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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.2.1算术平方根第二章实数2.2.1算术平方根精讲复习（北师大版八年级上册）一、算术平方根的定义一般地，如果一个正数x的平方等于$$a$$，即$$x^2=a$$，那么这个正数x就叫做$$a$$的算术平方根。记作：$$x=\sqrt{a}$$，读作“根号a”。特别规定：0的算术平方根是0，即$$\sqrt{0}=0$$。前提条件（必考）：只有非负数才有算术平方根，即被开方数$$a\ge0$$，负数没有算术平方根。二、核心性质（本节重中之重）1.双重非负性算术平方根具备初中数学最核心的双重非负性：①被开方数非负：$$a\ge0$$②结果非负：$$\sqrt{a}\ge0$$只要出现$$\sqrt{a}$$，默认$$a\ge0$$，且计算结果一定大于或等于0。2.基础公式（1）$$(\sqrt{a})^2=a\ \ (a\ge0)$$（2）$$\sqrt{a^2}=|a|$$（易错高频）区别：带括号先开方再平方，直接去根号先平方再开方，结果必须加绝对值。三、常见算术平方根（必须熟记）$$\sqrt{1}=1，\sqrt{4}=2，\sqrt{9}=3，\sqrt{16}=4，\sqrt{25}=5$$$$\sqrt{36}=6，\sqrt{49}=7，\sqrt{64}=8，\sqrt{81}=9，\sqrt{100}=10$$熟记完全平方数，是快速求解算术平方根的基础。四、基础例题精讲例1求下列各数的算术平方根（1）121（2）0.36（3）$$\dfrac{9}{16}$$解：（1）因为$$11^2=121$$，所以121的算术平方根是11，即$$\sqrt{121}=11$$；（2）因为$$0.6^2=0.36$$，所以0.36的算术平方根是0.6，即$$\sqrt{0.36}=0.6$$；（3）因为$$\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{9}{16}$$，所以$$\dfrac{9}{16}$$的算术平方根是$$\dfrac{3}{4}$$。例2利用非负性求值若$$\sqrt{x-2}+|y+3|=0$$，求$$x、y$$的值。解：因为$$\sqrt{x-2}\ge0，|y+3|\ge0$$，两个非负数相加为0，只能各自为0。所以$$x-2=0，y+3=0$$，得$$x=2，y=-3$$。口诀：非负相加为0，各自归零。五、高频易错点1.混淆算术平方根与平方根：算术平方根只有一个，且一定是非负数；2.负数没有算术平方根，出现$$\sqrt{负数}$$无意义；3. $$\sqrt{a^2}=a$$是错误的，必须是$$\sqrt{a^2}=|a|$$；4.审题不清：求“某数的算术平方根”和“化简根号”容易漏解、错号。六、本节核心总结1.算术平方根：唯一、非负，0的算术平方根为0；2.双重非负性：被开方数≥0，根式结果≥0；3.两大公式分清：$$(\sqrt{a})^2=a$$、$$\sqrt{a^2}=|a|$$；4.非负数和为0，每个非负数单独等于0。了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根，知道0的算术平方根是0；
了解算术平方根的非负性.
了解并掌握算术平方根的双重非负性，并利用这一性质进行运算，培养应用能力和运算能力.
正方形的面积/dm2 1 9 16 36
边长/dm
1
3
4
6
活动1：计算下表中各正方形的边长：
问题1：各正方形的边长与面积之间有什么关系？
问题2：以上数据中，面积和边长的大小有什么特点？
正方形的边长的平方等于面积值。
面积越大，边长越大。
x2 = ，
y2 = ，
z2 = ，
w2 = ．
活动2：(1) 结合图形完成填空：
x2 = 12 + 12
2
3
4
5
y2 = x2 + 12
z2 = y2 + 12
w2 = z2 + 12
探究点一： 算术平方根的概念和性质
(2) x，y，z，w 中哪些是有理数，哪些是无理数
z 是有理数，
x、y、w 是无理数.
O
A
B
C
D
E
x
y
z
w
1
1
1
1
这些无理数又该如何表示呢？
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫作 a 的算术平方根
算术平方根
特别地，我们规定：0 的算术平方根是 0，即 。
记作：
根号
被开方数
a≥0
读作：根号 a
探究点一： 算术平方根的概念和性质
1. 一个正数的算术平方根有几个？
0 的算术平方根有一个，是 0.
2. 0 的算术平方有几个？
负数没有算术平方根.
3. -1 有算术平方根吗？负数有算术平方根
一个正数的算术平方根有 1 个.
正数的平方不可能是负数.
【思考·交流】
探究点一： 算术平方根的概念和性质
探究点一： 算术平方根的概念和性质
基本条件：
数的角度：
关系的角度：
形的角度：
怎么理解
(a≥0 ， ).
是一个非负数.
的平方是 a；
是 a 的算术平方根；
不计入 0， 是一个面积为正数 a 的正方形的边长.
算术平方根具有双重非负性.
解：(1) 因为 302 ＝ 900， 所以 900 的算术平方根是 30，即 ；
(2) 因为 12 ＝ 1， 所以 1 的算术平方根是 1，即 ；
(3) 因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ；
(4) 14 的算术平方根是 。
例1 求下列各数的算术平方根：
(1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14．
探究点一： 算术平方根的概念和性质
【练一练】1. 计算:
5
0
4
6
1.3
10-4
( 4 )2
( 10-4 )2
观察例1中得到的几个式子：
(1) 一些数的算术平方根的结果没有“ ”了，这些数有什么特点
(2) 在上面的式子中， ，也就是
一般地，当 a≥0 时， 成立吗
= a
这些数都可以化成 a2 的形式。
成立。
探究点一： 算术平方根的概念和性质
( )2 = a
(3) 成立吗 这里的 a 是什么数 你是怎么理解的 与同伴进行交流.
成立，这里的 a 是非负数。
探究点一： 算术平方根的概念和性质
想一想：a＜0 时， 还成立吗
= a
不成立。如
a＜0 时，
【要点归纳】
当 a＜0 时， = -a.
当 a≥0 时， = a， 2= a ；
想一想：如何化简 呢？
=
(a≥0)；
(a＜0).
= | a |
a
-a
议一议：如何区别 与 ？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方，后平方
先平方，后开方
a≥0
a 取任意实数
a
| a |
例2 若 |m - 1| + = 0，求 m + n 的值.
解：因为 |m - 1|≥0， ≥0，又 |m - 1| + = 0，
所以 |m - 1| = 0， = 0. 所以 m = 1，n = -3.
所以 m + n = 1 + (-3) = -2.
几个非负式的和为 0，则每个式子均为 0，现阶段学过的非负式有绝对值、平方式及算术平方根.
总结
活动3：用一根绳子围成一个长、宽之比为 3∶1，面积为 75 cm 的长方形 (如图①). 你能求出求长方形的长和宽吗？
图①
解：设长方形的长为 3x cm，宽为 x cm.
根据边长与面积的关系得 3x · x = 75，
即 x = 25.
由边长的实际意义，得 x = 5.
因此长方形的长为 15 cm，宽为 5 cm.
探究点二：算术平方根的简单应用
探究点二：算术平方根的简单应用
问题2：用另一根绳子围成一个正方形（如图②），且正方形的面积等于原来围成的长方形的面积，你能求出正方形的边长吗？
图②
解：由正方形的面积为 75 cm 易知，正方形的边长为 cm.
例3 自由下落物体下落的距离 h (米)与下落时间 t (秒)的关系为 ．有一铁球从 19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解：将 h＝19.6 代入公式，得
，
即 ，
所以 .
即铁球到达地面需要 2 秒.
1. 求下列各数的算术平方根：
随堂练习
【教材P32 随堂练习 第1题】
36， ，17 ，0.81，10－4.
9
16
2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 3，AC = 5，
求 AB 的长.
C
B
A
3
5
解：根据勾股定理得
AB = .
3.如图，从帐篷支撑杆 AB 的顶部 A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷. 若绳子的长度为 8 m，地面固定点 C 到帐篷支撑杆底部 B 的距离是 6.4 m，则帐篷支撑杆的高是多少？
解：AC = 8m，BC = 6.4m，
根据勾股定理得 AB = ，
得 AB = = 4.8（m），
即帐篷支撑杆的高是 4.8 m.
1. 填空题.
（1）若一个数的算术平方根是 ，则这个数是 .
（2） 的算术平方根是 .
（3）正数 的平方为 ， 算术平方根为 .
（3）(－1.44)2 的算术平方根为 .
5
1.44
运用新知，深化理解
2. 求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：
（1）(7.4)2；（2）(－3.9)2；（3）3.25；（4）2 .
1
4
知识点1 算术平方根
1.如果m没有算术平方根，那么m可以是(　　)
A.－52　　 B.｜－5｜　　
C.(－5)2　　 D.－(－5)
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A
2.下列说法中不正确的有(　　)
①任何数都有算术平方根；
②一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1；
③a2的算术平方根是a；
④(3.14－π)2的算术平方根是3.14－π；
⑤算术平方根不可能是负数.
A.2个　　B.3个　　C.4个　　D.5个
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C
3. (1)10－6的算术平方根是　　　　；
(2)的算术平方根是　　　　.
返回
10－3
本题易误认为是求的算术平方根而出错，遇到类似求的算术平方根时，要先开方，再对开方后的数求其算术平方根.
4.［2026扬州期中］已知是2a－1的算术平方根，3是3a＋2b－3的算术平方根，则a＋2b的算术平方根是　　　　.
返回
【点拨】因为是2a－1的算术平方根，所以2a－1＝5，解得a＝3.因为3是3a＋2b－3的算术平方根，所以3a＋2b－3＝9，解得b＝，所以a＋2b＝6，所以a＋2b的算术平方根为.
知识点2 算术平方根的非负性
5.［2026杭州萧山区期中］若(x＋5)2＋｜y－2｜＋＝0，则x＋y＋z的值为(　　)
A.0 　　 B.－6 　　
C.－4 　　 D.2
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B
几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0.
6.已知y＝＋－3，则2xy的值为(　　)
A.－15　　 B.15　　
C.－　　 D.
返回
A
7.当a＝　　　　时，代数式 －3有最小值　　　　.
返回
－
－3
算术平方根
定义
表示
特征
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个正数 x 就叫作 a 的算术平方根，记作________.
非负数 a 的算术平方根记作“_______”.读作“_______”，其中 a 叫作___________
正数 a 的算术平方根是_______；0 算术平方根是_______；
负数没有算术平方根
x2 = a
根号 a
被开方数
0

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