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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.2.1均匀变化第四章一次函数4.2.1均匀变化精讲复习（北师大版八年级上册）一、均匀变化的定义（核心概念）在函数变化过程中，自变量x每增加（或减少）一个固定的值，因变量y随之增加（或减少）一个固定的值，这种变化规律叫做均匀变化。简单理解：变化速度恒定，增减幅度始终一致，无忽快忽慢、无增减交替，是最规律的函数变化形式。均匀变化是一次函数的核心特征，为后续学习一次函数图像、性质奠定基础。二、均匀变化的三大判定依据（必考）1.表格判定法（最常用）若表格中自变量$$x$$的取值等间距变化，对应的因变量$$y$$的差值恒定不变，则y随x的变化为均匀变化。判定口诀：x等差，y等差，即为均匀变化。反之，若y的差值忽大忽小、正负交替，则为非均匀变化。2.关系式判定法形如$$y=kx+b$$（$$k、b$$为常数，$$k\neq0$$）的关系式，对应的函数变化一定是均匀变化。核心：一次整式函数均为均匀变化，二次、分式、根式函数均为非均匀变化。3.图像判定法函数图像为直线（不含水平直线），则是均匀变化；图像为曲线、折线、弧线，均为非均匀变化。补充：水平直线$$y=b$$，y值无变化，不属于均匀变化。三、均匀变化的核心性质1.变化量恒定：x每变化1个单位，y的变化量固定不变；2.变化趋势单一：全程单调递增或单调递减，不会出现先增后减、先减后增的情况；3.变化速度不变：增减快慢始终一致，是匀速变化；4.差值规律固定：$$\Delta y=k\cdot\Delta x$$，变化量与自变量变化量成正比。四、均匀变化的两种类型1.均匀递增x增大，y匀速增大，y的变化差值为正数，图像从左到右上升。示例：速度恒定的匀速行驶，路程随时间均匀增加。2.均匀递减x增大，y匀速减小，y的变化差值为负数，图像从左到右下降。示例：水池匀速放水，水量随时间均匀减少。五、典型例题精讲例1表格判定均匀变化已知变量x、y对应表格，判断y是否随x均匀变化：x：1、2、3、4、5y：3、5、7、9、11解：x每次增加1，y每次增加2，y的变化量恒定，是均匀变化（均匀递增）。例2非均匀变化判定x：1、2、3、4y：2、4、7、11解：x每次增加1，y依次增加2、3、4，变化量不固定，不是均匀变化。例3实际应用题型一辆汽车以60km/h的速度匀速行驶，分析路程随时间的变化规律。解：关系式$$s=60t$$，时间t每增加1h，路程s固定增加60km，变化量恒定，属于均匀递增变化。六、均匀变化与非均匀变化对比1.均匀变化：直线图像、一次关系式、x等差则y等差、匀速增减；2.非均匀变化：曲线图像、非一次关系式、y变化量不固定、变速增减。七、高频易错点1.误认为只要是直线就是均匀变化：水平直线y值不变，无变化，不属于均匀变化；2.表格判定忽略x不等间距，直接看y差值，导致判定错误；3.混淆均匀变化与单调变化：单调变化不一定均匀，均匀变化一定单调；4.误将二次函数、反比例函数判定为均匀变化（均为非均匀变化）。八、本节核心口诀x变单位恒定时，y差不变是均匀；直线图像匀速变，曲线起伏非均匀；一次关系式专属，单调匀速不变更。从漏水、燃香现象抽象变量关系，通过实验推导公式，建立坐标系分析模型，理解 “均匀变化” 本质，掌握实际问题数学化方法。
整理实验数据并在坐标系中描点，分析数据规律与差异，培养数据处理与逻辑推理能力。
运用数学模型解决漏水量估算、燃香时长预测等问题，体会数学实用价值，增强数学应用意识。
一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗？先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流.
2020年，我国人均生活用水量：城镇（含公共用水）207 L/d，农村100 L/d.
新课导入
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时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ···
漏水量 V/mL
（1）将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯。每隔1min，记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表。在坐标纸上描出（t，V）对应的点。你认为漏水量的变化具有什么规律？请你估计：这个水龙头一天的漏水量是多少？
操作·思考
探索新知
探索新知
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ···
漏水量 V/mL
（2）下表是小明通过实验得到的数据。请你根据小明得到的数据，在坐标纸上描出（t，V）对应的点，并据此估计：小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗？
…
5.5
11.0
16.5
22.0
27.5
33.0
38.5
44.0
49.5
55.0
（3）分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量 V 与时间 t 之间的关系式吗？
（4）你的实验结果与小明的实验结果有何异同？
V＝5.5t
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ···
漏水量 V/mL
…
5.5
11.0
16.5
22.0
27.5
33.0
38.5
44.0
49.5
55.0
分享各组的实验结果，并交流下列问题：
（1）比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处？
（2）引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图象和关系式的影响分别体现在哪些方面？
（3）假如水龙头漏水严重一些，表格、图象和关系式可能会发生什么变化？为什么？
思考·交流
燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ···
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ···
为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔 1 min 测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下：
操作·思考
（1）根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出（t，l）对应的点.
燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ···
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ···
l/cm
t/min
燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ···
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ···
（2）估计燃烧 10 min 后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由.
解：燃烧 10 min 后这根香可燃烧部分的长度为 17.9 cm。理由如下：据表可知，每分钟燃烧 0.5 cm，一根完整的驱蚊线香的长度为22.4+0.5=22.9 cm，10 min 燃烧0.5×10=5 cm，所以 10 min 后可燃烧部分的长度为22.9－5=17.9 cm.
燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ···
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ···
（3）估计这根香可燃烧的时间，并说明理由.
由（2）得，一根完整的驱蚊线香的长度是 22.9 cm，
每分钟燃烧 0.5 cm.
所以这根香可燃烧：22.9÷0.5=45.8(min).
（4）试写出这根香可燃烧部分的长度 l 与燃烧时间 t 之间的关系式.
l=22.9－0.5t（0≤t≤45.8）
1. 我们知道：海拔高度每上升 1 km，温度下降 6 ℃，某时刻，某地地面温度为 10 ℃，设高出地面 x km处的温度为 y ℃，
(1) 随着海拔高度的上升，温度的下降 （填“是”或“不是”）均匀的.
(2)写出 y 与 x 之间的函数关系式；
是
y ＝10－6x
2. 假设圆柱的高是 8 cm，圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之均匀变化，
(1) 在这个变化的过程中，自变量为 .
(2) 如果圆柱底面半径为 r (单位：cm)，那么圆柱的体积 V (单位：cm3) 可以表示为 ；
(3) 当 r 由 1 cm 变化到 6 cm 时，
V 由 cm3 变化到 cm3 .
圆柱的底面半径
V＝8πr2
8π
288π
知识点“均匀”变化
1. 目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水已成为全球的共识.据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出60滴水，每滴水约0.05毫升.小康洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头按测试的速度滴水.设小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，则y与x之间的关系式是(　　)
A.y＝0.05x　　 B.y＝3x
C.y＝60x　　 D.y＝0.05x＋60
返回
B
2.如图是一款上下细中间粗的水杯，水杯中装有一定量的水，然后往水杯中放入大小相同的骰子.随着放入骰子数量的增加，水杯中的水面会升高，这样的升高　　　　(填“是”或“不是”)“均匀”变化的.
返回
不是
3.已知用于爆破工程的炸药包的导火线长100 cm，正常情况下，导火线每秒燃烧4 cm.
(1)导火线燃烧时剩余的长度l(单位：cm)与燃烧时间t(单位：s)之间的函数关系式是　　　　　　　　　　；
(2)点燃导火线　　s后爆炸，自变量t的取值范围是　　　　　　　　；
返回
l＝100－4t
25
0≤t≤25
(3)填表(注意首尾两点的选取)：
返回
t/s 0 5 10 15 20 25
l/cm
100
80
60
40
20
0
(4)根据上表中的对应值在如图所示的坐标系中画出这个函数的图象；
返回
【解】根据表格中的对应值画出函数图象如图.
(5)由图象可知：点燃导火线12.5 s时，导火线还剩　　　　cm.
返回
50
4.弹簧挂重物后会伸长，弹簧长度(最长为20 cm)y(单位：cm)与所挂物体质量x(单位：kg)的部分对应值如下表：
下列说法不正确的是(　　)
A.x与y都是变量，x是自变量，y是因变量
B.所挂物体为6 kg时，弹簧长度为11 cm
C.物体每增加1 kg，弹簧长度就增加0.5 cm
D.挂30 kg物体时，弹簧长度一定比原长增加15 cm
返回
x/kg 0 1 2 3 4 …
y/cm 8 8.5 9 9.5 10 …
D
“均匀”变化
概念
生活中的实例
一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。
课堂小结
课堂小结

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