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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.2.4估算第二章实数2.3.2估算精讲复习（北师大版八年级上册）一、估算的核心意义对于开方开不尽的平方根、立方根，无法得到精确值，我们可以通过夹值法确定无理数的大致取值范围、整数部分、小数部分，这种方法叫做估算。估算是实数大小比较、无理数取值判断的核心方法。二、平方根估算方法（平方夹值法）适用题型：估算$$\sqrt{a}$$（$$a$$非完全平方数）的大小、取值范围、整数部分。解题步骤：1.找到与被开方数$$a$$相邻的两个完全平方数；2.对两个完全平方数同时开平方，确定$$\sqrt{a}$$的取值区间；3.较小数的算术平方根为下界，较大数的算术平方根为上界。口诀：找相邻平方，左右夹逼定范围$$\sqrt{13}$$例题：估算的取值范围解：∵ $$9<13<16$$，即$$3^2&lt;13&lt;4^2$$∴ $$3<\sqrt{13}<4$$可得：$$\sqrt{13}$$的整数部分是3，小数部分是$$\sqrt{13}-3$$。三、立方根估算方法（立方夹值法）适用题型：估算$$\sqrt[3]{a}$$的大小、取值范围。解题步骤：1.找到与被开方数$$a$$相邻的两个完全立方数；2.同时开立方，锁定立方根的取值区间；3.负数立方根估算，符号跟随原数，先估算正数再添符号。$$\sqrt[3]{50}$$例题：估算的取值范围解：∵ $$27<50<64$$，即$$3^3<50<4^3$$∴ $$3<\sqrt[3]{50}<4$$$$\sqrt[3]{50}$$整数部分为3，小数部分为$$\sqrt[3]{50}-3$$。四、无理数整数部分与小数部分（必考题型）通用公式：1.无理数=整数部分+小数部分2.小数部分=原无理数 整数部分注意：小数部分一定是大于等于0且小于1的数。例题：求$$\sqrt{23}$$的整数部分和小数部分。解：$$16<23<25$$，$$4&lt;\sqrt{23}&lt;5$$整数部分：4，小数部分：$$\sqrt{23}-4$$。五、利用估算比较实数大小1.同号无理数比较：通过估算取值范围，直接判断大小；2.无理数与有理数比较：将有理数转化为根号形式，再夹值对比；3.两个根式比较：正数范围内，被开方数越大，算术平方根、立方根越大。$$\sqrt{17}$$例题：比较与4.2的大小解：$$4.2^2=17.64$$，∵ $$17<17.64$$，∴ $$\sqrt{17}<4.2$$。六、高频易错点1.求小数部分直接写原数，忘记减去整数部分，是考试最大扣分点；2.负数无理数估算出错，负数整数部分为负整数，小数部分仍为正数；3.混淆平方、立方相邻数，找错夹值区间；4.比较大小时不估算，主观判断导致大小关系颠倒。七、本节核心总结1.平方根估算找相邻完全平方数，立方根估算找相邻完全立方数；2.先定区间，再找整数部分，最后求小数部分；3.小数部分恒非负，公式：小数部分=无理数 整数部分；4.估算可快速解决无理数取值、大小比较两类核心题型。能通过估算检验计算结果的合理性，能用有理数估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小；
会用计算器求平方根和立方根，并能探求数学中的规律.
能通过估算比较两个数的大小，体会估算在实际生活中的意义和应用.
例： 估算 的大小
创设情境，导入新课
估算一个根号表示的无理数：
夹逼法
在日常生活中，往往要遇到估算一个比较大的数的平方根或立方根，我们怎么办呢？
因为 4.42 = 19.36，
4.52 = 20.25，
所以 4.4 < < 4.5.
某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400 000 m2.
思考探究，获取新知
S = 400000
x
2x
（1）公园的宽大约是多少？
解：设公园的宽大约为 x 米，由题意得
2x2 = 400000
x =
它有 1000 m 吗？
怎么比较 和1000的大小关系
公园的宽大约几百米宽，没有 1000 米.
（2）如果要求结果精确到 10 m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流.
某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400 000 m2.
S = 400000
x
2x
解：因为 4472 = 199809，4502 = 202500，
199809 < 200000 < 202500，
所以447 < 公园的宽 < 450，
所以公园的宽大约是 450 米.
估算到个位上的数字
（四舍五入）
（3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800 m2，你能估计它的半径吗（结果精确到 1 m）？
某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400 000 m2.
S = 400000
x
2x
解：设圆形花圃的半径是 r m.
则有 πr2 = 800，得
因为 15.52 = 240.25，162 = 256，
所以 240.25 < < 256.
所以 15.5 < r < 16.
所以花圃的半径大约是 16 m.
方法总结：
估算出所给无理数的近似值，再比较.
1
根据所要求的精确度，四舍五入确定最终估值.
2
估算运用夹逼法，两边同时去逼近，
逐级确定其数值，四舍五入精确位.
因为 0.62 = 0.36，
0.72 = 0.49，
所以 0.6 < < 0.7.
（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？
思考·交流
因为 103 = 1000，
900 < 1000，
所以 < 10.
（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？
思考·交流
因为502 = 2500，
512 = 2601
所以 50 < < 51.
（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？
思考·交流
（2）你能估算 的大小吗？（结果精确到 1）
解：因为 9.53 = 857.375，
103 = 1000，
所以 9.5 < < 10，
所以 ≈ 10.
小试身手
生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定.现有一架长度为 6 m 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到 5.6 m 高的墙头吗？
例7
解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为 x m，此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的 ，根据勾股定理，有
即
因为 5.62 = 31.36 < 32，所以
因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能够抵达5.6 m 高的墙头.
尝试·思考
（1）观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键？利用计算器求下列各式的值（结果精确到 0.0001）：① ；② 。
尝试·思考
（1）观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键？利用计算器求下列各式的值（结果精确到 0.0001）：① ；② 。
（2）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开平方次数的增加，你发现了什么？改用另一个小于 1 的正数试一试，看看是否仍有类似的规律。
取 a = 106 = 1 000 000
第 1 次开平方
第 2 次开平方
第 3 次开平方
第 4 次开平方
第 5 次开平方
（2）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开平方次数的增加，你发现了什么？改用另一个小于 1 的正数试一试，看看是否仍有类似的规律。
取 a = 10－4 = 0.0001
第 1 次开平方
第 2 次开平方
第 3 次开平方
第 4 次开平方
第 5 次开平方
无论是很大的正数还是小于 1 的正数，最终结果都会趋近于 1。
在空白处填写“>”、“<”或“=”，观察并总结规律.
1 < 2 < 3 < 4 < 5
12 _____ 22 _____ 32 _____ 42 _____ 52
_____ _____ _____ _____
1
4
9
16
25
<
<
<
<
1
2
3
4
5
<
<
<
<
若0<
<
两个正数，在平方（立方）和开平方（开立方）前后大小关系________.
不改变
方法总结：比较无理数与有理数的大小时，利用乘方运算来比较两者的大小.
（1）通过估算，你能比较 与 的大小吗？你是怎样想的？与同伴进行交流.
（2）小明是这样想的： 与 的分母相同，只要比较它们的分子就可以了. 因为 > 2，所以
－1 > 1，因此 > .
你认为小明的想法正确吗？
正确
还有不同的做法吗？
比较两个无理数大小的常用方法：
1.估算法：估算出所给无理数的近似值，再比较.
2.作差法：若 ，则 ；若 ，
则 .
3.乘方法：把含根号的两个无理数同时乘方(一般平方或立方)，比较乘方后的数的大小，同时考虑符号确定大小即可.
4.放缩法：将其中一个数(或两个数)放大或缩小，再比较.
5.作商法、倒数法等.
1. 估计 的值(　C　)
A. 在 3 到 4 之间 B. 在 4 到 5 之间
C. 在 5 到 6 之间 D. 在 6 到 7 之间
C
2. 在0，－1，－ ，－2这四个数中，最小的数是
(　D　)
A. 0 B. －1
C. － D. －2
D
3. 若一个正方形的面积是 8，则估计它的边长大小
在(　B　)
A. 2与2.5之间 B. 2.5与3之间
C. 3与3.5之间 D. 3.5与4之间
B
4. 如图，M，N，P，Q是数轴上的四个点，这四
个点中最适合表示 的是 .
点P　
5. 已知m，n为两个连续的整数，且m＜ ＜n，
则m＋n＝ .
7　
解：∵ ＜ ＜ ，
∴2＜ ＜3.
∵ ＜ ＜ ，
∴4＜ ＜5.
∴ ＜ .
6. 通过估算，比较 ， 的大小.
7. 利用计算器比较下列各数的大小.
(1) ＋ ， ；
解： ＋ ＞ .
(2) ， .
解： ＞ .
解： ＋ ＞ .
解： ＞ .
知识点1 估算
1.［2025天津］估计1＋的值在(　　)
A.1和2之间　　　 B.2和3之间
C.3和4之间　　　 D.4和5之间
返回
C
2. 如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示数－1，1，2，3，表示数4－的点M应落在线段(　　)
A.AO上　　
B.OB上　　
C.BC上　　
D.CD上
返回
C
3. 、 写出一个比大且比小的整数：　 　.
.
返回
2(答案
不唯一)　
知识点2 比较数的大小
4.若记a＝－2，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a＜b＜c　　 B.b＜a＜c
C.c＜a＜b　　 D.c＜b＜a
返回
B
5.通过估算，比较下面各组数的大小：
(1)和；
返回
【解】因为＞3，所以－2＞3－2，即－2＞1，所以＞.
(2)和.
返回
【解】因为＝，所以要比较和的大小，只需比较和的大小.
因为5－(2＋2)＝3－2，(2)2＝20＞32，
所以3－2＜0，所以＜.
知识点3 用计算器开方
6.利用计算器，比较下列各组数的大小：
(1)　　　　；
(2)　　　　.
返回
＜
＜
7.用计算器计算.(结果精确到0.01)
(1)－＋2π－；
返回
【解】－＋2π－≈0.866－3.142＋6.283－1.414≈2.59.
(2)(－)×.
【解】(－)×≈25.205 621 73≈25.21.
课堂小结
估算无理数的大致范围：若a，x，b均为正数，则由a2＜x2＜b2可得a＜x＜b
检验结果合理性的依据：
分数比较
分母相同，只需比较分子大小
分母不同，先通分再比较分子大小
采用范围逼近法(放缩法)；
求近似值的方法(估算法)；
作差法；乘方法；作商法；倒数法
比较方法
估算
的应用
利用估算比较两数大小
估算

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