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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.3.2二次根式的化简及加减运算第二章实数2.3.2二次根式的化简及加减运算精讲复习（北师大版八年级上册）一、二次根式的化简（核心基础）二次根式运算的最终结果必须是最简二次根式，化简是加减运算的前提。最简二次根式两大标准：1.被开方数不含分母、不含小数；2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式。通用化简步骤：①分解被开方数，拆出完全平方数；②利用$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$$拆分根式；③将完全平方数开方移出根号；④整理系数，化为最简形式。示例：$$\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}$$，$$\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}$$。二、同类二次根式（加减运算前提）定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。判断关键：必须先化简，再看被开方数是否一致，与根号前的系数无关。示例：$$\sqrt{12}$$和$$\sqrt{27}$$，化简后为$$2\sqrt{3}$$、$$3\sqrt{3}$$，被开方数都是3，属于同类二次根式。三、二次根式的加减运算法则（本节重点）二次根式加减运算本质：合并同类二次根式，类似整式合并同类项。运算口诀：先化简、再判断、同类合并、异类保留。完整运算步骤：1.化：将所有二次根式化为最简二次根式；2.找：找出被开方数相同的同类二次根式；3.并：同类根式系数相加减，被开方数保持不变；4.留：不同类的二次根式不能合并，直接保留原式。四、加减运算公式模板$$a\sqrt{m}\pm b\sqrt{m}=(a\pm b)\sqrt{m}$$释义：只有被开方数相同时，才能合并系数；被开方数不同，无法加减合并。五、典型例题精讲例1基础同类根式合并计算：$$2\sqrt{3}+5\sqrt{3}-4\sqrt{3}$$解：原式$$=(2+5-4)\sqrt{3}=3\sqrt{3}$$例2先化简再加减（必考题型）计算：$$\sqrt{12}+\sqrt{27}$$解：先化简，$$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$，$$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$$原式$$=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$例3混合加减运算计算：$$\sqrt{8}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{18}$$解：化简得$$2\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}+3\sqrt{2}$$原式$$=\left(2-\dfrac{1}{2}+3\right)\sqrt{2}=\dfrac{9}{2}\sqrt{2}$$六、二次根式混合运算顺序既有乘除又有加减时：先乘除，后加减，有括号先算括号内。1.先完成根式乘除、化简；2.筛选同类根式；3.合并同类根式；4.保留最简结果。七、高频易错点1.不化简直接加减，误将不同类根式强行合并；2.合并时改动被开方数，加减只变系数、不变根号内部；3.化简不彻底，残留可开方因数，结果不规范；4.非同类二次根式强行合并，属于概念性错误。八、本节核心总结1.二次根式加减只合并同类根式，非同类不能合并；2.运算前提：先化简，后计算是得分关键；3.合并规则：系数相加减，被开方数保持不变；4.混合运算遵循：先乘除、后加减，最终结果必须最简。掌握二次根式的性质.
能将二次根式(根号下仅限于数)化为最简二次根式.
会进行二次根式(根号下仅限于数)的简单四则运算.
复习回顾，导入新课
化简：
等号的左边与右边对换，可以得到什么？
依据：
二次根式的性质
积的算术平方根，等于积中各因式算术平方根的积；
商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
化简：
例3
被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数
最简二次根式的概念:
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法:
（1）当被开方数是整数时，先将整数化为含能开尽方的数与另一个数的乘积的形式，再开方。
（2）当被开方数是分数时(被开方数是小数或带分数，应先将小数化成分数形式，或将带分数化成假分数的形式)，若根号内分母是完全平方数，则直接开方，若根号内分母不能开得尽方，则分子、分母同乘一个适当的不为零的数，使分母化为一个完全平方数，再开方。
化简：
例4
思考·交流
（1）你是怎么发现 含有开得尽方的因数的？
你是怎么判断 是最简二次根式的？
（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会？与同伴进行交流。
1.(1) 3x2+2x2=________；(2)x2+2x2+4y=__________.
2.类比合并同类项的方法，计算：
3. 能不能再进行计算？为什么？
5x2
3x2+4y
不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数不相同，不能合并.
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫作同类二次根式.
同类二次根式
例：找出下列二次根式中 的同类二次根式.
二次根式可以进行加减运算，这时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用.
如：
……先将二次根式化成最简二次根式
……再将被开方数相同的二次根式分别合并
计算：
例5
二次根式加减运算的步骤：
（1）化：将每个二次根式化成最简二次根式；
（2）找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
（3）合：将被开方数相同的二次根式合并——系数相加减仍得系数，根指数与被开方数保持不变.
先化简再合并
1. 化简：
随堂练习
【教材P44 随堂练习 第1题】
1. 化简：
随堂练习
【教材P44 随堂练习 第1题】
2.下列计算是否正确？
【教材P44 随堂练习 第2题】
被开方数不同的二次根式不能合并！
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(　A　)
A. B.
C. D.
2. 下列二次根式中，能与 合并的是(　C　)
A. B.
C. D.
A
C
3. 化简 的结果为(　A　)
A. 2 B. 2
C. 4 D. 5
4. 化简：
(1) ＝ 　5 　；
(2) ＝ 　 　.
A
5 　
　
5. 计算：
(1) － ＋ ；
解：原式＝3 －2 ＋ ＝ .
(2) －3 ＋ .
解：原式＝6 － ＋ ＝ .
解：原式＝3 －2 ＋ ＝ .
解：原式＝6 － ＋ ＝ .
知识点1 积的算术平方根的性质
1.下列各式变形正确的是(　　)
A.＝×
B.＝＋
C.＝×　
D.＝×
返回
D
2.化简的结果是(　　)
A.2　　 B.－2　　
C.3　　 D.－3
返回
A
3. 小华和小刚两人分别拿一张卡片，小华在卡片上写二次根式a，小刚在卡片上写二次根式b，使得ab＝，请你写出一对满足条件的a，b的值：　　　 .
　　　　.
返回
，(答案不
唯一)
知识点2 商的算术平方根的性质
4.若＋(a－3)2＝0，则化简的结果是(　　)
A.　　 B.　　
C.±　　 D.
返回
B
5.化简二次根式(x＜0)正确的是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.－　　　　D.－
返回
C
【点拨】因为x＜0，所以＝＝－，故选C.
6.如果＋6＝20，那么x＝　　　　.
返回
【点拨】因为＋6＝20，所以×3＋6×＝20，即2＋3＝20，所以5＝20，所以＝4，所以x＝16.经检验：x＝16是原方程的解，故答案为16.
16
课堂小结
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。
二次根式的性质

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