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浙江绍兴市嵊州市2026年初中毕业生学业水平调测数学试卷（二模）
1．下列四个数，是2026的相反数的是（　　）
A．-2026 B． C．|2026| D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解： 2026的相反数是-2026.
故选： A.
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案.
2．春晚是中国除夕夜的新民俗，更是连接全球华人的文化纽带.下列四个图标分别是2023年~2026年的春晚图标，其中是中心对称图形的图标是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项C：将选项A的图标绕着某一个点旋转 后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形.
选项A，选项B，选项D：将选项中的图标绕着某一个点旋转 后，旋转后的图形不能与原来的图形重合，都不是中心对称图形.
故选： C.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.根据中心对称的概念，对选项的图片进行分析即可.
3．为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有羽毛球，乒乓球，花样跳绳，踢毽子这4种体育类活动供学生选择，若小嵊在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵共4种体育项目，
∴小嵊在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是
故选： B.
【分析】根据概率公式计算即可.
4．如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从前面看得到的平面图形是：
故选： A.
【分析】根据从前面看到的几何图形解答即可.
5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．a-b>0 B．a+b<0 C．ab<0 D．|a|>|b|
【答案】C
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得-2∴|a|<|b|，a-b<0，ab<0，
∴a+b>0，
故答案为：C.
【分析】根据数轴上点的位置得到-26．如图，以∠A的顶点A为圆心，以适当长度为半径作圆弧交∠A的两边于B，C两点，再分别以点B和点 C为圆心，以AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠A内一点O，连接BO，CO.若∠A=35°，则∠ACO的度数是（　　）
A．130° B．135° C．140° D．145°
【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可知AB=AC=BO=CO，
∴四边形ABOC是菱形，
故选： D.
【分析】证明四边形ABOC是菱形，推出 再利用平行线的性质求解.
7．已知反比例函数 下列说法正确的是（　　）
A．该函数图象分别位于第一、三象限
B．函数图象经过点(-2，-3)
C．当x>0时，y随x的增大而减小
D．若该函数图象有点(-1，y1)，(2，y2)，则y1>y2
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数
∴该函数图象位于第二、四象限，故选项A错误，不符合题意；
函数图象经过点((-2，3)， ，故选项B错误，不符合题意；
当x>0时，y随x的增大而增大，故选项C错误，不符合题意；
若该函数图象有点( 则 故选项D正确，符合题意；
故选： D.
【分析】根据反比例函数的解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确.
8．如图，小州参加定向跑比赛，从A地沿北偏东50°方向到 B地，再从B地沿北偏西25°方向到C地.经C地后为了与AB的方向保持一致，则应从C地跑的方向是（　　）
A．北偏东25° B．北偏东50° C．北偏东70° D．北偏东75°
【答案】B
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：∵保持与AB的方向一致，
∴从C地沿北偏东 方向跑.
故答案为：B.
【分析】根据方向角的定义可得答案.
9．如图，在矩形ABCD中， AB=3， BC=5，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别与边AD， BC交于点 E， F，若∠EFB=45°，则AE的长是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作AH∥EF，交 BC于点H，如图所示：
∵∠EFB=45°，
∴∠AHB=∠EFB=45°，
∵四边形ABCD是矩形，且AB=3， BC=5，
∴AD∥BC， ∠B=90°，
∴∠OCF=∠OAE， ∠OFC=∠OEA，
∵点O是AC的中点，
∴OC=OA，
在△OCF和△OAE中，
∴△OCF≌△OAE(AAS)，
∴CF=AE，
在四边形AEFH中， AH∥EF， AD∥BC，
∴四边形AEFH是平行四边形，
∴AE=HF，
∴CH=HF+CF=2AE
在△ABH中， ∠B=90°， ∠AHB=45°，
是等腰直角三角形，
故选： B.
【分析】过点A作AH∥EF，交 BC于点H，则 5°，证明△OCF和△OAE全等得CF=AE，再证明四边形AEFH是平行四边形得AE=HF，由此得(CH=HF+CF=2AE然后证明△ABH是等腰直角三角形得HB=AB=3，进而得CH=2，据此可得AE的长.
10． 学习了直角三角形中的性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后，小越进行了思考：在 Rt△ABC中， ∠C=90°， D为AB上一点(不与点A， B重合)，连结 CD，得到以下三个结论：
①若BD=CD，则D为斜边AB 的中点.
②若 则D为斜边AB的中点.
③若△ACD和△BCD均为等腰三角形，则D为斜边AB的中点.
其中一定正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的两锐角互余；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，
∵BD=CD，
∴∠B=∠DCB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠A=∠ACD，
∴DA=DC，
∴AD=DB，即D为AB的中点，故①正确；
如图，以点C为圆心，为半径作弧，当大于AB边上的高而小于AC、BC中的较小边长时，交AB边于点D1，D2两点，则D不一定为斜边AB的中点，故②错误；
若 和 均为等腰三角形，需分情况讨论：
设 则 ，
若CD=AD，则
对于 要使其为等腰三角形，可能CD=BD或BC=BD或BC=CD。
当CD=BD，则 此时 且AD=CD=BD，D为中点。
当CD=BD，∠CBD=∠BDC=2α，即90°-α=2α，解答α=30°，即∠CDB=60°， 为等边三角形，即点D为AB中点；
当BC=CD，则∠DCB=2α，则∠B=180°-4α，即可得到180°-4α=2α，解得α=30°，即∠CDB=60°， 为等边三角形，即点D为AB中点；
若AC=CD=AB时，三角形不存在；
当AC=AD，BC=BD时，∠ADC+∠BDC=∠ACD+∠BCD=90°，不符合题意；
故若△ACD和△BCD均为等腰三角形，则D为斜边AB的中点.故③正确；
故选：C。
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠DCB，然后根据等角的余角相等得到∠A=∠ACD，即可得到DA=DB=DC，故①正确；举反例判断②；分情况根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质分情况推理判断③解答即可.
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
【答案】x≥-1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解得，
故答案为：x≥-1.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+1≥0，求解即可.
12．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种油菜的长势，数学兴趣小组从两种油菜中各随机抽取10株进行测量，测得两种油菜苗高的平均数相同，方差分别为 则这两种油菜长势更整齐的是　 　(填“甲”或“乙”).
【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：
∴这两种油菜长势更整齐的是甲，
故答案为：甲.
【分析】比较甲，乙的方差，根据方差晓得长势整齐解答即可.
13．已知关于x的一元二次方程x(x-2)=x-2，则该一元二次方程的解为　 　.
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程整理得：
x(x-2)-(x-2)=0，
或
故答案为：
【分析】直接移项，然后利用因式分解法求解即可.
14．已知二次函数 (c为常数)，若其图象上有两点A(m-2， n)， B(m+2， n)，则m的值是　 　.
【答案】2
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数 (c为常数)的对称轴为直线x=x=
∵图象上有两点A(m-2，n)，B(m+2，n)，
故答案为：2.
【分析】利用二次函数的对称性即可求解.
15．如图，在⊙O 中，弦 AB，AC 分别是⊙O 的内接正三角形和内接正方形的一条边，连结BC，BC也是⊙O的内接正n边形的一条边，则n的值是　 　.
【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解： 连接OA、OB、OC， 如图，
∵AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边.
故答案为：12.
【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到. 则 即可得到n的值.
16．已知，在直角三角形ABC中， ∠C=90°， AC=4，将AB绕点A逆时针旋转90°得到AD，将△ABC沿AB 翻折得到△ABE，连结 BD， DE，记△BDE的面积为S， BC的长度为x，当 时，x的取值范围是　 　.
【答案】1≤x≤3或.
【知识点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；二次函数-动态几何问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；四点共圆模型
【解析】【解答】如图，过点D作BE的垂线段DF，连接EF、AF.
四点共圆
、
则，当时，
令，则
解得：或（舍）
在直线的右侧S随x的增大而增大
当时
当时，
令，则
解得：或
在直线的左侧S随x的增大而增大，在的右侧S随x的增大而减小
当时
综上，当时或
【分析】
如图所示，过点D作BE的垂线段交BE的延长线于点F，则由题意知A、B、F、D四点共圆，由于已知是等腰直角三角形且，则，再由圆周角定理结合折叠知的性质可得也是等腰直角三角形，则EF＝AE＝AC＝4、BE＝BC＝x，再利用勾股定理结合整式的混合运算、绝对值的意义可得，此时再进行分类讨论，即当或时，再利用三角形面积公式可得S是x的二次函数，再利用二次函数的性质结合二次函数图象上点的坐标特征即可求得相应的自变量x的取值范围.
17．计算：
【答案】解：
=1.5
【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据有理数的乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值计算，再根据有理数的加减法则计算即可.
18． 解方程：
【答案】解：去分母得： x-2(x-1)=-3
去括号得：x-2x+2=-3
移项得：-x=-5
x=5
经检验：x=5是原方程的解.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】首先将方程右边分式变形，使分母与左边相同，然后通过去分母转化为整式方程求解，最后检验解是否合法.
19．某校为了解九年级同学的中考体育考试准备情况，随机抽查该年级部分学生进行体育模拟测试，根据测试成绩(单位：分)分为四个类别： A(38根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为　 　.
（2）扇形统计图中圆心角β的度数为　 　.
（3）若九年级有600名学生，估计测试成绩大于34分的学生有多少名
【答案】（1）60
（2）144°
（3）解：B组的人数为：(60-18-6-12=24(名)，
(名)，
答：估计测试成绩大于34分的学生有420名.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)本次抽样的人数为 (人)
∴样本容量为60，
故答案为：60；
(2)扇形统计图中圆心角β的度数为：
故答案为： 144；
【分析】(1)根据A组的人数和百分比即可求出样本容量；
(2)根据B组所占的百分比即可求出对应的圆心角；
(3)先算出大于34分的学生的百分比，再估计九年级成绩大于34分的学生的人数.(3)
20．小嵊和小州去某风景区游览，约好在飞瀑见面.上午9∶00，小嵊乘电动汽车从古刹出发，沿风景区公路(如图1)去飞瀑，同时，小州从塔林出发，骑电动自行车沿景区公路去飞瀑.两人离开古刹的路程s(km)与行驶的时间 t(h)的图象如图2所示.
（1）当小嵊追上小州时，求他们与草甸相距多少千米.
（2）求小州到达飞瀑时的时刻.
【答案】（1）解：由图象知，小嵊的速度为：45÷1.5=30(km/h)，
小嵊1h所走的路程：30×1=30(km)，
1h后距离草甸的距离：10+25-30=5(km)，
答：当小嵊追上小州时，他们与草甸相距5千米；
（2）解：设小州离开古刹的路程s(km)与行驶的时间t(h)的解析式为：s=kt+b，
把(0， 10)， (1， 30)代入得：
解得
所以s=20t+10，
当s=45时，t=1.75.
所以9+1.75=10.75.
答：小州到达飞瀑时的时刻为10时45分.
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据图象所示信息，由路程，速度，时间之间的关系求解即可；
(2)用待定系数法求出函数解析式，再把s=45代入解析式求出t即可.
21．已知：如图，点A，B，D在同一条直线上，
（1）求证：BE=BC.
（2）若 求tan∠1的值.
【答案】（1）证明：因为∠A=∠D=90°， AC=BD， ∠1=∠2.
所以△ABC≌△DEB.
所以BE=BC.
（2）解：因为∠1+∠ABC=90°， ∠1=∠2，
所以∠2+∠ABC=90°，
所以∠EBC=90°，
因为
所以
因为AB=4， ∠A=90°，
所以AC=3，
所以
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；求正切值
【解析】【分析】(1)根据ASA证明 可得出结论；
(2)证明 得出三角形EBC是等腰直角三角形，据此解答.
22．【主题】研究幻方
【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方(图1)，将9个数填在3×3 (三行三列)的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方.
【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍.
小嵊给出了数学证明：
如图2，设这9个数依次为a， b， c， d， e， f， g， h， i，
因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为S，
则第二行： d+e+f=S①，
第二列： b+e+h=S②，
对角线分别： a+e+i=S③， c+e+g=S④，
将①+②+③+④，得： a+b+c+d+4e+f+g+h+i=4S
……
所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍.
（1）请完成“……”中小嵊未显示的推理过程.
（2）利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中a， b， c之间的关系.
【答案】（1）解：因为a+b+c=S， d+e+f=S， g+h+i=S，
所以3S+3e=4S，
所以S=3e.
（2）解：如图，设中间格的值为x，
利用上述结论，则每行，每列，每条对角线的和为3x，则有
所以3x-c+a=3x-a+b，
即2a=b+c.
　 b 3x-a
3x-c x c
a 　 　
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【分析】（1）根据每一行的三个数的和为S，代入整理即可；
（2）设中间格的值为x，根据每行，每列，每条对角线的和为3x，列等式得到a，b，c的关系式即可.
23．已知二次函数 (a为常数且a≠0).
（1）求该二次函数图象的对称轴.
（2）当时，y有最小值-2，求a的值.
（3）若 在该函数图象上，当 时，总有 求a的取值范围.
【答案】（1）解：由条件可知抛物线的对称轴为直线
∴点 关于直线x=2对称.

（2）解：因为对称轴是直线x=2，且0≤x≤1在x≤2的范围内， y有最小值，
当a>0时，
当x=1时， y有最小值-2，即图象经过(1， - 2)，代入得：
a-4a-1=-2，
所以
当a<0时，
当x=0时， y有最小值-2，即图象经过(0， -2)，
与图象经过(0，-1)矛盾，不存在
（3）解：①当a>0时，
因为对称轴是直线x=2，所以当x≥2时，y随x的增大而增大，
因为 总成立，点(x1，y1)的横坐标a关于直线x=2的对称点的横坐标是4-a，
所以4-a≤a+2，即a≥1.
②当a<0时，
对称轴是直线x=2，所以当x≤2时，y随x的增大而增大，
因为 总成立，点(x2，y2)的横坐标(a+3)关于直线x=2的对称点的横坐标是1-a，
所以1-a≥a+2，即
综上， a≥1或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)求出抛物线的对称轴为直线x=2，再结合 得出点 关于直线x=2对称，即可得出结果；
(2)分为a>0或a<0两种情况，根据二次函数的增减性得到最小值，列方程求出a的值解答即可；
(3)分两种情况：若a>0，则a+2>2；若a<0，则a+2<2；结合二次函数的增减性，计算即可得出结果.
24．如图，在 中， 以AB为直径作⊙O交AC于点D，E是⊙O上一点，连结ED交AB于点 F，连结 EB， BD，AD=3.
（1）若 求DC的长.
（2）若
①求证：BE=DE.
②记 和 的面积分别为S1和 求 的值.
【答案】（1）解：因为AB是⊙O的直径，
所以∠ADB=90°.
因为∠ABC=90°， ∠A=60°， AD=3，
所以∠ABD=∠ACB=30°.
所以AB=2AD=6， AC=2AB=12，
所以CD=12-3=9.
（2）解：①设∠ABE=x°，
则∠ADE=∠ABE=x°， ∠A=∠E=2x°，
所以∠EDB=90°-x°，
所以
所以∠EDB=∠EBD，
所以EB=ED.
②连结EO并延长交BD于点 G.
因为EB=ED，所以EB=ED，
所以EG⊥BD， BG=DG.
因为O是AB的中点，
所以 设OE=OB=r，
则有 解得：
因为△AFD∽△OFE，
所以
所以
所以
因为△AFD∽△EFB，
所以
所以
【知识点】含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，根据 直角三角形的性质即可得解；
(2)①设∠ABE=x°，即可得到 根据等角对等边证明即可；
②连结EO并延长交BD于点G，双勾股可求半径，再证 导边可得
再证 可得 即可得解.
1 / 1浙江绍兴市嵊州市2026年初中毕业生学业水平调测数学试卷（二模）
1．下列四个数，是2026的相反数的是（　　）
A．-2026 B． C．|2026| D．
2．春晚是中国除夕夜的新民俗，更是连接全球华人的文化纽带.下列四个图标分别是2023年~2026年的春晚图标，其中是中心对称图形的图标是（　　）
A． B．
C． D．
3．为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有羽毛球，乒乓球，花样跳绳，踢毽子这4种体育类活动供学生选择，若小嵊在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．a-b>0 B．a+b<0 C．ab<0 D．|a|>|b|
6．如图，以∠A的顶点A为圆心，以适当长度为半径作圆弧交∠A的两边于B，C两点，再分别以点B和点 C为圆心，以AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠A内一点O，连接BO，CO.若∠A=35°，则∠ACO的度数是（　　）
A．130° B．135° C．140° D．145°
7．已知反比例函数 下列说法正确的是（　　）
A．该函数图象分别位于第一、三象限
B．函数图象经过点(-2，-3)
C．当x>0时，y随x的增大而减小
D．若该函数图象有点(-1，y1)，(2，y2)，则y1>y2
8．如图，小州参加定向跑比赛，从A地沿北偏东50°方向到 B地，再从B地沿北偏西25°方向到C地.经C地后为了与AB的方向保持一致，则应从C地跑的方向是（　　）
A．北偏东25° B．北偏东50° C．北偏东70° D．北偏东75°
9．如图，在矩形ABCD中， AB=3， BC=5，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别与边AD， BC交于点 E， F，若∠EFB=45°，则AE的长是（　　）
A． B．1 C． D．
10． 学习了直角三角形中的性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后，小越进行了思考：在 Rt△ABC中， ∠C=90°， D为AB上一点(不与点A， B重合)，连结 CD，得到以下三个结论：
①若BD=CD，则D为斜边AB 的中点.
②若 则D为斜边AB的中点.
③若△ACD和△BCD均为等腰三角形，则D为斜边AB的中点.
其中一定正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
12．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种油菜的长势，数学兴趣小组从两种油菜中各随机抽取10株进行测量，测得两种油菜苗高的平均数相同，方差分别为 则这两种油菜长势更整齐的是　 　(填“甲”或“乙”).
13．已知关于x的一元二次方程x(x-2)=x-2，则该一元二次方程的解为　 　.
14．已知二次函数 (c为常数)，若其图象上有两点A(m-2， n)， B(m+2， n)，则m的值是　 　.
15．如图，在⊙O 中，弦 AB，AC 分别是⊙O 的内接正三角形和内接正方形的一条边，连结BC，BC也是⊙O的内接正n边形的一条边，则n的值是　 　.
16．已知，在直角三角形ABC中， ∠C=90°， AC=4，将AB绕点A逆时针旋转90°得到AD，将△ABC沿AB 翻折得到△ABE，连结 BD， DE，记△BDE的面积为S， BC的长度为x，当 时，x的取值范围是　 　.
17．计算：
18． 解方程：
19．某校为了解九年级同学的中考体育考试准备情况，随机抽查该年级部分学生进行体育模拟测试，根据测试成绩(单位：分)分为四个类别： A(38根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为　 　.
（2）扇形统计图中圆心角β的度数为　 　.
（3）若九年级有600名学生，估计测试成绩大于34分的学生有多少名
20．小嵊和小州去某风景区游览，约好在飞瀑见面.上午9∶00，小嵊乘电动汽车从古刹出发，沿风景区公路(如图1)去飞瀑，同时，小州从塔林出发，骑电动自行车沿景区公路去飞瀑.两人离开古刹的路程s(km)与行驶的时间 t(h)的图象如图2所示.
（1）当小嵊追上小州时，求他们与草甸相距多少千米.
（2）求小州到达飞瀑时的时刻.
21．已知：如图，点A，B，D在同一条直线上，
（1）求证：BE=BC.
（2）若 求tan∠1的值.
22．【主题】研究幻方
【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方(图1)，将9个数填在3×3 (三行三列)的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方.
【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍.
小嵊给出了数学证明：
如图2，设这9个数依次为a， b， c， d， e， f， g， h， i，
因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为S，
则第二行： d+e+f=S①，
第二列： b+e+h=S②，
对角线分别： a+e+i=S③， c+e+g=S④，
将①+②+③+④，得： a+b+c+d+4e+f+g+h+i=4S
……
所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍.
（1）请完成“……”中小嵊未显示的推理过程.
（2）利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中a， b， c之间的关系.
23．已知二次函数 (a为常数且a≠0).
（1）求该二次函数图象的对称轴.
（2）当时，y有最小值-2，求a的值.
（3）若 在该函数图象上，当 时，总有 求a的取值范围.
24．如图，在 中， 以AB为直径作⊙O交AC于点D，E是⊙O上一点，连结ED交AB于点 F，连结 EB， BD，AD=3.
（1）若 求DC的长.
（2）若
①求证：BE=DE.
②记 和 的面积分别为S1和 求 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解： 2026的相反数是-2026.
故选： A.
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案.
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项C：将选项A的图标绕着某一个点旋转 后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形.
选项A，选项B，选项D：将选项中的图标绕着某一个点旋转 后，旋转后的图形不能与原来的图形重合，都不是中心对称图形.
故选： C.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.根据中心对称的概念，对选项的图片进行分析即可.
3．【答案】B
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵共4种体育项目，
∴小嵊在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是
故选： B.
【分析】根据概率公式计算即可.
4．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从前面看得到的平面图形是：
故选： A.
【分析】根据从前面看到的几何图形解答即可.
5．【答案】C
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得-2∴|a|<|b|，a-b<0，ab<0，
∴a+b>0，
故答案为：C.
【分析】根据数轴上点的位置得到-26．【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可知AB=AC=BO=CO，
∴四边形ABOC是菱形，
故选： D.
【分析】证明四边形ABOC是菱形，推出 再利用平行线的性质求解.
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数
∴该函数图象位于第二、四象限，故选项A错误，不符合题意；
函数图象经过点((-2，3)， ，故选项B错误，不符合题意；
当x>0时，y随x的增大而增大，故选项C错误，不符合题意；
若该函数图象有点( 则 故选项D正确，符合题意；
故选： D.
【分析】根据反比例函数的解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确.
8．【答案】B
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：∵保持与AB的方向一致，
∴从C地沿北偏东 方向跑.
故答案为：B.
【分析】根据方向角的定义可得答案.
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作AH∥EF，交 BC于点H，如图所示：
∵∠EFB=45°，
∴∠AHB=∠EFB=45°，
∵四边形ABCD是矩形，且AB=3， BC=5，
∴AD∥BC， ∠B=90°，
∴∠OCF=∠OAE， ∠OFC=∠OEA，
∵点O是AC的中点，
∴OC=OA，
在△OCF和△OAE中，
∴△OCF≌△OAE(AAS)，
∴CF=AE，
在四边形AEFH中， AH∥EF， AD∥BC，
∴四边形AEFH是平行四边形，
∴AE=HF，
∴CH=HF+CF=2AE
在△ABH中， ∠B=90°， ∠AHB=45°，
是等腰直角三角形，
故选： B.
【分析】过点A作AH∥EF，交 BC于点H，则 5°，证明△OCF和△OAE全等得CF=AE，再证明四边形AEFH是平行四边形得AE=HF，由此得(CH=HF+CF=2AE然后证明△ABH是等腰直角三角形得HB=AB=3，进而得CH=2，据此可得AE的长.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的两锐角互余；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，
∵BD=CD，
∴∠B=∠DCB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠A=∠ACD，
∴DA=DC，
∴AD=DB，即D为AB的中点，故①正确；
如图，以点C为圆心，为半径作弧，当大于AB边上的高而小于AC、BC中的较小边长时，交AB边于点D1，D2两点，则D不一定为斜边AB的中点，故②错误；
若 和 均为等腰三角形，需分情况讨论：
设 则 ，
若CD=AD，则
对于 要使其为等腰三角形，可能CD=BD或BC=BD或BC=CD。
当CD=BD，则 此时 且AD=CD=BD，D为中点。
当CD=BD，∠CBD=∠BDC=2α，即90°-α=2α，解答α=30°，即∠CDB=60°， 为等边三角形，即点D为AB中点；
当BC=CD，则∠DCB=2α，则∠B=180°-4α，即可得到180°-4α=2α，解得α=30°，即∠CDB=60°， 为等边三角形，即点D为AB中点；
若AC=CD=AB时，三角形不存在；
当AC=AD，BC=BD时，∠ADC+∠BDC=∠ACD+∠BCD=90°，不符合题意；
故若△ACD和△BCD均为等腰三角形，则D为斜边AB的中点.故③正确；
故选：C。
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠DCB，然后根据等角的余角相等得到∠A=∠ACD，即可得到DA=DB=DC，故①正确；举反例判断②；分情况根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质分情况推理判断③解答即可.
11．【答案】x≥-1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解得，
故答案为：x≥-1.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+1≥0，求解即可.
12．【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：
∴这两种油菜长势更整齐的是甲，
故答案为：甲.
【分析】比较甲，乙的方差，根据方差晓得长势整齐解答即可.
13．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程整理得：
x(x-2)-(x-2)=0，
或
故答案为：
【分析】直接移项，然后利用因式分解法求解即可.
14．【答案】2
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数 (c为常数)的对称轴为直线x=x=
∵图象上有两点A(m-2，n)，B(m+2，n)，
故答案为：2.
【分析】利用二次函数的对称性即可求解.
15．【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解： 连接OA、OB、OC， 如图，
∵AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边.
故答案为：12.
【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到. 则 即可得到n的值.
16．【答案】1≤x≤3或.
【知识点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；二次函数-动态几何问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；四点共圆模型
【解析】【解答】如图，过点D作BE的垂线段DF，连接EF、AF.
四点共圆
、
则，当时，
令，则
解得：或（舍）
在直线的右侧S随x的增大而增大
当时
当时，
令，则
解得：或
在直线的左侧S随x的增大而增大，在的右侧S随x的增大而减小
当时
综上，当时或
【分析】
如图所示，过点D作BE的垂线段交BE的延长线于点F，则由题意知A、B、F、D四点共圆，由于已知是等腰直角三角形且，则，再由圆周角定理结合折叠知的性质可得也是等腰直角三角形，则EF＝AE＝AC＝4、BE＝BC＝x，再利用勾股定理结合整式的混合运算、绝对值的意义可得，此时再进行分类讨论，即当或时，再利用三角形面积公式可得S是x的二次函数，再利用二次函数的性质结合二次函数图象上点的坐标特征即可求得相应的自变量x的取值范围.
17．【答案】解：
=1.5
【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据有理数的乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值计算，再根据有理数的加减法则计算即可.
18．【答案】解：去分母得： x-2(x-1)=-3
去括号得：x-2x+2=-3
移项得：-x=-5
x=5
经检验：x=5是原方程的解.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】首先将方程右边分式变形，使分母与左边相同，然后通过去分母转化为整式方程求解，最后检验解是否合法.
19．【答案】（1）60
（2）144°
（3）解：B组的人数为：(60-18-6-12=24(名)，
(名)，
答：估计测试成绩大于34分的学生有420名.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)本次抽样的人数为 (人)
∴样本容量为60，
故答案为：60；
(2)扇形统计图中圆心角β的度数为：
故答案为： 144；
【分析】(1)根据A组的人数和百分比即可求出样本容量；
(2)根据B组所占的百分比即可求出对应的圆心角；
(3)先算出大于34分的学生的百分比，再估计九年级成绩大于34分的学生的人数.(3)
20．【答案】（1）解：由图象知，小嵊的速度为：45÷1.5=30(km/h)，
小嵊1h所走的路程：30×1=30(km)，
1h后距离草甸的距离：10+25-30=5(km)，
答：当小嵊追上小州时，他们与草甸相距5千米；
（2）解：设小州离开古刹的路程s(km)与行驶的时间t(h)的解析式为：s=kt+b，
把(0， 10)， (1， 30)代入得：
解得
所以s=20t+10，
当s=45时，t=1.75.
所以9+1.75=10.75.
答：小州到达飞瀑时的时刻为10时45分.
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据图象所示信息，由路程，速度，时间之间的关系求解即可；
(2)用待定系数法求出函数解析式，再把s=45代入解析式求出t即可.
21．【答案】（1）证明：因为∠A=∠D=90°， AC=BD， ∠1=∠2.
所以△ABC≌△DEB.
所以BE=BC.
（2）解：因为∠1+∠ABC=90°， ∠1=∠2，
所以∠2+∠ABC=90°，
所以∠EBC=90°，
因为
所以
因为AB=4， ∠A=90°，
所以AC=3，
所以
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；求正切值
【解析】【分析】(1)根据ASA证明 可得出结论；
(2)证明 得出三角形EBC是等腰直角三角形，据此解答.
22．【答案】（1）解：因为a+b+c=S， d+e+f=S， g+h+i=S，
所以3S+3e=4S，
所以S=3e.
（2）解：如图，设中间格的值为x，
利用上述结论，则每行，每列，每条对角线的和为3x，则有
所以3x-c+a=3x-a+b，
即2a=b+c.
　 b 3x-a
3x-c x c
a 　 　
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【分析】（1）根据每一行的三个数的和为S，代入整理即可；
（2）设中间格的值为x，根据每行，每列，每条对角线的和为3x，列等式得到a，b，c的关系式即可.
23．【答案】（1）解：由条件可知抛物线的对称轴为直线
∴点 关于直线x=2对称.

（2）解：因为对称轴是直线x=2，且0≤x≤1在x≤2的范围内， y有最小值，
当a>0时，
当x=1时， y有最小值-2，即图象经过(1， - 2)，代入得：
a-4a-1=-2，
所以
当a<0时，
当x=0时， y有最小值-2，即图象经过(0， -2)，
与图象经过(0，-1)矛盾，不存在
（3）解：①当a>0时，
因为对称轴是直线x=2，所以当x≥2时，y随x的增大而增大，
因为 总成立，点(x1，y1)的横坐标a关于直线x=2的对称点的横坐标是4-a，
所以4-a≤a+2，即a≥1.
②当a<0时，
对称轴是直线x=2，所以当x≤2时，y随x的增大而增大，
因为 总成立，点(x2，y2)的横坐标(a+3)关于直线x=2的对称点的横坐标是1-a，
所以1-a≥a+2，即
综上， a≥1或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)求出抛物线的对称轴为直线x=2，再结合 得出点 关于直线x=2对称，即可得出结果；
(2)分为a>0或a<0两种情况，根据二次函数的增减性得到最小值，列方程求出a的值解答即可；
(3)分两种情况：若a>0，则a+2>2；若a<0，则a+2<2；结合二次函数的增减性，计算即可得出结果.
24．【答案】（1）解：因为AB是⊙O的直径，
所以∠ADB=90°.
因为∠ABC=90°， ∠A=60°， AD=3，
所以∠ABD=∠ACB=30°.
所以AB=2AD=6， AC=2AB=12，
所以CD=12-3=9.
（2）解：①设∠ABE=x°，
则∠ADE=∠ABE=x°， ∠A=∠E=2x°，
所以∠EDB=90°-x°，
所以
所以∠EDB=∠EBD，
所以EB=ED.
②连结EO并延长交BD于点 G.
因为EB=ED，所以EB=ED，
所以EG⊥BD， BG=DG.
因为O是AB的中点，
所以 设OE=OB=r，
则有 解得：
因为△AFD∽△OFE，
所以
所以
所以
因为△AFD∽△EFB，
所以
所以
【知识点】含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，根据 直角三角形的性质即可得解；
(2)①设∠ABE=x°，即可得到 根据等角对等边证明即可；
②连结EO并延长交BD于点G，双勾股可求半径，再证 导边可得
再证 可得 即可得解.
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