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浙江省金华市义乌市宾王中学2025-2026学年八年级下学期数学4月期中考试试卷
1．使二次根式有意义的x的值可以是（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝4 D．x＝6
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知：
符合条件的数值为x=6，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可.
2．下列新能源汽车的车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
B.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形；
C.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
D.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
故答案为：C.
【分析】中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转 如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答.
3．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣3＝0 B．x2＝4 C． D．2x+5＝8
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A选项：x-3=0只含一个未知数，但未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义；
B选项： 只含一个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义；
C选项： 中含有分式 不是整式方程，不符合一元二次方程定义；
D选项：2x+5=8只含一个未知数，但未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义.
故答案为：B.
【分析】需依据“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”这三个条件逐一判断各选项.
4．技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为S甲2＝12，S乙2＝a，检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，则a的值可以是（　　）
A．11 B．13 C．15 D．16
【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由条件可知a<12，即只有A选项11满足条件.
故答案为：A.
【分析】根据方差越小，长势越整齐解答即可.
5．下列判断或计算正确的是（　　）
A．是最简二次根式 B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A：，不是最简二次根式；
B：，计算错误；
C：，计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】根据最简二次根式的定义，二次根式的性质化简，二次根式的乘法法则逐项判断解答即可.
6．一个四边形四个外角之比为1：2：3；4，则这个四边形的内角中（　　）
A．只有一个锐角 B．有两个锐角
C．有三个锐角 D．有四个锐角
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵一个四边形四个外角的度数之比为1：2：3：4，
∴四个外角的度数分别为：
∴四个内角的度数分别为：
这个四边形的内角中有两个锐角.
故答案为：B.
【分析】先根据四边形的四个外角的度数之比分别求出四个外角，再根据多边形外角与内角的关系分别求出它们的内角，从而求解.
7．对于方程x2﹣3x+2＝﹣1，嘉嘉说“其中一个解是x＝1”，琪琪说“此方程有两个实数根且和为3”，珍珍说“此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（　　）
A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对
C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程 中，
a=1，b=-3，c=3，
，
∴此方程无实数根，
∴珍珍说得对.
故答案为：C.
【分析】根据根的判别式得到，判断方程根的情况解答即可.
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，AB＝2，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，且点C的对应点D恰好落在AC上，连接AE，则△ADE的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点B作BG⊥AE于点G，作BF⊥AC于点F，
∵AB=2，BC=1，
∴AC=，
又∵，
∴，
∴，
由旋转可得BA=BE，BD=BC，∠CBD=∠ABE，
∴DC=2CF=，∠BAE=∠BEA=∠C=∠BDC，
又∵∠C+∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAE=90°，
∴四边形AFBG是矩形，
∴AG=BF=，即AE=2AG=，
∵AD=，
∴，
故答案为：A.
【分析】过点B作BG⊥AE于点G，作BF⊥AC于点F，根据勾股定理和三角形的面积公式求出BF和CF长，再根据旋转的性质和三线合一求出CD长，进而得到∠DAE=90°，证明四边形AFBG是矩形，求出AG长即可得到AE长，根据三角形的面积公式求出△ADE的面积即可.
9．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列判断正确的是（　　）
A．若x＝c是该方程的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
B．若a+c＝b，则方程ax2+bx+c＝0有一根为x＝1；
C．若该方程的解为x＝2和x，则方程cx2bx+a＝0的解是x＝3或x
D．当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根；
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；换元法解一元二次方程；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把x=c代入方程得ac2+bc+c=0，
c(ac+b+1)=0，
解得c=0或ac+b+1=0，故A错误；
当a+c=b时，方程为ax2+(a+c)x+c=0，
(ax+c)(x+1)=0，
解得或x=-1，故B错误；
方程cx2bx+a＝0可化为，
∵ ax2+bx+c＝0的两根为x＝2和x，
∴或，
解得x=-3或，故C错误；
∵b+c>0，b-c<0，
∴c一定为正数，
∵，
∴ 方程一定有实数根，故D正确，
故答案为：D.
【分析】把x=c的值代入方程求出c=0或ac+b+1=0判断A；把b=a+c代入解方程求出x的值判断B选项；方程cx2bx+a＝0可化为，即可得到或，求出x的值判断C；根据题意得到c为正数，然后根据根的判别式得到方程根的情况判断D即可.
10．如图，在 ABCD中，过△ACD内部任一点N分别作EG∥CD，FH∥AD，与对角线AC交与K、M两点，设四边形AHNE、四边形HBGN、四边形GCFN、四边形NFDE的面积分别为．已知下列哪个值一定能求出△BMK面积的是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；三角形的面积；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接MD、KD.
四边形ABCD是平行四边形
故答案为：B
【分析】如图，连接DM、DK，由于平行四边形ABCD是中心对称图形，则对角线AC平分四边形ABCD的面积，且B、D两点到对角线AC的距离相等，即三角形ABM与三角形ADM面积相等；由于四边形AHFD是平行四边形，则三角形AMD的面积等于平行四边形AHFD面积的一半，同理三角形BCK的面积等于平行四边形GCDE面积的一半，再利用割补法结合整式的加减运算可得三角形BMK的面积等于平行四边形BGNH与DENF面积之差的一半，即，故正确答案为B.
11．当a＝﹣2时，二次根式的值为　 　．
【答案】2
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解：当a=-2时，原式，
故答案为：2.
【分析】把a=-2代入，计算二次根式解答即可.
12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且BO＝DO，请你添加一个条件使四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是　 　．
【答案】AD∥BC(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：添加条件： AD∥BC，
证明： ∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，
∵∠AOD=∠COB， DO=BO，
∴△DAO≌△BCO(AAS)，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
故答案为： AD∥BC(答案不唯一).
【分析】根据平行四边形的判定方法作答即可.
13．一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于　 　．
【答案】16
【知识点】方差
【解析】【解答】解：这组数据的和为88×2=16，
故答案为：16.
【分析】由方差的计算算式知，这组数据共有8个，且这组数据的平均数为2，再根据平均数的概念可得答案.
14．已知关于x的一元二次方程x2+x+k﹣2＝0的两根x1和x2满足x12+7，则k的值为　 　．
【答案】6
【知识点】二次根式有无意义的条件；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，
∴，解得k≤7，
又∵3k-1≥0，
∴
又∵ x1和x2 是方程的两根，
∴x1+x2=-，x1x2=k-2，
∴x12+x22-(x1x2)2=(x1+x2)2-2x1x2-(x1x2)2=3k-1-2(k-2)-(k-2)2=-7，
解得：k=6或k=-1（舍）
故答案为：6.
【分析】根据方程有两个实数根求出k≤7，然后根据根与系数的关系得到x1+x2=-，x1x2=k-2，然后根据完全平方公式变形，整体代入得到关于k的方程求出可得值并检验解答即可.
15．用如图1所示的若干张直角三角形与四边形纸片不重叠、无空隙的密铺成图（2），则x+2y的值为　 　．
【答案】330
【知识点】平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，
在四边形ABCD中， 由密铺，可得
∠ABC+2∠ADC+2×90°=360°
所以，解得
所以x+y=360-90-45=225.
设直角三角形较小的锐角为 较大的锐角为 则a+b=90，
由密铺，可得
，解得
所以x+2y=330.
故答案为：330°，
【分析】先根据密铺得到∠ABC=90°，∠ADC=45°，然后根据在点C和A处的密铺列方程组求出x和y的值，代入计算即可.
16．在平行四边形纸片ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝4．现将该纸片折叠，折痕与纸片ABCD的两边交于点E、F．若折痕EF将纸片ABCD分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为1：3，则折痕EF长的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：若折痕EF将纸片ABCD分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为1：3，
如图2-1，取AD的中点M， BC的中点N，连接MN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形CDMN是平行四边形，四边形ABNM是平行四边形，
∴平行四边形CDMN的面积与平行四边形ABNM的面积的比为1：1，
连接BM，AN，交于点K，当EF过点K时，四边形EFNM的面积与四边形ABFE的面积的比为1：1，
∴四边形ABFE的面积与四边形EFCD的面积的比为1： 3，
当BC⊥EF时， EF取最小值，
作 交DA延长线于点H，则.
∴当 时， 此时EF最小，
如图2-2， 取AB的中点P， CD的中点Q， 连接PQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB， CD=AB，
∴四边形PBCQ是平行四边形，四边形APQD是平行四边形，
，平行四边形APQD的面积与平行四边形PBCQ的面积的比为1：1，
连接AQ，DP，交于点T，当EF过点T时，四边形ADFE的面积与四边形EFQP的面积的比为1：1，
∴四边形ADFE的面积与四边形EFCB的面积的比为1： 3，
作 交DA延长线于点R，作 于点S，则
∵AD∥PQ，
∴∠R+∠RPS=180°，
∴∠RPS=180°-90°=90°，
∴四边形ASPR为矩形，
∴折痕EF长的取值范围是 或
故答案为： 或
【分析】取AD的中点M， BC的中点N，连接MN，连接BM， AN，交于点K，取AB的中点P， CD的中点Q，连接PQ，连接AQ， DP，交于点T，当EF过点K或当EF过点T时，折痕EF将纸片ABCD分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为1：3，分别求出每种情况对应的EF的取值范围即可.
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）原式
（2）原式
＝12﹣1
＝12﹣1﹣4
＝7
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先运算二次根式的乘除法，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差公式计算，同时计算二次根式的乘法，然后加减解答即可.
18．解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0（用配方法）；
（2）（2x﹣1）2＝3（2x﹣1）．
【答案】（1），
，
，
解得：
（2）（2x﹣1）2﹣3（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（2x﹣1﹣3）＝0，
（2x﹣1）（2x﹣4）＝0，
则2x﹣1＝0或2x﹣4＝0，
解得，x2＝2．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项、添加一次项系数一半的平方，然后利用开平方法解方程即可；
（2）先移项，再提取公因式(2x-1)分解因式，利用因式分解法解方程即可.
19． 2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）．
七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100；
八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96．
七八年级抽取的学生的成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 85.5 a 70
八年级 m b c
（1）上表中，b＝　 　，c＝　 　；
（2）请你求出七年级所抽取学生成绩的下四分位数m25和上四分位数m75，并补全箱线图；
（3）求八年级所抽取学生的平均成绩m和离差平方和．
【答案】（1）90；93
（2）下四分位数m25为，
上四分位数m75为
作图如下：
（3）八年级平均数：，
离差平方和：（70﹣87）2+（77﹣87）2+（79﹣87）2+（81﹣87）2+（88﹣87）2+（89﹣87）2+（91﹣87）2+（92﹣87）2+（93﹣87）2+（93﹣87）2+（95﹣87）2+（96﹣87）2＝752．
【知识点】平均数及其计算；中位数；离差平方和；箱线图；四分位数
【解析】【解答】解： (1)八年级成绩排序： 70， 77， 79， 81， 88， 89， 91， 92， 93， 93， 95， 96.
中位数 众数c=93.
故答案为： 90； 93；
【分析】(1)将八年级成绩排序，进而根据中位数和众数的定义作答即可；
(2)将七年级成绩排序，求出下四分位数、上四分位数，求出中位数，进而作图即可；
(3)先求出平均数，再计算离差平方和即可.
20．如图是由6个形状、大小完全相同的小长方形（长为2，宽为1）组成的大网格，每一个小长方形的顶点称为这个大网格的格点，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
（1）在图1中画出一个顶点均在格点上的平行四边形ABEF；
（2）在图2中画出一个以CD为对角线且顶点均在格点上的平行四边形CGDH．
（3）在图3中画出一个面积为3且顶点均在格点上的平行四边形．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】(1)由平行四边形的定义，两组对边分别平行，即可画出正确的平行四边形；
(2)根据菱形的定义，四边相等，即可画出顶点均在格点上的菱形CGDH；
(3)根据题意分别作出对角线为3，对角线上高为1的平行四边形即可.
21．如图，在△ABF中，点E是AB的中点，延长BF至点D，使得DF＝BF，连接AD，延长EF至点C，使得CF＝AD，连接CD．
（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；
（2）连接AC交DB于点O，若CE⊥DB，EF＝1，，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵DF＝BF，
∴点F是DB的中点．
∵点E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥AD．且，
∵点C在EF的延长线上，
∴CF∥AD．
∵CF＝AD，
∴四边形AFCD为平行四边形
（2）解：由（1）可知EF∥AD．且，
∴AD＝2EF＝2．
∵，
∴，
∵CE⊥DB于点F，
∴．
∴．
∵．
∴．
∴AC＝2OA＝5．
∴AC的长是5．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据题意推出EF是 的中位线，进而推出CFlAD，再结合CF=AD即可可得出四边形AFCD为平行四边形.
(2)根据题意推出AD=2EF=2，结合线段中点的特点推出 利用勾股定理求出BD，进而得到 再结合平行线性质和勾股定理求出OA，即可得到AC.
22． 2025年为大力响应乡村振兴政策，某村大力发展经济作物，在苹果、桃李树种植已初具规模时，销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元．
（1）请确定苹果、桃李的单价；
（2）该村平均每天卖出苹果100千克和桃李120千克．经调查发现，苹果零售单价每降0.1元，苹果每天可多销售10千克．桃李零售单价每降0.1元，桃李每天可多销售5千克为了使每天获取更大的利润，该村决定把苹果和桃李的零售单价同时下降a（0＜a＜4）元．在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入2930元？
【答案】（1）解：设苹果的单价为x元，桃李的单价为y元；
，
∴，
∴苹果的单价为8元，桃李的单价为10元，
答：苹果的单价为8元，桃李的单价为10元
（2）依题意，，
整理得，5a2﹣36a+31＝0，
即（5a﹣31）（a﹣1）＝0，
则（故舍去），
∴当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入2930元，
答：当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入2930元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设苹果的单价为x元，桃李的单价为y元，根据“销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元”列方程求出x和y的值解答即可；
（2）根据总利润等于苹果和桃李降价后的的利润乘以销售量的和列方程求出a的值解答即可.
23．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：，．
【类比归纳】
（1）仿照小明的方法将化成另一个式子的平方：　 　；
（2）请运用小明的方法化简：　 　；
（3）已知a，b为非负实数，∵，∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值时，有最小值？求出该最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）∵a+b≥2（a，b≥0，当且仅当“a＝b”时，等号成立）
∴设m（m≥0），则x＝m2﹣2，
∴
＝m+2
＝（m+1）1≥21＝2+1+3．
当且仅当m+1，即（m+1）2＝1，
解得：m＝0（因为m≥0，故m＝﹣2舍去）．
∵m0，
∴x＝﹣2．
综上，当x＝﹣2时，式子有最小值3．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
【分析】（1）根据题目所给方法改写为平方式即可；
（2）先把被开方数写成完全平方的形式，然后利用二次根式的性质化简即可；
（3）设m，则x＝m2﹣2，然后原分式化为m+2，然后根据均值不等式求出最小值解答即可.
24．如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，，点E是边BC上一点，连接AE．
（1）如图1，连接DE，点B关于AE的对称点B'落在DE上，求证：ADED．
（2）连接BD，在边AD上取一点F，连接EF交BD于点O，以EF为折痕将 ABCD折叠，使得点B关于EF的对称点始终落在OD上．
①如图2，若F与A重合，BC＝4，求BE的长；
②如图3，若AB＝AE，ODOB，直接写出BC的长．
【答案】（1）证明：∵ 点B关于AE的对称点B'落在DE上，
∴∠BEA＝∠AED，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝ED
（2）①过点B作BM⊥直线AD于M，
∵AD∥BC，∠ABC＝45°，BC＝4
∴∠MAB＝45°，AD＝4
∵
∴AM＝BM＝2
∴BD＝2
∵点B的对称点在OD上
∴EF⊥BD
∵F与A重合，
∴=
∴
∴，
∵，
∴，
∴
设=5x，则，
在直角三角形BOE中，
解得x=
∴=
②2+2
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（2）②设AE与BD交于点M，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EG⊥AD于点G，过点B作BN⊥AD于点N，连接DE，
∵∠ABC＝45°，AB＝AE
∴∠BAE=90°，
∵，
∴AE＝，
∵AH⊥BC，
∴BE＝2AH，
∵ ABCD，EG⊥AD，
∴EG＝AH，
∵点B的对称点在OD上，
∴EF⊥BD，
∵ODOB，
∴BE＝DE，
∴DE＝2EG，
∴∠ADE＝30°，
∴∠DBE＝15°，∠ABD＝30°，
∴，∠AMB＝∠OME＝60°，
∴，∠OEM＝30°，
，
∴，
，
易知AN＝BN＝2，
∴DN==4+2，
∴BC=AD=4+2-2=2+2.
故答案为：2+2.
【分析】（1）根据轴对称的性质得到BEA＝∠AED，再根据平行四边形的性质可得∠DAE＝∠BEA，即可得到∠DAE＝∠DEA，根据等角对等边证明即可；
（2）①过点B作BM⊥直线AD于M，根据勾股定理求出AM和BM长，进而求出BD长，然后根据对称的性质和勾股定理求出BO长，再利用△ABE的面积和勾股定理求出BE长即可；
②设AE与BD交于点M，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EG⊥AD于点G，过点B作BN⊥AD于点N，连接DE，先求出∠BAE=90°，根据三线合一得到BE＝2AH，然后得到∠ADE＝30°，根据勾股定理求出AM长，即可求出EM长，根据平行四边形的性质即可求出BD长，然后根据勾股定理求出DN，再根根据线段的和差解答即可.
1 / 1浙江省金华市义乌市宾王中学2025-2026学年八年级下学期数学4月期中考试试卷
1．使二次根式有意义的x的值可以是（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝4 D．x＝6
2．下列新能源汽车的车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣3＝0 B．x2＝4 C． D．2x+5＝8
4．技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为S甲2＝12，S乙2＝a，检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，则a的值可以是（　　）
A．11 B．13 C．15 D．16
5．下列判断或计算正确的是（　　）
A．是最简二次根式 B．
C． D．
6．一个四边形四个外角之比为1：2：3；4，则这个四边形的内角中（　　）
A．只有一个锐角 B．有两个锐角
C．有三个锐角 D．有四个锐角
7．对于方程x2﹣3x+2＝﹣1，嘉嘉说“其中一个解是x＝1”，琪琪说“此方程有两个实数根且和为3”，珍珍说“此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（　　）
A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对
C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，AB＝2，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，且点C的对应点D恰好落在AC上，连接AE，则△ADE的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列判断正确的是（　　）
A．若x＝c是该方程的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
B．若a+c＝b，则方程ax2+bx+c＝0有一根为x＝1；
C．若该方程的解为x＝2和x，则方程cx2bx+a＝0的解是x＝3或x
D．当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根；
10．如图，在 ABCD中，过△ACD内部任一点N分别作EG∥CD，FH∥AD，与对角线AC交与K、M两点，设四边形AHNE、四边形HBGN、四边形GCFN、四边形NFDE的面积分别为．已知下列哪个值一定能求出△BMK面积的是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
11．当a＝﹣2时，二次根式的值为　 　．
12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且BO＝DO，请你添加一个条件使四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是　 　．
13．一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于　 　．
14．已知关于x的一元二次方程x2+x+k﹣2＝0的两根x1和x2满足x12+7，则k的值为　 　．
15．用如图1所示的若干张直角三角形与四边形纸片不重叠、无空隙的密铺成图（2），则x+2y的值为　 　．
16．在平行四边形纸片ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝4．现将该纸片折叠，折痕与纸片ABCD的两边交于点E、F．若折痕EF将纸片ABCD分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为1：3，则折痕EF长的取值范围是　 　．
17．计算：
（1）
（2）
18．解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0（用配方法）；
（2）（2x﹣1）2＝3（2x﹣1）．
19． 2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）．
七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100；
八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96．
七八年级抽取的学生的成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 85.5 a 70
八年级 m b c
（1）上表中，b＝　 　，c＝　 　；
（2）请你求出七年级所抽取学生成绩的下四分位数m25和上四分位数m75，并补全箱线图；
（3）求八年级所抽取学生的平均成绩m和离差平方和．
20．如图是由6个形状、大小完全相同的小长方形（长为2，宽为1）组成的大网格，每一个小长方形的顶点称为这个大网格的格点，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
（1）在图1中画出一个顶点均在格点上的平行四边形ABEF；
（2）在图2中画出一个以CD为对角线且顶点均在格点上的平行四边形CGDH．
（3）在图3中画出一个面积为3且顶点均在格点上的平行四边形．
21．如图，在△ABF中，点E是AB的中点，延长BF至点D，使得DF＝BF，连接AD，延长EF至点C，使得CF＝AD，连接CD．
（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；
（2）连接AC交DB于点O，若CE⊥DB，EF＝1，，求AC的长．
22． 2025年为大力响应乡村振兴政策，某村大力发展经济作物，在苹果、桃李树种植已初具规模时，销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元．
（1）请确定苹果、桃李的单价；
（2）该村平均每天卖出苹果100千克和桃李120千克．经调查发现，苹果零售单价每降0.1元，苹果每天可多销售10千克．桃李零售单价每降0.1元，桃李每天可多销售5千克为了使每天获取更大的利润，该村决定把苹果和桃李的零售单价同时下降a（0＜a＜4）元．在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入2930元？
23．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：，．
【类比归纳】
（1）仿照小明的方法将化成另一个式子的平方：　 　；
（2）请运用小明的方法化简：　 　；
（3）已知a，b为非负实数，∵，∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值时，有最小值？求出该最小值．
24．如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，，点E是边BC上一点，连接AE．
（1）如图1，连接DE，点B关于AE的对称点B'落在DE上，求证：ADED．
（2）连接BD，在边AD上取一点F，连接EF交BD于点O，以EF为折痕将 ABCD折叠，使得点B关于EF的对称点始终落在OD上．
①如图2，若F与A重合，BC＝4，求BE的长；
②如图3，若AB＝AE，ODOB，直接写出BC的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知：
符合条件的数值为x=6，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
B.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形；
C.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
D.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
故答案为：C.
【分析】中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转 如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A选项：x-3=0只含一个未知数，但未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义；
B选项： 只含一个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义；
C选项： 中含有分式 不是整式方程，不符合一元二次方程定义；
D选项：2x+5=8只含一个未知数，但未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义.
故答案为：B.
【分析】需依据“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”这三个条件逐一判断各选项.
4．【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由条件可知a<12，即只有A选项11满足条件.
故答案为：A.
【分析】根据方差越小，长势越整齐解答即可.
5．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A：，不是最简二次根式；
B：，计算错误；
C：，计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】根据最简二次根式的定义，二次根式的性质化简，二次根式的乘法法则逐项判断解答即可.
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵一个四边形四个外角的度数之比为1：2：3：4，
∴四个外角的度数分别为：
∴四个内角的度数分别为：
这个四边形的内角中有两个锐角.
故答案为：B.
【分析】先根据四边形的四个外角的度数之比分别求出四个外角，再根据多边形外角与内角的关系分别求出它们的内角，从而求解.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程 中，
a=1，b=-3，c=3，
，
∴此方程无实数根，
∴珍珍说得对.
故答案为：C.
【分析】根据根的判别式得到，判断方程根的情况解答即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点B作BG⊥AE于点G，作BF⊥AC于点F，
∵AB=2，BC=1，
∴AC=，
又∵，
∴，
∴，
由旋转可得BA=BE，BD=BC，∠CBD=∠ABE，
∴DC=2CF=，∠BAE=∠BEA=∠C=∠BDC，
又∵∠C+∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAE=90°，
∴四边形AFBG是矩形，
∴AG=BF=，即AE=2AG=，
∵AD=，
∴，
故答案为：A.
【分析】过点B作BG⊥AE于点G，作BF⊥AC于点F，根据勾股定理和三角形的面积公式求出BF和CF长，再根据旋转的性质和三线合一求出CD长，进而得到∠DAE=90°，证明四边形AFBG是矩形，求出AG长即可得到AE长，根据三角形的面积公式求出△ADE的面积即可.
9．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；换元法解一元二次方程；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把x=c代入方程得ac2+bc+c=0，
c(ac+b+1)=0，
解得c=0或ac+b+1=0，故A错误；
当a+c=b时，方程为ax2+(a+c)x+c=0，
(ax+c)(x+1)=0，
解得或x=-1，故B错误；
方程cx2bx+a＝0可化为，
∵ ax2+bx+c＝0的两根为x＝2和x，
∴或，
解得x=-3或，故C错误；
∵b+c>0，b-c<0，
∴c一定为正数，
∵，
∴ 方程一定有实数根，故D正确，
故答案为：D.
【分析】把x=c的值代入方程求出c=0或ac+b+1=0判断A；把b=a+c代入解方程求出x的值判断B选项；方程cx2bx+a＝0可化为，即可得到或，求出x的值判断C；根据题意得到c为正数，然后根据根的判别式得到方程根的情况判断D即可.
10．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；三角形的面积；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接MD、KD.
四边形ABCD是平行四边形
故答案为：B
【分析】如图，连接DM、DK，由于平行四边形ABCD是中心对称图形，则对角线AC平分四边形ABCD的面积，且B、D两点到对角线AC的距离相等，即三角形ABM与三角形ADM面积相等；由于四边形AHFD是平行四边形，则三角形AMD的面积等于平行四边形AHFD面积的一半，同理三角形BCK的面积等于平行四边形GCDE面积的一半，再利用割补法结合整式的加减运算可得三角形BMK的面积等于平行四边形BGNH与DENF面积之差的一半，即，故正确答案为B.
11．【答案】2
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解：当a=-2时，原式，
故答案为：2.
【分析】把a=-2代入，计算二次根式解答即可.
12．【答案】AD∥BC(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：添加条件： AD∥BC，
证明： ∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，
∵∠AOD=∠COB， DO=BO，
∴△DAO≌△BCO(AAS)，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
故答案为： AD∥BC(答案不唯一).
【分析】根据平行四边形的判定方法作答即可.
13．【答案】16
【知识点】方差
【解析】【解答】解：这组数据的和为88×2=16，
故答案为：16.
【分析】由方差的计算算式知，这组数据共有8个，且这组数据的平均数为2，再根据平均数的概念可得答案.
14．【答案】6
【知识点】二次根式有无意义的条件；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，
∴，解得k≤7，
又∵3k-1≥0，
∴
又∵ x1和x2 是方程的两根，
∴x1+x2=-，x1x2=k-2，
∴x12+x22-(x1x2)2=(x1+x2)2-2x1x2-(x1x2)2=3k-1-2(k-2)-(k-2)2=-7，
解得：k=6或k=-1（舍）
故答案为：6.
【分析】根据方程有两个实数根求出k≤7，然后根据根与系数的关系得到x1+x2=-，x1x2=k-2，然后根据完全平方公式变形，整体代入得到关于k的方程求出可得值并检验解答即可.
15．【答案】330
【知识点】平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，
在四边形ABCD中， 由密铺，可得
∠ABC+2∠ADC+2×90°=360°
所以，解得
所以x+y=360-90-45=225.
设直角三角形较小的锐角为 较大的锐角为 则a+b=90，
由密铺，可得
，解得
所以x+2y=330.
故答案为：330°，
【分析】先根据密铺得到∠ABC=90°，∠ADC=45°，然后根据在点C和A处的密铺列方程组求出x和y的值，代入计算即可.
16．【答案】或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：若折痕EF将纸片ABCD分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为1：3，
如图2-1，取AD的中点M， BC的中点N，连接MN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形CDMN是平行四边形，四边形ABNM是平行四边形，
∴平行四边形CDMN的面积与平行四边形ABNM的面积的比为1：1，
连接BM，AN，交于点K，当EF过点K时，四边形EFNM的面积与四边形ABFE的面积的比为1：1，
∴四边形ABFE的面积与四边形EFCD的面积的比为1： 3，
当BC⊥EF时， EF取最小值，
作 交DA延长线于点H，则.
∴当 时， 此时EF最小，
如图2-2， 取AB的中点P， CD的中点Q， 连接PQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB， CD=AB，
∴四边形PBCQ是平行四边形，四边形APQD是平行四边形，
，平行四边形APQD的面积与平行四边形PBCQ的面积的比为1：1，
连接AQ，DP，交于点T，当EF过点T时，四边形ADFE的面积与四边形EFQP的面积的比为1：1，
∴四边形ADFE的面积与四边形EFCB的面积的比为1： 3，
作 交DA延长线于点R，作 于点S，则
∵AD∥PQ，
∴∠R+∠RPS=180°，
∴∠RPS=180°-90°=90°，
∴四边形ASPR为矩形，
∴折痕EF长的取值范围是 或
故答案为： 或
【分析】取AD的中点M， BC的中点N，连接MN，连接BM， AN，交于点K，取AB的中点P， CD的中点Q，连接PQ，连接AQ， DP，交于点T，当EF过点K或当EF过点T时，折痕EF将纸片ABCD分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为1：3，分别求出每种情况对应的EF的取值范围即可.
17．【答案】（1）原式
（2）原式
＝12﹣1
＝12﹣1﹣4
＝7
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先运算二次根式的乘除法，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差公式计算，同时计算二次根式的乘法，然后加减解答即可.
18．【答案】（1），
，
，
解得：
（2）（2x﹣1）2﹣3（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（2x﹣1﹣3）＝0，
（2x﹣1）（2x﹣4）＝0，
则2x﹣1＝0或2x﹣4＝0，
解得，x2＝2．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项、添加一次项系数一半的平方，然后利用开平方法解方程即可；
（2）先移项，再提取公因式(2x-1)分解因式，利用因式分解法解方程即可.
19．【答案】（1）90；93
（2）下四分位数m25为，
上四分位数m75为
作图如下：
（3）八年级平均数：，
离差平方和：（70﹣87）2+（77﹣87）2+（79﹣87）2+（81﹣87）2+（88﹣87）2+（89﹣87）2+（91﹣87）2+（92﹣87）2+（93﹣87）2+（93﹣87）2+（95﹣87）2+（96﹣87）2＝752．
【知识点】平均数及其计算；中位数；离差平方和；箱线图；四分位数
【解析】【解答】解： (1)八年级成绩排序： 70， 77， 79， 81， 88， 89， 91， 92， 93， 93， 95， 96.
中位数 众数c=93.
故答案为： 90； 93；
【分析】(1)将八年级成绩排序，进而根据中位数和众数的定义作答即可；
(2)将七年级成绩排序，求出下四分位数、上四分位数，求出中位数，进而作图即可；
(3)先求出平均数，再计算离差平方和即可.
20．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】(1)由平行四边形的定义，两组对边分别平行，即可画出正确的平行四边形；
(2)根据菱形的定义，四边相等，即可画出顶点均在格点上的菱形CGDH；
(3)根据题意分别作出对角线为3，对角线上高为1的平行四边形即可.
21．【答案】（1）证明：∵DF＝BF，
∴点F是DB的中点．
∵点E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥AD．且，
∵点C在EF的延长线上，
∴CF∥AD．
∵CF＝AD，
∴四边形AFCD为平行四边形
（2）解：由（1）可知EF∥AD．且，
∴AD＝2EF＝2．
∵，
∴，
∵CE⊥DB于点F，
∴．
∴．
∵．
∴．
∴AC＝2OA＝5．
∴AC的长是5．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据题意推出EF是 的中位线，进而推出CFlAD，再结合CF=AD即可可得出四边形AFCD为平行四边形.
(2)根据题意推出AD=2EF=2，结合线段中点的特点推出 利用勾股定理求出BD，进而得到 再结合平行线性质和勾股定理求出OA，即可得到AC.
22．【答案】（1）解：设苹果的单价为x元，桃李的单价为y元；
，
∴，
∴苹果的单价为8元，桃李的单价为10元，
答：苹果的单价为8元，桃李的单价为10元
（2）依题意，，
整理得，5a2﹣36a+31＝0，
即（5a﹣31）（a﹣1）＝0，
则（故舍去），
∴当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入2930元，
答：当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入2930元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设苹果的单价为x元，桃李的单价为y元，根据“销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元”列方程求出x和y的值解答即可；
（2）根据总利润等于苹果和桃李降价后的的利润乘以销售量的和列方程求出a的值解答即可.
23．【答案】（1）
（2）
（3）∵a+b≥2（a，b≥0，当且仅当“a＝b”时，等号成立）
∴设m（m≥0），则x＝m2﹣2，
∴
＝m+2
＝（m+1）1≥21＝2+1+3．
当且仅当m+1，即（m+1）2＝1，
解得：m＝0（因为m≥0，故m＝﹣2舍去）．
∵m0，
∴x＝﹣2．
综上，当x＝﹣2时，式子有最小值3．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
【分析】（1）根据题目所给方法改写为平方式即可；
（2）先把被开方数写成完全平方的形式，然后利用二次根式的性质化简即可；
（3）设m，则x＝m2﹣2，然后原分式化为m+2，然后根据均值不等式求出最小值解答即可.
24．【答案】（1）证明：∵ 点B关于AE的对称点B'落在DE上，
∴∠BEA＝∠AED，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝ED
（2）①过点B作BM⊥直线AD于M，
∵AD∥BC，∠ABC＝45°，BC＝4
∴∠MAB＝45°，AD＝4
∵
∴AM＝BM＝2
∴BD＝2
∵点B的对称点在OD上
∴EF⊥BD
∵F与A重合，
∴=
∴
∴，
∵，
∴，
∴
设=5x，则，
在直角三角形BOE中，
解得x=
∴=
②2+2
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（2）②设AE与BD交于点M，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EG⊥AD于点G，过点B作BN⊥AD于点N，连接DE，
∵∠ABC＝45°，AB＝AE
∴∠BAE=90°，
∵，
∴AE＝，
∵AH⊥BC，
∴BE＝2AH，
∵ ABCD，EG⊥AD，
∴EG＝AH，
∵点B的对称点在OD上，
∴EF⊥BD，
∵ODOB，
∴BE＝DE，
∴DE＝2EG，
∴∠ADE＝30°，
∴∠DBE＝15°，∠ABD＝30°，
∴，∠AMB＝∠OME＝60°，
∴，∠OEM＝30°，
，
∴，
，
易知AN＝BN＝2，
∴DN==4+2，
∴BC=AD=4+2-2=2+2.
故答案为：2+2.
【分析】（1）根据轴对称的性质得到BEA＝∠AED，再根据平行四边形的性质可得∠DAE＝∠BEA，即可得到∠DAE＝∠DEA，根据等角对等边证明即可；
（2）①过点B作BM⊥直线AD于M，根据勾股定理求出AM和BM长，进而求出BD长，然后根据对称的性质和勾股定理求出BO长，再利用△ABE的面积和勾股定理求出BE长即可；
②设AE与BD交于点M，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EG⊥AD于点G，过点B作BN⊥AD于点N，连接DE，先求出∠BAE=90°，根据三线合一得到BE＝2AH，然后得到∠ADE＝30°，根据勾股定理求出AM长，即可求出EM长，根据平行四边形的性质即可求出BD长，然后根据勾股定理求出DN，再根根据线段的和差解答即可.
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