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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.1.2实数及相关概念第二章实数2.1.2实数及相关概念精讲复习（北师大版八年级上册）一、实数的完整定义与分类有理数和无理数统称为实数，实数是初中阶段最大的数集，所有实数都可以在数轴上表示。1.按定义分类实数分为两大类：有理数、无理数。有理数包含整数和分数，可化为有限小数或无限循环小数；无理数为无限不循环小数，无法化成分数形式。2.按正负性质分类实数可分为正实数、0、负实数。0是特殊的有理数，既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点。二、实数与数轴（核心必考）实数与数轴上的点一一对应，这是实数区别于有理数的核心性质。1.任意一个实数，都能在数轴上找到唯一对应的点；2.数轴上任意一个点，都对应唯一的实数；3.数轴上数的大小规律：右边的数总比左边的数大，即：正实数＞0＞负实数。三、实数的三大核心相关概念有理数的相反数、绝对值、倒数性质，全部适用于实数范围，无理数同样具备对应性质。1.相反数定义：只有符号不同的两个实数互为相反数。实数$$a$$的相反数是$$-a$$。核心性质：互为相反数的两个数和为0，即若$$a$$、$$b$$互为相反数，则$$a+b=0$$；0的相反数是0。示例：$$\sqrt{3}$$的相反数是$$-\sqrt{3}$$，$$\pi$$的相反数是$$-\pi$$。2.绝对值定义：数轴上表示实数$$a$$的点与原点的距离，叫做数$$a$$的绝对值，记作$$|a|$$。绝对值法则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。公式：$$|a|=\begin{cases}a & (a>0) \\ 0 & (a=0) \\ -a & (a<0)\end{cases}$$核心性质：任意实数的绝对值都是非负数，即$$|a|\ge0$$。示例：$$|\sqrt{5}|=\sqrt{5}$$，$$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$$。3.倒数定义：乘积为1的两个实数互为倒数。非零实数$$a$$的倒数是$$\dfrac{1}{a}$$。核心注意：0没有倒数，任意无理数不为0，均存在倒数。示例：$$\sqrt{2}$$的倒数是$$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$（可化简为$$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$）。四、实数的大小比较1.数轴比较法：数轴右侧的实数始终大于左侧的实数；2.符号比较法：正实数＞0＞负实数，两个负实数比较，绝对值大的数更小；3.平方比较法（适用于正无理数）：两个正数比较，平方越大，原数越大。五、高频易错点1.无理数也有相反数、绝对值、倒数，并非只有有理数具备相关概念；2.绝对值一定是非负数，不存在负的绝对值；3. 0无倒数，切勿混淆倒数和相反数的性质；4.只有实数与数轴点一一对应，有理数无法完全对应数轴所有点。六、本节核心总结1.实数包含有理数和无理数，涵盖初中所有数系；2.实数与数轴一一对应，是实数最核心的特征；3.相反数、绝对值、倒数的性质对全体实数成立；4.实数大小比较可通用数轴法、符号法、平方比较法。了解无理数的概念，会判断一个数是不是无理数.
了解实数的概念，类比有理数，能按要求对实数进行分类.
了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值.
问题 不是有理数的数都是无限不循环小数吗
把下列有理数表示成小数，你发现了什么共同特征
3，，，-，.
它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式.
3=3.0，=0.8， =0.5，- =0.17， =0.18.
.
.
. .
探究点一：实数的概念及分类
活动1：请你把下面各数填入下面相应的集合内。
0.373 773 777 3···
(相邻两个 3 之间的 7 的个数逐次加 1)。
有理数集合
无理数集合
．．．
．．．
0.373 773 777 3···
(相邻两个 3 之间的 7 的个数逐次加 1)
【知识要点】有理数和无理数统称实数，即实数可以分为有理数和无理数。
探究点一：实数的概念及分类
问题1：你能仿照有理数的分类给实数分类吗
无理数：
无限不循环小数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实 数
分数
整数
1. 按定义分类
探究点一：实数的概念及分类
无理数和有理数一样，也有正、负之分.
思考：(1) 请你把下面各数填入下面相应的集合内.
负数集合
正数集合
···
···
3.14，- ，0.57，0.1010001000001…（相邻两个 1
之间 0 的个数逐次加 2）。
. .
3.14，
0.57
. .
0.1010001000001…
-
(相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2)
探究点一：实数的概念及分类
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
2. 按符号分类
0
正无理数
负无理数
(2) 实数还可以怎样分类
【总结】实数分类的原则是：按照同一标准，不重不漏
探究点一：实数的概念及分类
π - 3.14 的绝对值是 π - 3.14.
探究点二：实数的性质
问题2：0.3 的相反数是什么 的倒数是什么
π - 3.14 的绝对值是什么
·
根据以上问题，总结归纳出在实数 a 中，数 a 的相反数 绝对值是什么 当 a 不为 0 时，它的倒数是什么
0.3 的相反数是 ，
·
－0.3
·
的倒数是－4，
2. a 是一个实数，它的相反数为 ，
【要点归纳】
1. 在实数范围内与有理数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
绝对值为 。
倒数是 (a≠0) ，
-a
| a |
探究点二：实数的性质
思考：在有理数范围内，能进行哪些运算？判断下列各式是否成立。
2×π× = 2××π
2×π + 3×π = (2 + 3)×π
π×2 = 2×π
【总结】有理数的运算及运算律对实数仍然适用。
探究点二：实数的性质
探究点三：实数与数轴上的点的对应关系
思考：每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？
从图中可以看出，OO′ 的长是这个圆的周长 π，所以 O′ 对应的数是 π.
0
-2
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
O′
O
画一个直径 1 个单位长度的圆，它的周长等于 π. 如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点 O 到达点 O′，点 O′ 对应的数是多少？
活动2：画一画
探究点三：实数与数轴上的点的对应关系
(1) 如图，OA = OB，数轴上点 A 对应的数是 a，b 中的哪一个？
－2
－1
0
1
2
A
B
O
【思考·交流】上节课讨论的两个正方形，边长分别是 a，b，且满足 a = 2，b = 5。
A 点对应的为 a .
探究点三：实数与数轴上的点的对应关系
(2) 你能在数轴上找到另一个对应的点吗？
－2
－1
0
1
2
1
C
D
O
C 点对应的即为 b .
探究点三：实数与数轴上的点的对应关系
1.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.
实数和数轴上的点是一一对应的.
2. 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
【要点归纳】
探究点三：实数与数轴上的点的对应关系
例1 有一组实数：①-|-3|； ④ 3.14，⑤ 0；⑥ 21% ；⑦ 0.8，⑧ 3.131 331··· ( 每相邻两个1之间的 3 的个数依次增加 1 ) 。将它们分类，把相应的序号填在横线内：
·
② ；
整数：_________ ；
负有理数：________ ；无理数：_________ ；
分数：___________ .
①③
②⑧
①⑤
③④⑥⑦
探究点三：实数与数轴上的点的对应关系
例2 数轴上 A，B 两点表示的数分别为 π 和 5.1，则 A，B 两点之间表示整数的点共有 (　 )
A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个
解析：∵ π ≈ 3.14，∴ π 和 5.1 之间的整数是 4，5.
C
∴ A ，B 两点之间表示整数的点共有 2 个．
探究点三：实数与数轴上的点的对应关系
1. 下列五个数：，2.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数依次加1)，－π，－0.5，3.14，其中无理数有
(　　)
A.1个　　 B.2个　　
C.3个　　 D.4个
返回
B
知识点1 无理数的概念
2.如图是由16个边长为1的小正方形组成的，连接这些小正方形的若干个顶点，得到5条线段CA，CB，CD，CE，CF，其中长度是无理数的有(　　)
A.1条　　
B.2条
C.3条　　
D.4条
返回
C
3. 若m是无理数，且1＜m＜2，则m的值可以
是　　 　　.
返回
(答案不唯一)
知识点2 实数及其分类
4.下列说法：
①实数包括有理数、无理数和0；②无限不循环小数叫作无理数；③正实数和负实数统称为实数；④实数既是有理数又是无理数.
其中正确的有(　　)
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
返回
A
5.把下列各数的序号填在相应的集合里：
①7；②－2.6；③－；④｜－2｜；⑤0.6；⑥－；⑦3；
⑧0.303 003 000 3… (相邻两个3之间依次多一个0)；⑨3.14.
整数集合：{　　　…}；
负分数集合：{　　　　…}；
无理数集合：{　　　…}.
返回
①④
②⑥⑦
③⑧
知识点3 实数的性质
6. 下列比较大小正确的是(　　)
A.｜－1.5｜＞1.　　 B.＞0.667
C.π＜3.142　　 D.π＝3.141 592 6
返回
C
7.3－π的绝对值是　　　　，的倒数是　　，π－3.14的相反数是　　　　.
返回
π－3
π
3.14－π
实数
有理数和无理数统称实数
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样
实数与数轴上的点一一对应

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