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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.4.3两个一次函数图象的应用第四章一次函数4.4.3两个一次函数图象的应用精讲复习（北师大版八年级上册）一、本节核心概述在同一个平面直角坐标系中，出现两条不同的一次函数直线，对应两个变化过程、两个变量关系。相较于单个函数应用，本节重点：对比两个函数的大小、快慢、交点意义、位置关系，是期末大题、压轴读图题高频考点。常见模型：两个行程、两种收费方案、注水放水、两个物体运动对比。二、双一次函数核心知识点（必背）1.两直线交点的实际意义（本节重中之重）设两条直线$$y_1=k_1x+b_1$$、$$y_2=k_2x+b_2$$交点坐标为$$(x_0,y_0)$$。数学意义：1. $$x=x_0$$时，$$y_1=y_2$$，两个函数值相等；2. $$(x_0,y_0)$$是方程组$$\begin{cases}y=k_1x+b_1\\y=k_2x+b_2\end{cases}$$的解。实际意义（考试必考话术）：当自变量为$$x_0$$时，两个量大小相等、状态相同、位置相遇、费用相同、距离相同。2.图象上下位置与函数大小关系以交点为分界点，左右分别比较大小：①直线在上 函数值更大；②直线在下 函数值更小；口诀：上大下小，交点相等。3.斜率k的实际意义$$|k|$$越大，直线越陡，变化速度越快；双图对比时：更陡的直线，变化、运动、消耗、增长速度更快。三、三大必考经典模型模型1：双行程相遇、追及问题（最热考）两条直线代表两个物体的路程—时间关系。交点含义：相遇/追及时刻，此时两人路程相等、位置相同。陡度对比：更陡的线速度更快。模型2：两种收费方案对比如：套餐A、套餐B；会员卡、普通收费。交点含义：两种方案费用相等的用量。交点左右决策：用量小于交点x：选下方直线方案更省钱；用量大于交点x：换另一种方案更省钱。模型3：双容器注水、库存增减对比两条线分别代表甲、乙容器水量/存量。交点：两容器水量、存量第一次相等的时刻。四、标准解题四步模板（大题满分）1.读图释义：分清两条直线分别对应哪一个对象、哪一种方案；2.定点求式：分别用待定系数法求出两条一次函数解析式；3.联立求交：联立方程组，求出交点坐标，解释实际意义；4.分区比较：根据图象上下位置，分区间判断大小、优劣、快慢。五、典型例题精讲（考试原题题型）例题：两种上网收费方案方案A：$$y_1=2x$$（无月租，每小时2元）方案B：$$y_2=x+10$$（月租10元，每小时1元）（1）求两方案费用相等的上网时长；（2）何时选A省钱？何时选B省钱？解：（1）联立方程：$$2x=x+10$$解得$$x=10$$，此时$$y=20$$。答：上网10小时，两种方案费用相同，均为20元。（2）图象分析：当$$\boldsymbol{x<10}$$时，A图象在下，$$y_1<y_2$$，选A省钱；当$$\boldsymbol{x>10}$$时，B图象在下，$$y_2<y_1$$，选B省钱。六、高频易错点（扣分重灾区）1.分不清两条直线对应的对象，分析完全相反；2.只会算交点，不会用规范话术解释交点实际意义（大题核心得分点）；3.比较大小不分区间，直接笼统判断；4.误以为线越高速度越快，忽略y轴不一定是速度；5.双函数求解时，只求一条解析式，漏掉一条。七、本节万能答题口诀两线同图比高低，上大下小不交齐；交点等值状态同，相遇相等是题意；陡缓区分快慢速，区间对比定优劣；联立求解看图象，双函应用稳解题。八、4.4整节总结（一次函数图象应用）1.单个函数：侧重读数、求值、归零、初始值；2.两个函数：侧重交点意义、大小对比、方案选择、快慢对比；3.所有函数应用：本质都是数形结合，看图代数互化。能根据问题及条件找出能反映实际问题的函数，培养的合理决策和创新能力
能利用一次函数图象解决简单的实际问题，发展运算能力和推理应用意识，体会数形结合思想.
能够将实际问题转化为一次函数的问题，培养举一反三的发散性思维，锻炼抽象能力和应用能力
上节课我们学习了应用一个一次函数去解决实际问题.
一次函数与一元一次方程有什么关系？
如果问题中涉及两个或两个以上的一次函数，
我们该怎么去分析并解决问题？
新课导入
如图，l1 表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2 表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系.
根据图象填空:
探索新知
（2）当销售量为 6 t 时，
销售收入为_____元，
销售成本为_____元.
（1）当销售量为 2 t 时，
销售收入为______元，
销售成本为______元.
2000
3000
6000
5000
销售收入
销售成本
（3）当销售量________时，
销售收入等于销售成本.
等于4 t
（4）当销售量_________时，
销售收入大于销售成本，
该公司赢利；
当销售量__________时，
销售收入小于销售成本，
该公司亏损.
大于4 t
小于4 t
销售收入
销售成本
（5）当销售量为______t时，
该公司赢利 1000 元.
6
销售收入
销售成本
l1对应的函数表达式
是 ，
（6）
l2对应的函数表达式
是 .
y＝1000x
y＝500x＋2000
销售收入
销售成本
y＝1000x
y＝500x＋2000
解：由（5）题意，得
1000x－(500x＋2000)=1000.
解这个方程得，x=6.
所以当销售量为 6 t时，
该公司赢利 1000 元.
（7）你能借助（6）的结论求解（5）吗？
设l1对应的一次函数为 y＝k1x ＋b1，k1和b1的实际意义各是什么？
销售收入
y＝1000x
k1表示每销售1吨产品，可收入1000元；
b1表示未销售时，销售收入为0元.
思考·交流
设l2对应的一次函数为 y＝k2x ＋b2，k2和b2的实际意义各是什么？
销售成本
y＝500x＋2000
k2表示每销售1 吨产品的成本为500元；
b2表示未销售时，为销售所花的成本为2000元.
【例3】下图是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙.
图中 l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系.
(1) 哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？
当t = 0时，甲到观景台1的路程为0m，即s=0，故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系.
假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题：
解
甲
乙
（2）甲和乙哪个人的速度快？
t 从 0 增加到 20 时，l1 上点的纵坐标增加了1000， l2 上点的纵坐标增加了 600，即 20 min内，甲行走了1000m，乙行走了600m，所以甲的速度快.
解
甲
乙
（3）30 min 内甲能否追上乙？
延长 l1，l2，可以看出，
当t＝30时，l1 上的对应点在 l2 上对应点的下方，这表明，30 min时甲尚未追上乙.
解
P
甲
乙
（4）到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？
如图，l1 与 l2 的交点 P 的纵坐标
小于800＋1300=2100，这说明，甲能在到达观景台3前追上乙.
P
甲
乙
2000
（5）设l1与l2对应的两个一次函数分别为s＝k1t＋b1与s＝k2t＋b2，k1，k2的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？
甲的速度是50 m/min，
乙的速度是30 m/min.
k1 表示甲的速度，
k2 表示乙的速度。
解
甲
乙
思考：你能用其他方法解决例3（1）~（4）吗？
依据“速度＝路程÷时间”，求出甲的速度是 50 m/min，
乙的速度是 30 m/min.
问题即可依据行程问题解决.
方法2
求出l1和l2对应的函数表达式，y＝50x，y＝30x＋800，再依据实际意义解决.
方法3
回顾·反思
回顾应用一次函数解决问题的过程，你对不同解决方法有什么体会？
知识点 两个一次函数图象的实际应用
1. 如图，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶路程y(km)随时间x(h)变化的图象，则下列结论错误的是(　　)
A.轮船的速度为20 km/h
B.快艇的速度为40 km/h
C.轮船比快艇先出发2 h
D.快艇到达乙港用了6 h
返回
(第1题)
D
2.［2025济南］A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s(km)与骑车时间t(h)的关系如图所
示，则他们相遇时距离A地　　　　km.
返回
(第2题)
3. 春节临近，某网商紧急备货，但目前缺少大量礼品盒，该网商通过调研，发现这种礼品盒的来源有两种方案：
方案一：从纸箱厂订购，购买所需费用y1(单位：元)与礼品盒的数量x(单位：盒)满足如图所示的函数关系.
方案二：从纸箱厂租赁机器，自己加工制作这
种礼品盒，所需费用(包括租赁机器的费用和生
产礼品盒的费用)y2(单位：元)与礼品盒的数量x
(单位：盒)满足如图所示的函数关系.
返回
请回答下列问题：
(1)方案一中，礼品盒的单价为　　　　元.
返回
3
(2)求出y1，y2关于x的函数表达式.
返回
【解】设y1关于x的函数表达式为y1＝k1x.
因为该函数图象经过点(500，1 500)，所
以1 500＝500k1，解得k1＝3.所以y1关于x的函数表达式为y1＝3x.设y2关于x的函数表达式为y2＝k2x＋b.因为该函数图象经过点(0，1 000)和(1 500，4 000)，所以1 500k2＋b＝4 000，b＝1 000，解得k2＝2.所以y2关于x的函数表达式为y2＝2x＋1 000.
(3)如何选择方案，才能够更省钱？请说明理由.
返回
【解】令3x＝2x＋1 000，解得x＝1 000，
所以当x＝1 000时，两种方案同样省钱；
当x＜1 000时，选择方案一更省钱；
当x＞1 000时，选择方案二更省钱.
4. 甲、乙两个工程队分别同时挖掘两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的函数关系如图所示，以下信息一定正确的有(　　)
①甲队挖掘20 m，用了2 h；
②开挖6 h后，甲队比乙队多挖掘10 m；
③乙队从开挖2 h后到6 h之间，每小时挖掘5 m；
④开挖4 h后，甲、乙两队所挖河渠长度相等.
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
返回
(第4题)
D
01获取
02解决
两个一次函数的应用
观察图象
获取关键信息
建立
一次函数模型
解决实际问题
课堂小结

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