资源简介

(共27张PPT)
北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.3.1二次根式及乘除运算法则第二章实数2.3.1二次根式及乘除运算法则精讲复习（北师大版八年级上册）一、二次根式的定义一般地，形如$$\sqrt{a}$$（$$a\ge0$$）的式子叫做二次根式，其中$$a$$叫做被开方数，“$$\sqrt{\ \ }$$”为二次根号，根指数为2，可省略不写。二次根式必备两个条件（缺一不可）：1.带有二次根号$$\sqrt{\ \ }$$；2.被开方数$$a\ge0$$，保证式子有意义。二、二次根式双重非负性（核心考点）二次根式恒具备双重非负性，是考试高频考点：1.被开方数非负：$$a\ge0$$；2.根式结果非负：$$\sqrt{a}\ge0$$。拓展题型：若几个非负数（二次根式、绝对值、平方数）的和为0，则每一项都为0。三、二次根式两大基础公式公式1：$$(\sqrt{a})^2=a\ \ (a\ge0)$$释义：先开方、后平方，结果等于被开方数本身，仅适用于非负数。公式2：$$\sqrt{a^2}=|a|$$释义：先平方、后开方，结果一定是非负数，必须加绝对值化简：正数和0直接去绝对值，负数变相反数。化简规则：$$\sqrt{a^2}=\begin{cases}a & (a\ge0) \\ -a & (a<0)\end{cases}$$四、最简二次根式标准（化简依据）满足以下两个条件的二次根式，为最简二次根式：1.被开方数不含分母、小数；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题要求：所有二次根式计算结果，必须化为最简二次根式。五、二次根式乘除运算法则（本节重点）1.乘法法则$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ \ (a\ge0，b\ge0)$$释义：两个非负二次根式相乘，等于被开方数相乘后再开方。推广：$$m\sqrt{a}\cdot n\sqrt{b}=mn\sqrt{ab}$$，系数、根式分开运算。2.除法法则$$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\ \ (a\ge0，b>0)$$释义：两个二次根式相除，等于被开方数相除后再开方，分母被开方数不能为0。推广：$$\dfrac{m\sqrt{a}}{n\sqrt{b}}=\dfrac{m}{n}\sqrt{\dfrac{a}{b}}$$。六、基础例题精讲例1基础计算（1）$$\sqrt{3}\times\sqrt{12}$$（2）$$\sqrt{48}\div\sqrt{3}$$解：（1）原式$$=\sqrt{3\times12}=\sqrt{36}=6$$（2）原式$$=\sqrt{48\div3}=\sqrt{16}=4$$例2带系数乘除计算计算：$$2\sqrt{5}\times3\sqrt{10}$$解：原式$$=(2\times3)\times\sqrt{5\times10}=6\sqrt{50}=6\times5\sqrt{2}=30\sqrt{2}$$七、高频易错点1.忽略取值范围：乘除公式仅适用于$$a\ge0、b\ge0$$，负数不能直接套用公式；2. $$\sqrt{a^2}$$化简漏写绝对值，负数化简出错；3.计算结果不化简，保留可开方因数，不符合最简二次根式要求；4.除法中忽略分母不能为0，出现无意义式子。八、本节核心总结1.二次根式核心：有根号、被开方数非负、结果非负；2.两大基础公式区分：平方去根号直接得原数，开方平方必须加绝对值；3.乘除口诀：根式相乘除，被开方数相乘除，系数单独算；4.所有运算最终必须化为最简二次根式。了解二次根式的概念.
掌握二次根式的乘除法法则.
会运用二次根式进行乘除运算，形成数学的表达与交流能力，发展应用意识和实践能力。
复习旧知，导入新课
用带有根号的式子填空：
（1）如果一个直角三角形的两直角边长分别为 2 和 1，则斜边为_____.
（2）面积为11的正方形的边长为______，面积为 7.2 的正方形的边长为______.
（3） 的算术平方根可表示为______；(c + b)(c－b) 的算术平方根可表示为____________.（其中 c > b > 0）
它们都含有开平方运算(根指数都为 2)
被开方数都是非负数
创设情境，导入新课
这些式子有什么共同特征呢
一般地，形如 ( a ≥ 0 ) 的式子叫作二次根式，a 叫作被开方数.
a可以是数，也可以是式
概 念：
二次根式两个必备特征
内在特征：被开方数a ≥ 0
外貌特征：含有“ ”
【拓展训练】
当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
x － 3 ≥ 0
x ≥ 3
答：当 x ≥ 3 时， 在实数范围内有意义.
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数 ≥ 0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为 0.
【变式训练】
当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
【变式训练】
当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
尝试·思考
6
6
20
20
2
3
2
3
5
7
5
7
（2）根据上面的猜想，估计下面每组中的两个式子是否相等，借助计算器进行验证。
与
与
二次根式的乘法法则和除法法则
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变
结 论
积的算术平方根也可以拓展到被开方数是两个以上的因数（或因式）相乘：
拓 展
计算：
例 1
（1） ；
（2） 。
解：（1） ；
（2） 。
计算：
例 2
（1） ；
（2） ；
解：
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） 。
1. 下列各式中，不是二次根式的是(　B　)
A. B.
C. D.
B
2. 二次根式 有意义，则x的值可以为(　A　)
A. 7 B. 6
C. 0 D. －1
A
3. 计算：2 × ＝(　D　)
A. 12 B. C. D. 2
D
4. 若 ＋ 在实数范围内有意义，则x的取值范
围为 .
x≥0且x≠1　
5. 填空：
(1) × ＝ 　 　；(2) ÷ ＝ .
　
6　
6. 计算：
(1) × ；
解：原式＝3.式＝30 .
(3) × ÷ ；
解：原式＝10.
解：原式＝3.
解：原式＝30 .
解：原式＝10.
原式＝3.
(2)5 ×6 ；
解：原式＝30 .
解：原式＝10.
(4)(－2)2.
解：原式＝7－4 .
解：原式＝7－4 .
知识点1 二次根式的定义
1.在式子(x＞0)，，(y＝－2)，(x＜0)，3，，，x＋y中，二次根式有(　　)
A.2个　　 B.3个　　
C.4个　　 D.5个
返回
C
返回
判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非.

2.若式子＋(3m－6)0有意义，则m的值可以是(　　)
A.　　 B.－　　
C.3　　 D.2
返回
C
知识点2 二次根式的乘法
3.计算×的结果是(　　)
A.6　　　 B.4　　　
C.2　　　 D.1
返回
C
4.［2026重庆期末］估算×(＋)的结果在(　　)
A.5和6之间　　　 B.6和7之间　
C.7和8之间　　　 D.8和9之间
返回
【点拨】×(＋)＝×＋×＝＋＝6＋.因为＜＜，所以2＜＜3，所以8＜6＋＜
9，故选D.
D
5. 若一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是　　　　　　　　.
返回
(答案不唯一)
6. 庐山云雾茶历史悠久，是中国名茶系列之一.如图是庐山云雾茶的一种包装铁盒，若其内部是底面半径为2 cm，深为6 cm的圆柱，则其容积为　　　　cm3(结果保留根号和π).
返回
120π
课堂小结
一般地，形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，a可以是数，也可以是式.

展开更多......

收起↑