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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.2.2平方根第二章实数2.2.2平方根精讲复习（北师大版八年级上册）一、平方根的定义一般地，如果一个数$$x$$的平方等于$$a$$，即$$x^2=a$$，那么这个数$$x$$就叫做$$a$$的平方根（也叫二次方根）。核心区别于算术平方根：求平方根允许正负两个值，不只是正数。表示方法：正数$$a$$的平方根记作$$\pm\sqrt{a}$$。二、平方根的存在条件与性质1.正数有两个平方根，它们互为相反数，一正一负；2. 0只有一个平方根，就是0本身；3.负数没有平方根（任何实数的平方都非负，不可能为负数）。结论：只有非负数才有平方根。三、平方根与算术平方根的关系（必考对比）若正数$$a$$的算术平方根为$$\sqrt{a}$$，则它的两个平方根为$$\sqrt{a}$$和$$-\sqrt{a}$$。简单总结：1.算术平方根：只有一个，恒为非负数（取正根）；2.平方根：一般两个，互为相反数（一正一负）；3. 0的平方根和算术平方根都是0，二者相等。四、平方根核心公式1. $$(\sqrt{a})^2=a\ \ (a\ge0)$$2. $$\sqrt{a^2}=|a|$$3.若$$x^2=a$$，则$$x=\pm\sqrt{a}\ \ (a\ge0)$$五、基础例题精讲例1求下列各数的平方根（1）64（2）0.49（3）$$\dfrac{25}{36}$$解：（1）因为$$(\pm8)^2=64$$，所以64的平方根是$$\pm8$$；（2）因为$$(\pm0.7)^2=0.49$$，所以0.49的平方根是$$\pm0.7$$；（3）因为$$\left(\pm\dfrac{5}{6}\right)^2=\dfrac{25}{36}$$，所以$$\dfrac{25}{36}$$的平方根是$$\pm\dfrac{5}{6}$$。例2已知平方根求未知数已知一个正数的平方根是$$2x-1$$和$$x-5$$，求这个正数。解：正数的两个平方根互为相反数，相加和为0。$$(2x-1)+(x-5)=0$$，解得$$3x-6=0，x=2$$。两个平方根分别为：$$3$$和$$-3$$，所以这个正数为$$3^2=9$$。六、高频易错点（考试重灾区）1.审题看错：问“平方根”必须写$$\pm$$，问“算术平方根”只写正数；2.误认为任何数都有平方根，负数无平方根、无意义；3.求一个正数的平方根只写正数，漏写负根导致直接扣分；4.混淆式子含义：$$\sqrt{a}$$表示算术平方根（非负），$$\pm\sqrt{a}$$才是平方根。七、本节核心总结1.正数平方根两个、互为相反数；0的平方根为0；负数无平方根；2.根号√本身自带非负，单独根号只表示算术平方根；3.已知一个正数的两个平方根，可利用互为相反数、和为0列方程解题；4.做题口诀：问算术只取正，问平方根正负全。学会进行开平方运算.
能够求一个数的平方根.
会利用平方和开方的互逆关系求某些非负数的平方根，对一些特殊的数及其平方根形成记忆。
上节课我们学习了算术平方根的概念、性质.知道若一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a. 则 x叫 a 的算术平方根，记作 x = ，而且 a 也是
非负数.
复习旧知，导入新课
正数 22 = 4，则 2 叫作 4 的算术平方根，4 叫 2 的平方.
思考：若 (－2)2 = 4，则 －2 叫 4 的什么呢？
请大家思考下面两个问题.
思考探究，获取新知
（1）3 的平方是 9，还有其他数的平方也是 9 吗？
32 = 9
(－3)2 = 9
想一想： 3和－3有什么特征？
互为相反数，3 和 －3 一起叫作 ±3.
思考探究，获取新知
（2）平方等于 的数有几个？
平方等于 0.64 的数呢？
一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的平方根，也叫作二次方根.
结 论
9 的平方根：
的平方根：
请大家思考下面的问题：
（1）一个正数有几个平方根？
（2）0 有几个平方根？
（3）负数呢？
一个正数有两个平方根；
0 只有一个平方根，是 0 本身；
负数没有平方根.
尝试·思考
正数 a 有两个平方根，一个是 a 的算术平方根 ，另一个是 ，它们互为相反数. 这两个平方根合起来
可以记作
求一个数 a 的平方根的运算，叫作开平方，a 叫作被开方数.
±
（a是非负数）
→根号
→被开方数
读作：正、负根号a
观察下图，你发现了什么？
+1
－1
+2
－2
+3
－3
1
4
9
+1
－1
+2
－2
+3
－3
平方
开平方
平方和开平方互为逆运算
类别 名称 平方根 算术平方根
区别 定义不同 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平方根（也叫作二次方根） 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根
个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个
表示方法不同 非负数a的平方根表示为± 非负数a的算术平方根表示为
结果不同 正数的平方根是一正一负， 互为相反数 正数的算术平方根一定是正数
联系 具有包含关系 平方根包含了算术平方根，一个正数的算术平方根是它的平方根中正的那个 存在条件相同 被开方数为非负数，0的平方根与算数平方根都是0 求下列各数的平方根：
例 3
（1）64；（2） ；（3）0.0004；（4）(－25)2；（5）11。
49
121
解：（1）因为 ，所以 64 的平方根是 ，
即 ；
（2）因为 ，所以 的平方根是 ，
即 ；
求下列各数的平方根：
例 3
（1）64；（2） ；（3）0.0004；（4）(－25)2；（5）11。
49
121
（3）因为 ，所以 0.0004 的平方根是±0.02，即 ；
（4）因为 ，所以(－25)2 的平方根是±25，即 ；
求下列各数的平方根：
例 3
（1）64；（2） ；（3）0.0004；（4）(－25)2；（5）11。
49
121
（5）11 的平方根是 .
求下列各式的值：
例 4
（1） ；（2） ；（3） 。
解：（1） ；
（2） ；
（3） 。
1. “4的平方根是±2”用数学式子表示正确的是
(　B　)
A. ＝±2 B. ± ＝±2
C. ＝2 D. － ＝－2
B
2. 的平方根是(　C　)
A. B. － C. ± D. 3
C
3. (1) 49 的平方根是 ；
(2) 0.25 的平方根是 .
4. (1) 若 4x2＝1，则x＝ ；
(2) 若 100x2－9＝0，则x＝ .
±7　
±0.5　
± 　
± 　
5. 一个正数的两个平方根分别是2a＋4和a－10，
求这个数.解得a＝1.1)2＝(2＋1)2＝9.
解：由于一个正数的两个平方根分别是 2a＋4 和 a－10，
则有 2a＋4＋a－10＝0，
即 3a－6＝0，解得a＝2.
所以这个数为 (2a＋4)2＝(2×2＋4)2＝64.
知识点1 平方根的定义及性质
1.2的平方根是(　　)
A.±　　 B.　　
C.－　　 D.
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A
2.下列关于平方根的说法：
①正数的平方根是正数； ②－1的平方根是－1；
③的平方根是±4； ④非负数a的平方根是非负数；
⑤－m是m2的一个平方根； ⑥n2的平方根是n.
其中正确的有(　　)
A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个
返回
A
3.下列各数：0，，a2＋1，－2，－(－5)2，｜a－1｜，｜a｜－1，，a2－2a＋1，－a，a2－6，其中一定有平方根的数有　　　　个.
返回
6
4.若2a－3的平方根是它本身，则a2＋1的值是　　　　 .
返回
5. 已知a－1和5－2a都是非负数m的平方根，求m的值.
佳佳的解题过程如下：
解：因为a－1和5－2a都是非负数m的平方根，
所以a－1＋5－2a＝0，解得a＝4，
所以a－1＝3，所以m的值为9.
请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由.
返回
【解】佳佳的解题过程不正确，理由如下：
因为a－1和5－2a是非负数m的平方根，
所以当a－1＋5－2a＝0时，解得a＝4，
所以a－1＝3，所以m的值为9；
当a－1＝5－2a时，解得a＝2，所以a－1＝1，
所以m的值为1.
综上所述，m的值为1或9.
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课堂小结
平方根的性质
平方根的表示方法
正数 a 有两个平方根：“ ”（a的算术平方根）和“ ”. 它们互为相反数，合起来可以记作“± ”，
读作“正、负根号 a”.
一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，是 0 本身；负数没有平方根.

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