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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.3.3二次根式的四则运算第二章实数2.3.3二次根式的四则运算精讲复习（北师大版八年级上册）一、二次根式四则运算基础回顾二次根式四则运算包含加、减、乘、除混合运算，是本章综合性最强的考点。运算整体遵循整式四则运算规则、运算律和顺序，同时结合二次根式专属化简法则，最终结果必须化为最简二次根式。核心前提：所有参与运算的二次根式，优先化为最简二次根式，同类二次根式可合并，非同类根式只能保留，不能合并。二、基础四则运算法则汇总1.乘除法则乘法：$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab} \ \ (a\ge0,b\ge0)$$除法：$$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}} \ \ (a\ge0,b>0)$$带系数运算：系数与系数运算，根式与根式运算，分开计算、最后整合。2.加减法则先化简、再找同类、最后合并。公式：$$a\sqrt{m}\pm b\sqrt{m}=(a\pm b)\sqrt{m}$$，仅同类二次根式可合并，被开方数不变，只运算系数。三、四则混合运算顺序（必考核心）二次根式混合运算顺序与实数、整式运算完全一致：1.有括号先算括号内（先小括号、后中括号）；2.无括号时，先乘除，后加减；3.同级运算从左到右依次进行；4.每一步运算后及时化简，全程保留最简形式，最后合并同类根式。四、常用运算律与乘法公式二次根式运算完全适用小学、初中基础运算公式，是简便计算的关键：1.运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律；2.乘法公式（高频考点）：平方差公式：$$(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^2-b$$完全平方公式：$$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$$利用公式可快速展开根式算式，简化复杂运算，避免分步计算出错。五、典型例题精讲例1基础混合运算计算：$$\sqrt{12}\times\sqrt{3}-\sqrt{48}\div\sqrt{4}$$解：原式$$=2\sqrt{3}\times\sqrt{3}-4\sqrt{3}\div2$$$$=6-2\sqrt{3}$$解析：先化简根式，再先算乘除，最后无同类根式，直接保留结果。例2公式简便运算计算：$$(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)$$解：原式$$=(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1$$例3复杂四则混合运算计算：$$(\sqrt{8}+\sqrt{2})\times\sqrt{6}\div\sqrt{3}$$解：原式$$=(2\sqrt{2}+\sqrt{2})\times\sqrt{6}\div\sqrt{3}$$$$=3\sqrt{2}\times\sqrt{2}=3\times2=6$$六、分母有理化（四则运算必备技能）当分母含有二次根式时，必须进行分母有理化，化为最简形式：1.单项分母：$$\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{b}$$；2.两项分母：利用平方差公式，$$\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$$。七、高频易错点1.运算顺序混乱，优先算加减、后算乘除，违背运算规则；2.不化简直接运算，导致无法识别同类根式，不能合并；3.套用乘法公式时符号出错，完全平方公式漏写交叉项；4.分母含根式不有理化，结果不符合最简要求；5.强行合并非同类二次根式，出现概念性错误。八、本节核心总结1.二次根式四则运算遵循：先化简、先乘除后加减、有括号先算括号；2.灵活运用运算律和乘法公式简化计算，提升准确率；3.分式形式根式必须分母有理化，结果全程保持最简；4.加减只合并同类根式，乘除适用于所有有意义的二次根式。进一步进行二次根式(根号下仅限于数)的简单四则运算，并解决简单的实际问题.
发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生应用法则的灵活性和解决问题的能力.
通过正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，发展学生分析问题、解决实际问题的能力。
复习回顾，导入新课
同类二次根式可以进行加减运算，且以前学过的实数的运算法则、运算律仍然适用.
二次根式的乘、除法法则：
复习回顾，导入新课
二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、__________的混合运算.
二次根式混合运算的顺序：先算__________，再算__________，最后算__________；如果有括号，要先算括号里面的（或先__________）.
乘方
乘方
乘除
加减
去括号
计算：
例6
先将每个二次根式化成最简二次根式
计算：
例6
你还有哪些做法？
计算：
例6
先算括号内的，再算除法
计算：
例6
如果算式当中有个别二次根式化简最简二次根式仍不能与其它最简二次根式合并同类项，结果中可保留，不必化为最简式.
化简 ，其中 a = 28，b = 7. 你是怎么做的？
还可以先将二次根式化简，再代入计算.
可以先将字母的值代入，然后进行计算.
尝试·思考
方法1：先代入，再计算
方法2：先化简，再代入
解：因为 a=28，b=7，所以
当 a=28，b=7 时，
哪种方式更简便？
【拓展训练】
根据算术平方根的定义，可知
【拓展训练】
当a>0，b>0时，化简下列各式：
如图，方格纸中每个小方格的边长均为 1。
（1）求梯形ABCD的周长.
（2）求梯形ABCD的面积. 你有哪些求解方法？与同伴进行交流.
思考·交流
AD = 6
DC =
CB =
AB =
周长 = 6 + +
方法1：分割法
S1
S2
S3
S4
解：如图所示，将梯形ABCD分割为三个三角形和一个正方形，则
S梯形ABCD=S1+S2+S3+S4
[分割方式不唯一]
方法2：填补法
S1
S2
S3
S4
解：如图所示，将梯形ABCD填补为一个大长方形，则
S梯形ABCD=S4－S1 － S2 － S3
[填补方式不唯一]
方法3：直接计算
E
解：如图所示，过点 D 作梯形ABCD 的高 DE.
1. 化简 × ＋ 的结果是(　D　)
A. 5 B. 6
C. D. 5
D
2. 下列运算正确的是(　C　)
A. 3＋ ＝3
B. ÷ ＝3
C. × ＝3
D. (＋1)2＝6
C
3. 填空：
(1) × －(－1)0＝ ；
(2) × － ＝ 　－ 　.
4. 若某长方形的长为(＋ )cm，宽为 cm，
则此长方形的面积为 cm2.
1　
－ 　
9　
5. 计算：
(1) (＋5 )× ； (2) ；
解：原式＝2－ .
解：(1) 原式＝6＋10 .
(2) 原式＝2－ .
(3)(4＋ )(4－ )＋ ；－1.
(3) 原式＝ .
(4) 原式＝ －1.
(4)(3 －2 )× ＋(－ )2.
6. 当 x＝ －1 时，求代数式 x2＋5x－6 的值.
解：当x＝ －1时，
x2＋5x－6＝(－1)2＋5(－1)－6
＝5＋1－2 ＋5 －5－6
＝3 －5.
知识点1 分母有理化
1.化简的结果是(　　)
A.－　　 B.－　　
C.－　　 D.－
返回
D
【点拨】＝＝＝＝－.故选D.
2.已知a＝，b＝＋3，则a与b的关系是(　　)
A.互为相反数　　 B.相等
C.互为倒数　　 D.互为负倒数
返回
A
3.下列各数中，与－2互为倒数的是(　　)
A.＋2　　 B.－－2　　
C.2＋2　　 D.＋2
返回
【点拨】－2的倒数是＝＝＋2.
A
4.已知＋(b－3)2＝＋，则化简的结果为　　　　　.
返回
【点拨】由题意得c－4≥0，4－c≥0，所以c＝4，所以＋(b－3)2＝0.所以a＝5，b＝3.所以＝＝＝＋.
＋
知识点2 二次根式的混合运算
5.如图，点A，B，C，D在数轴上，则可以近似表示×－÷的运算结果的点是(　　)
A.点A　　　　B.点B　　　　C.点C　　　　D.点D
返回
C
【点拨】×－÷＝－2× ＝6－3＝3＝.因为42＜18＜52，所以4＜＜5，所以可以近似表示×－÷的运算结果的点是点C.
返回
6.［2026西安碑林区模拟］如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则△ABC中边BC上的高为(　　)
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
返回
(第6题)
B
课堂小结
二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算.
二次根式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先算括号里面的（或先去括号）.

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