资源简介

(共30张PPT)
北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.1.1.2勾股定理的图形验证第一章勾股定理1.1.2勾股定理的图形验证同步练习题（北师大版八年级上册）一、核心知识点梳理勾股定理的图形验证核心方法为面积法：利用同一个图形的两种不同面积计算方式，通过“面积相等”推导得出$$a^2+b^2=c^2$$。常用经典模型为赵爽弦图和美国总统伽菲尔德拼图，两种方法均无需复杂计算，通过割补、拼接、面积等量代换即可验证定理，是本节考试重点。核心原理：图形割补前后，总面积保持不变，无重叠、无空缺，利用面积恒等建立等式，化简后验证勾股定理成立。二、两种必考图形验证方法方法一：赵爽弦图（课本重点）将四个全等的直角三角形（直角边$$a、b$$，斜边$$c$$）拼成一个大正方形，大正方形边长为$$c$$，内部围成一个小正方形，边长为$$|a-b|$$。大正方形面积有两种算法：①直接算：$$c^2$$；②四个直角三角形面积+小正方形面积：$$4\times\dfrac{1}{2}ab+(a-b)^2$$。化简得：$$c^2=2ab+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2$$，定理得证。方法二：伽菲尔德拼图（梯形验证法）将两个全等直角三角形和一个等腰直角三角形拼成直角梯形。梯形上底$$a$$、下底$$b$$、高$$a+b$$。梯形总面积：$$\dfrac{1}{2}(a+b)(a+b)$$；三个三角形面积和：$$2\times\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}c^2$$。等式化简：$$\dfrac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\dfrac{1}{2}c^2$$，最终推出$$a^2+b^2=c^2$$。三、基础练习题1.填空题（1）勾股定理图形验证的核心方法是________法，依据是图形割补前后________不变。（2）赵爽弦图中，大正方形边长为直角三角形的________，内部小正方形边长为________。（3）伽菲尔德验证法利用________图形面积，两种算法等量代换证明定理。2.选择题（1）下列关于赵爽弦图验证勾股定理说法正确的是（）A.小正方形面积为$$a^2+b^2$$ B.利用周长相等推导定理C.大正方形面积等于四个直角三角形与小正方形面积和D.仅能验证特殊直角三角形（2）用面积法验证勾股定理，核心依据是（）A.三角形内角和定理B.图形面积守恒C.等式性质D.轴对称性质四、提升解答题1.利用赵爽弦图的面积推导过程，完整写出勾股定理的验证步骤。2.已知赵爽弦图中，直角三角形直角边分别为3和4，求大正方形、内部小正方形的面积。五、参考答案与解析1.填空题（1）面积、总面积；（2）斜边、$$|a-b|$$；（3）直角梯形。2.选择题（1）C解析：赵爽弦图依托大正方形面积守恒推导，适用于所有直角三角形。（2）B解析：所有图形验证勾股定理，核心均为面积守恒原理。3.解答题1.解：大正方形面积$$S=c^2$$，拼接图形面积$$S=4\times\dfrac{1}{2}ab+(a-b)^2=2ab+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2$$，面积相等得$$a^2+b^2=c^2$$，勾股定理得证。2.解：斜边$$c=\sqrt{3^2+4^2}=5$$，大正方形面积$$=5^2=25$$；小正方形边长$$=4-3=1$$，面积$$=1$$。六、易错小结本节重点规避易错点：混淆两种验证图形的边长含义；忘记面积法核心是总面积守恒；推导过程遗漏化简步骤。解题需牢记：图形验证不依靠计算数值，而是通过代数化简+面积等量代换证明定理普适性。会用割补法验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题.
经历勾股定理的验证过程，体会数形结合思想和从特殊到一般的思想.
掌握勾股定理的简单应用，培养数学语言表达能力，
发展学生分析问题、解决实际问题的能力.
问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？那么如何验证勾股定理呢？
若去掉方格纸你还能验证勾股定理吗？
1. 准备四个全等的直角三角形（设直角边分别为 a，b，斜边为 c）
2. 你能用这四个直角三角形拼成正方形吗？小组合作试一试吧！
a
b
c
探究点一： 勾股定理的验证
【活动1】
所以 a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab，
所以 a2 +b2 = c2.
证明：
因为 S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形
= 4× ab + c2
= c2 + 2ab，
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
方法一：
毕达哥拉斯证法
【点击跳转至几何画板】
探究点一： 勾股定理的验证
a
b
c
因为 S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b - a)2，
所以 S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
b- a
证明：
“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积证明了这一命题，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲！因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
方法二：
赵爽弦图
【点击跳转至几何画板】
探究点一： 勾股定理的验证
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
证法三 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2 + b2 = c2.
探究点一： 勾股定理的验证
刘徽证法
欧几里得法
据不完全统计，验证的方法有 400多种，你有自己的方法吗？
【点击跳转至几何画板】
探究点一： 勾股定理的验证
如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？
说说你的判断和理由，并与同伴进行交流.
b
a
c
b
a
c
探究点一： 勾股定理的验证
①在钝角三角形中，三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长，
则 a2 + b2 < c2；
b
a
c
b
a
c
②在锐角三角形中，
三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长，
则 a2 + b2 > c2.
S = 9
S = 25
S = 10
S = 9
S = 10
S = 13
探究点一： 勾股定理的验证
2 m
1.5 m
A
B
D
C
【活动2】 分小组讨论：一个门框的尺寸如图所示，一块长 4 m，宽 2.4 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？
为什么？
探究点二： 勾股定理的简单运用
木板从门框通过的方式
横着通过
竖着通过
斜着通过
2.4 m > l.5 m，
故横着无法通过
A
B
C
D
1.5 m
2m
A
B
C
D
1.5 m
2m
2.4 m > 2 m，
故竖着无法通过
A
B
C
D
1.5 m
2m
对角线 AC 是可斜着通过的最大长度，若 AC > 2.4m，则可以斜着通过
探究点二： 勾股定理的简单运用
2 m
1.5 m
A
B
D
C
一个门框的尺寸如图所示，一块长 4 m，宽 2.4 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
解：连接 AC，在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC2＝AB2＋BC2＝1.52＋22＝2.52.
所以 AC＝2.5 m.
因为 AC 大于木板的宽 2.4 m，
所以木板能从门框内通过.
探究点二： 勾股定理的简单运用
例1 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路 400 m 处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶. 他用红外测距仪测得汽车与他相距 400 m；过了 10 s，测得汽车与他相距 500 m. 你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？
分析：你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？
探究点二： 勾股定理的简单运用
公路
B
C
A
400 m
500 m
解：根据题意，可以画出图，其中点 A 表示王叔叔所在位置，点 C、点 B 表示两个时刻蓝方汽车的位置.
由于王叔叔距离公路 400 m，因此∠C 是直角.
由勾股定理，可得
AB2 = BC2 + AC2，
也就是 5002 = BC2 + 4002，
所以 BC = 300.
蓝方汽车 10 s 行驶了 300 m，
那么它 1 s 行驶的距离为
300÷10 = 30 (m)，
即蓝方汽车这10 s 的平均速度为 30 km/h.
探究点二： 勾股定理的简单运用
【教材P8 习题1.1 第1题】
1. 求出图中直角三角形未知边的长度。
y2 = 132 - 52 = 144
y = 12
2. 求斜边长为 17 cm、一条直角边长为 15 cm 的直角三角形的面积。
【教材P8 习题1.1 第2题】
解：如图，在Rt△ABC中，
AB=17cm，BC=15cm，
由勾股定理得AC2=AB2－BC2=172－152 = 64，即AC=8cm，S△ABC= BC·AC=60(cm2)。
【教材P8 习题1.1 第3题】
3.如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面 3 m 处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部 4 m 处。旗杆折断之前有多高？
解：如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 m，BC = 4 m。
由勾股定理得AB2 = AC2 + BC2 = 25，即 AB = 5 m，
旗杆的高度 AC +AB = 3 + 5 = 8（m），
即旗杆折断之前有 8 m 高。
A
C
B
4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，尝试给出两种以上的方案。
【教材P8 习题1.1 第4题】
S①= S ③ + S ④
S ① = S ⑦ + S ⑨ + S ⑧ + S ⑩
5. 请用如图所示的图形验证勾股定理，并说一说这一方法与课堂上的方法之间的联系。
【教材P8 习题1.1 第5题】
6. 如图（单位：cm），求等腰三角形 ABC 的面积。
【教材P9 习题1.1 第6题】
解：过点C作AB边上的高，由“三线合一”和勾股定理可求得高为 4 cm，所以等腰三角形ABC 的面积为 12 cm2。
5
5
6
7. 如图，某储藏室入口的截面是一个半径为 1.2 m 的半圆形，一个长、宽、高分别是 1.2 m，1 m，0.8 m 的箱子能放进储藏室吗？
解：能放进储藏室，
因为 0.82 + 0.52 < 1.22。
【教材P9 习题1.1 第7题】
【教材P9 习题1.1 第8题】
8. 在一张纸上复制四个全等的直角三角形，并将四个三角形剪下来，通过拼图的方法验证勾股定理。你有哪些方法？说说你的方法与课堂上的方法之间有什么联系与区别。
知识点1 勾股定理的验证
1.勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一.下列图形中可以证明勾股定理的有(　　)
A.①③　　
B.②③　　
C.②④　　
D.①④
返回
D
2.［2026南京期中］如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，点E为AC上一点，连接BE，DE，DE的延长线交AB于点F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°.
(1)试说明：DF⊥AB.
返回
【解】因为AC⊥BD，∠CAD＝45°，所以易得△ACD为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°.所以AC＝DC.又因为AB＝DE，所以AB2－AC2＝DE2－DC2，所以BC2＝EC2，所以BC＝EC，所以△ABC≌△DEC.所以∠BAC＝∠EDC.又因为∠EDC＋∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，所以∠AEF＋∠BAC＝90°，所以∠AFE＝90°，所以DF⊥AB.
返回
(2)利用图中阴影部分的面积完成勾股定理的验证.已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，试说明：a2＋b2＝c2.
返回
【解】因为S△BCE＋S△ACD＝S△ABD－S△ABE，DE＝AB＝c，CE＝BC＝a，AC＝CD＝b，所以a2＋b2＝ c DF－ c EF＝ c (DF－EF)＝ c DE＝c2，所以a2＋b2＝c2.
知识点2 勾股定理的应用
3. 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈(如图，1丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，竹梢抵地处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为(　　)
A.4.55尺　　
B.5.45尺　　
C.4.2尺　　
D.5.8尺
返回
C
4.如图，已知钓鱼竿AC的长为10 m，露在水上的鱼线BC长为6 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′的长度为8 m，若A，B，B′三点在同一直线上，则BB′的长为(　　)
A.4 m　　
B.3 m　　
C.2 m　　
D.1 m
返回
(第4题)
C
探索勾股定理
勾股定理的验证
勾股定理的简单运用

展开更多......

收起↑