AD 长 30 cm，边 AB 长 40 cm，点 B，D 之间的距离是 50 cm. 边 AD 垂直于边 AB 吗
A
B
C
D
探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用
∵ AD2 + AB2＝302 + 402＝2500，
DB2＝502＝2500，
∴∠A＝90°，即AD⊥AB.
所以边 AD 垂直于边 AB
A
B
C
D
能检验.
在 AD 上从 A 点量取 12 cm 得点 E，在 AB 上从 A 点量取 16 cm 得点 F.
因为 12 + 16 = 20 ，
用刻度尺测 EF 长度，若 EF = 20 cm，
根据勾股定理逆定理，AD⊥AB；
若 EF≠20 cm，则 AD 不垂直 AB.
(3) 如果李叔叔随身只带了一个长度为 20 cm 的刻度尺，那么他能检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗
E
F
【活动1】：动手折一折
用一张直角三角形纸片折叠，你能发现折叠前后两部分图形有什么关系吗？说明理由.
如图，一张直角三角形纸片，两直角边 AC = 5 cm，BC = 10 cm，将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，你能求出 CD 的长吗？
A
C
B
E
D
分析：(1) 本题已知什么？
求的是什么？
5
10
探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用
A
C
B
E
D
（3）观察 CD 在哪一个三角形中？你能表示出这个三角形的每一条边吗？
（2）本题将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，可得到什么？依据是什么？
AD = BD；依据：折叠的性质.
5
CD 在Rt△ACD 中；
x
10-x
10-x
可设 CD = x，
则 AD = 10 - x.
10
探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用
A
C
B
E
D
5
x
10-x
10-x
10
解：设 CD = x cm，则 DB = (10 - x) cm，
由题意，根据折叠的性质，
可得 AD = BD = 10 - x， 且 AC = 5.
在Rt△ACD 中，
由勾股定理得，AD = AC + CD ，
如图，一张直角三角形纸片，两直角边 AC = 5 cm，
BC = 10 cm，将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，你能求出 CD 的长吗？
(10 - x) = 5 + x ，
解得 x = .
则 CD = .
探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用
设 DF = x cm，
则 CF = EF = (8 - x) cm，
在Rt△DEF 中，DE2 + DF2 = EF2，
则 42 + x2 = (8 - x)2，解得 x = 3.
∴DF 的长为 3 cm.
如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点，将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G，交边 CD 于点 F. 你能求出 DF 的长吗
解：∵点 E 是边 AD 的中点，∴ DE = AD = 4 cm.
探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用
问题2：试一试，你能利用以下折叠图形，借助勾股定理，设计一个有关折叠的计算问题么？
探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
【活动2】：小组合作，设计方案，测量学校旗杆的高度．借助勾股定理，请你利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算旗杆的高度. 以下是小丽设计的测量方案：
项目背景
项目方案
测量实物图：
如图，小丽制订了如下测量方案，并进行实地测量.
测量示意图：
测量过程：
步骤一：如图2，线段MN表示旗杆高度，MN垂直地面于点N. 将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段NE．用皮尺测出NE的长度．
0.5m
7m
1.5m
项目方案
测量示意图：
步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离.
各项数据
测量项目
绳子垂到地面多出部分的长度
小丽直立位置距旗杆底端的水平距离
小丽身高
数据
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
请根据表格所给信息，完成下列问题．
问题：（1）直接写出线段 MN 与 AM 之间的数量关系.
M
N
E
M
N
C
A
B
图2
图3
AM = MN + 0.5
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
(2) 根据小丽的测量方案和数据，求出学校旗杆 MN 的高.
解：过 A 作 AC⊥MN 于 C，
则 AB = CN，AC = BN，
根据题意得，AB = CN = 1.5 m.
AC = BN = 7 m，AM = MN + 0.5，
∴ CM = MN - CN = MN - 1.5，
∵ AM 2 = AC 2 + CM 2，
∴ (MN + 0.5)2 = 72 + (MN - 1.5)2，
解得 MN = 12.75，
答：学校旗杆 MN 的高 12.75 米.
M
N
C
A
B
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
数学思想：
实际问题
数学问题
转化
建模
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
例1 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐. 问水深、葭长各几何？(选自《九章算术》)
题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边
长为1丈的正方形. 在水池正中央有一根新生的芦苇，
它高出水面1尺.
如果把这根芦苇垂直拉向岸边，
那么它的顶端恰好到达岸边的水面.
这个水池的深度和这根芦苇的
长度各是多少
B
O
C
A
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
解：设水池的水深 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为 (x + 1) 尺.
由于芦苇位于水池中央，所以 AC为 5 尺.
在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得
AC2 + OA2 = OC2，
即 52 + x2 = (x + 1)2.
解得 x = 12.
12 + 1 = 13.
因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺.
B
O
C
A
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
例2 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 出发，沿北偏东 53° 方向走了 400 m 到达点 B，然后再沿北偏西 37° 方向走了 300 m 到达目的地 C. 求 A，C 两点之间的距离.
解析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解.
北
C
B
E
A
D
东
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
解：如图，过点 B 作 BE∥AD.
∴∠DAB = ∠ABE = 53°.
∵ 37° + ∠CBA + ∠ABE = 180°，
∴∠CBA = 90°.
∴AC = BC + AB = 300 + 400 = 500 .
∴AC = 500 m，
即 A、C 两点间的距离为 500 m.
方法总结：此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型（直角三角形）中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题.
北
C
B
E
A
D
东
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
【教材P14 习题1.3 第1题】
1. 如图（单位：cm），阴影部分是一个长方形，
它的面积是多少？
8cm
15cm
3cm
解：设直角三角形斜边长（长方形的长）为 x cm，由勾股定理得
x2 = 152＋82 = 289 = 172，x = 17，即长方形的长为 17 cm，则长方形的面积为 17×3 = 51（cm2），
即阴影长方形的面积是 51 cm2 。
【教材P15 习题1.3 第2题】
2. 如图，一座城墙高 11.7 m，墙外有一条护城河，在护城河
外距离城墙根 9 m处架一架长为 15 m 的云梯，该云梯能
否到达墙的顶端？为什么？
解：11.72 + 92 < 152，因而长 15 m的云梯可以到达墙的顶端。
3. 如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为 4 m，宽为 2.6 m。一辆卡车装满货物后，高为 3.6 m，宽为 2.4 m，它能通过该隧道吗？
【教材P15 习题1.3 第3题】
2.6
4
A
B
C
D
O
解：如图，设 O 为半圆的圆心，DB ⊥ AB，易知 OD = 2 m。
当 OC = AB = 1.3 m 时，由勾股定理，
得 CD2 = OD2－OC2 = 22－1.32 = 2.31。
因为 2.31 > 12，所以 CD > 1 m，
所以 CD + BC > 3.6 m，所以它能通过该隧道。
4. 借助勾股定理，利用升旗的绳子、卷尺，请你设计一个方案，测算出旗杆的高度。
【教材P15 习题1.3 第4题】
知识点1 勾股定理的应用
（第1题）
1.如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条
长的电缆，则地面固定点到电线杆底部 的距离为
( )
A
A. B. C. D.
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（第2题）
2.［2025西工大附中月考］如图，圆柱形杯子底面直径为
，高为。将一根长 的木棒斜放在杯子中，
设木棒露在杯子外面的长度为，则 的最小值是( )
B
A.9 B.11
C.12 D.14
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3.［教材 例题变式］ 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计
算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中 ，
于点，尺，尺。设的长度为 尺，可列
方程为____________________。
返回
4.［教材尝试·思考变式］ 如图，将长方形折叠，使点 与点
重合，折痕为，，，则的长为___ 。
9
返回
勾股定理的应用
立体图形中两点之间的最短路程问题
勾股定理的实际应用问题

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