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浙江省宁波市鄞州区2026年中考二模考试数学
一、选择题（每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．有理数中，最小的数是（　　）
A．0 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数是：．
故答案为：B．
【分析】正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，据此可得到最小的数
2．中国邮政于2026年1月 5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为（　　)
A． B．2.668×107 C． D．0.2668×108
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 2668万=26680000=2.668×107.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．如图，这是一个机械模具，则它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看可得两个并排放着两个正方形，左边正方形内有一个内切圆．
故答案为：D．
【分析】俯视图：从物体上面所看的平面图形；注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此判断即可.
4．下列各式计算正确的是 （　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则逐项分析判断如下：
故A选项错误，不符合题意；
故B选项错误，不符合题意；
故C选项正确，符合题意；
故D选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算判断即可.
5．某班甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个)及方差（单位：个2)如下表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　)
　 甲 乙 丙 丁
平均数 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：解：由表知，乙、丁跳绳成绩的平均数大于甲、丙，
所以乙、丁两名同学的成绩好，又因为乙跳绳成绩的方差小于丁，所以乙同学成绩好且发挥稳定，
故答案为：B.
【分析】根据方差和平均数的意义求解即可.
6．如图，以点C（-1，0)为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C，若点B的横坐标是-3，点B的对应点B'的横坐标是3，则△ABC与△A'B'C的周长之比为 （　　)
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：1
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E， 过点B'作B'F⊥x轴于点F，
∵以点C(-1， 0)为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C， 点B的横坐标是-3，
∴EC=2，
∵点B的对应点B'的横坐标是3，
∴CF=4，
∴△ABC与△A'B'C的周长之比为： 1： 2.
故答案为：A.
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应线段长进而得出相似比，即可得出周长比.
7．用A，B 两个机器人搬运化工原料，A机器人比B机器人每小时多搬运40kg，A机器人搬运1200kg所用时间与B机器人搬运900kg所用时间相等，设A机器人每小时搬运 xkg化工原料，那么可列方程（　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：解：∵A机器人比B机器人每小时多搬运40kg，且A机器人每小时搬运x kg化工原料，
∴B机器人每小时搬运((x-40)kg化工原料，
根据题意得：
故答案为：A.
【分析】利用A，B两个机器人工作效率间的关系，可得出B机器人每小时搬运((x-40)kg化工原料，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合A机器人搬运1200kg所用时间与B机器人搬运900kg所用时间相等，即可列出关于x的分式方程，此题得解.
8．如图①是一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的.图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计)，若∠ACB=90°， ∠ABC=α，当 时，AB可表示为（　　)
A．hsinα B． C．htanα D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在 中， h，
即
故答案为：B.
【分析】根据正弦三角函数的概念，结合图形，可得到结果.
9．身体质量指数（BMI)是国际常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，其计算公式为： （千克/米2).甲、乙、丙、丁四位同学的体重与他们身高平方的关系示意图如图所示，则BMI指数最大的同学是（　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．T
【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：甲的体重大于乙，丙的体重，身高小于乙，丙两位同学，故甲得BMI值大于乙，丙两人，
甲的体重稍微比丁的轻，但身高明显没有丁的高，故甲得BMI值大于丁，
故答案为：A.
【分析】根据示意图得到四位同学的身高和体重情况，比较解答即可.
10．如图，AB为⊙O的直径，点C在OA上，点E， F为圆上两点，连结EC， FC。连结EF交AB于点D，若∠FCE=90°， CD=3AC=3BD，则cos∠CDF的值为（　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相交弦定理模型；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，分别过点C、O作EF的垂线段CG、OH，再分别连接AF、EB.
设，则.
，即
故答案为：A.
【分析】求∠CDF的余弦值，可先过点C作EF的垂线段CG构造直角三角形CGD，则由射影定理可得CG是FG和EG的比例中项，此时可设BD＝a，则AC＝a、CD＝3a、再由相交弦定理可得DF与ED的乘积等于a方的4倍，再过点O作EF的垂线段OH，则可利用线段的和差关系及平行线分线段成比例定理证明DH＝GH，再由垂径定理可得FG＝ED、DF＝GE，即CG＝2a，再利用勾股定理求出DG，最后再解直角三角形求出∠CDF的余弦值即可.
二、填空题（每小题3分，共18分。)
11．分解因式：xy-x＝　 　．
【答案】x(y－1)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：xy-x＝x(y－1)
故答案为：x(y－1).
【分析】提取公因式x的值即可。
12．不等式组 的解集是　 　.
【答案】x>1
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式2x-1>1得，x>1，
解不等式 得，
所以不等式组的解集为：x>1，
故答案为：x>1.
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可.
13．某学校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小甬同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人课程的概率为　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：用A，B，C分别表示航模、机器人、计算机编程三门特色课程，列表如下：
A B C
A / (A， B) (A， C)
B (B， A) / (B， C)
C (C， A) (C， B) /
∵共有6种等可能的结果，其中恰好选中航模和机器人的结果有2种，
故答案为：
【分析】根据题意，用A，B，C分别表示航模、机器人、计算机编程三门特色课程，列出表格，利用概率公式进行计算即可.
14．如图，△ABC饶点A 按顺时针方向转动50°得△AED，点D恰好在边BC上，则∠ADC=　 　°.
【答案】65
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： 按顺时针方向转动得
AD=AC，
∴，
故答案为：65.
【分析】根据旋转的性质得到∠CAD=50°，AD=AC，然后根据三角形的内角和定理和等边对等角求出∠ADC的度数即可.
15．在平面直角坐标系中，直线y=3x与双曲线 交于A（x1， y)， B（x2， y12)两点. 则 的值为　 　.
【答案】2026
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意，将y=3x代入 得：
或
=2026；
=2026；
故答案为：2026.
【分析】依据题意，将y=3x代入 得： 则 ， 从而. 或 从而计算可以判断得解.
16．如图1，将大正方形纸片裁去一个小正方形，将剩余部分分割为四块图形后，拼成如图2的正方形，则图1大正方形与图2正方形的面积之比为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；图形的剪拼；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，设DF=a，CF=b，
根据图2可得CF=CE=b，BE=BG=a，
∴AG=b，
∴EF=，，，
∴，
根据拼成的图2的正方形的边长相等得到，
解得b=2a，
∴大正方形的边长为3a，面积为9a2，
小正方形的面积为9a2-a2=8a2，
∴ 图1大正方形与图2正方形的面积之比为，
故答案为：.
【分析】设DF=a，CF=b，根据拼接得到CF=CE=b，BE=BG=a，求出EF，EG，AH长，根据AK=EF列方程求出b=2a，表示出两个正方形的面积解答即可.
三、解答题（本大题有8小题，共72分)
17．先化简，再求值： （a+2)（a-2)+a（1-a)，其中a=3。
【答案】解：原式
=a-4，
当a=3时，
原式=3-4=-1.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】原式利用平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值.
18．已知方程组 求xy的值。
【答案】解：
①×2，得4x+2y=8③，
②+③得7x=21，
解得x=3，
把x=3代入①得y=-2，
所以
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】方程组利用加减消元法求出x，y的值，然后代入代数式计算即可.
19．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E是线段AC的中点，连结DE并延长至点F，使EF=DE，连结FC.
（1）求证： △ADE≌△CFE；
（2）若点D为AB的中点， ∠B=65°，求∠F的度数.
【答案】（1）证明：∵ E是线段AC的中点，
∴AE=CE，
∵∠AED=∠CEF， DE=FE，
∴△ADE≌△CFE
（2）解：当点D为AB中点时，
因为E为AC中点，
所以DE为△ABC的中位线，
所以DE∥BC，
所以∠ADE=∠B，
因为△ADE≌△CFE，
所以∠ADE=∠F，
所以∠F=∠ADE=∠B=65°
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）根据SAS得到两三角形全等即可；
（2）先得到DE为△ABC的中位线，即可得到DE∥BC，即可得到∠ADE=∠B，然后根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠F，即可得到∠F=∠ADE=∠B解答即可.
20．随着AI技术的发展，越来越多的人借助AI软件协助办公和学习，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间t（分钟)进行统计调查，记：A组“t<60”，B组“60120”，绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的人数是　 　人，本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在　 　组；
（2）B组所在扇形的圆心角大小是　 　度；
（3）该公司共有800人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少
【答案】（1）200；B
（2）126
（3）解：（人)，答：不少于90分钟的人数是340人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）这次抽样调查的人数是45+22.5%=200 （人)，
B组人数为200-45-60-25=70 （人)， 45+70=115 （人)，
∴本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在B组，
故答案为：200，B；
（2）
故答案为：126；
【分析】(1)将A组人数除以其所占百分比即可得到这次抽样调查的人数，根据中位数的确定方法即可得到中位数在哪个组；
(2)将B组人数占比乘以以360°即可得到答案；
(3)用样本估计总体的方法计算即可得到答案.
21．【阅读理解】若四位数 满足 a+b=c+d，则称这样的四位数为“对等四位数”.例如：四位数 2451，因为2+4=5+1，所以四位数 2451 是对等四位数.
（1）填空： 2026　 　对等四位数（填“是”或“不是”)；
（2）已知一个对等四位数的百位数字为9，个位数字为 2，请直接写出这个对等四位数：
（3）若 是对等四位数，将M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调后，得到一个新的四位数N，求证：M与N的和一定能被101整除。
【答案】（1）不是
（2）1982或2992
（3）证明：M=1000a+100b+10c+d， N=1000b+100a+10d+c，M+N=1000a+100b+10c+d+1000b+100a+10d+c
=1100（a+b)+11（c+d)
因为a+b=c=d，
所以M+N=1111（a+b)=101×11（a+b)
所以M与N的和一定能被101整除.
【知识点】根据数量关系列方程；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：（1）∵2+0≠2+6，
∴2026不是对等四位数，
故答案为：不是；
（2）解：由题可得a+9=c+2，整理得c-a=7，
∵a>0，
∴c只能为8或9，
当c=8时，a=1，∴四位数为1982；
当c=9时，a=2，∴四位数为2992；
故答案为：1982或2992；
【分析】（1）根据“对等四位数”的定义判断即可；
（2）由“对等四位数”定义可得a+9=c+2，即可得到c-a=7，然后得到c和a的值即可得到四位数；
（3）表示M和N，然后求和，然后进行因式分解，就可以证明结论.
22．单规作图问题：
如图1，已知直线l及直线l外一点 P，只用一把圆规画一点Q，使得P，Q所在直线与直线AB平行。下面是小尹设计的的作图过程。
①如图2，在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点：
②以点A为圆心，截取AP长；
③以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q：
则点Q就是所求作的点。
（1）根据小尹设计的单规作图过程，补充完成下面的证明。
证明：连结AP， BQ，作直线 PQ
（2）小周认为“在直线l上取点O时，OP不能垂直于l，否则所作点Q不满足题意。”你认为他说得对吗 请谈谈你的理解。
【答案】（1）证明：连结 BP
因为AP=BQ，
所以，
所以∠ABP=∠QPB，
所以PQ∥l.
（2）解：因为AP=QB，所以，
若OP⊥l，则∠AOP=∠BOQ=90°
即点P，Q重合。
所以无法作出直线使其与AB平行，即点Q不是所求作的点。
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；作图-平行线；内错角相等，两直线平行；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连结 BP，根据弧、弦、圆心角的关系得到，根据等弧所对的圆周角相等得到∠ABP=∠QPB，即可证明结论；
（2）根据弧、弦、圆心角的关系得到，若OP⊥l，即可得到P，Q重合，不能做出平行线解答即可.
23．如图1，矩形ABCD，点E， F分别在边BC和CD上， AE平分∠BAC， EF⊥AE交AC于点G.
（1）记∠GEC为a，
①用含有a的代数式表示∠FGC；
②若 求 tana的值；
（2）如图2，连结AF，若△ECG的面积为7，求△AFG的面积。
【答案】（1）解：①因为∠GEC=α， EF⊥AE， ∠B=90°，
所以∠AEB=90°-α， ∠BAE=α，
因为AE平分∠BAC，所以∠EAG=α，
所以∠FGC=∠AGE=90°-α，
②因为∠EFC=90°-α=∠AGE=∠CGF，所以CF=CG，
因为
所以
（2）解：过点C作CH⊥FG，
因为 CF=CG，所以 FG=2GH，
因为∠AGE=∠CGH，
∠AEG=∠CHG，
所以△AEG∽△CHG，
所以 ，
所以AE·GH=EG·CH
即 AE·GF=2EG·CH
所以
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；求正切值；相似三角形的判定-AA；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）①根据平角的定义和直角三角形的两锐角互余得到∠BAE=α，然后根据角平分线的定义得到∠EAG=α，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可；
②根据①可得∠EFC=∠AGE=∠CGF，即可得到CF=CG，然后根据正切的定义解答即可；
（2）过点C作CH⊥FG，即可得到FG=2GH，然后根据两角对应相等得到△AEG∽△CHG，再根据对应边成比例求出AE·GF=2EG·CH即可得到解答即可.
24．已知二次函数
（1）①用含有a的代数式表示函数图象的对称轴：
②若函数图象顶点落在x轴上，求a的值；
（2）若该函数图象与x轴有两个不同交点，设这两个交点的横坐标分别为x1，x2，求证：
（3）当m≤x≤n时，请直接用含有m，n的代数式表示函数最大值与最小值的差的最小值。
【答案】（1）解：
所以函数图象对称轴为直线 x=a。
②函数顶点坐标为（a， 1-a2)
即
解得a=±1
（2）解：由题可得 且 所以 ，
又因为
所以x12+ =2；
（3） .
【知识点】二次函数的最值；点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（3） ①若a≤m， 函数最大值为x=n，最小值为x=m时，
所以（n2m)2。
②若a≥n，函数最大值为x=m，最小值为x=n时，
所以（m2m)2
③若 函数最大值为x=n，最小值为 时，
所以
④若 函数最大值为x=m，最小值为 时，
所以
综上，所以函数最大值与最小值的差的最小值为 .
【分析】（1）①利用配方法得到顶点式，即可得到对称轴；
②根据顶点式得到顶点坐标，根据顶点在x轴得到求出a的值解答即可；
（2）根据对称性得到且，然后把x1和x2代入方程，得到然后降次计算，再整体代入求出取值范围解答即可；
（3）分为a≤m，a≥n， 四种情况，根据二次函数的增减性得到最大值和最小值，然后求差，根据二次函数的顶点式求出最小值，再比较解答即可.
1 / 1浙江省宁波市鄞州区2026年中考二模考试数学
一、选择题（每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．有理数中，最小的数是（　　）
A．0 B． C．3 D．
2．中国邮政于2026年1月 5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为（　　)
A． B．2.668×107 C． D．0.2668×108
3．如图，这是一个机械模具，则它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列各式计算正确的是 （　　)
A． B． C． D．
5．某班甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个)及方差（单位：个2)如下表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　)
　 甲 乙 丙 丁
平均数 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．如图，以点C（-1，0)为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C，若点B的横坐标是-3，点B的对应点B'的横坐标是3，则△ABC与△A'B'C的周长之比为 （　　)
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：1
7．用A，B 两个机器人搬运化工原料，A机器人比B机器人每小时多搬运40kg，A机器人搬运1200kg所用时间与B机器人搬运900kg所用时间相等，设A机器人每小时搬运 xkg化工原料，那么可列方程（　　)
A． B．
C． D．
8．如图①是一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的.图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计)，若∠ACB=90°， ∠ABC=α，当 时，AB可表示为（　　)
A．hsinα B． C．htanα D．
9．身体质量指数（BMI)是国际常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，其计算公式为： （千克/米2).甲、乙、丙、丁四位同学的体重与他们身高平方的关系示意图如图所示，则BMI指数最大的同学是（　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．T
10．如图，AB为⊙O的直径，点C在OA上，点E， F为圆上两点，连结EC， FC。连结EF交AB于点D，若∠FCE=90°， CD=3AC=3BD，则cos∠CDF的值为（　　)
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分。)
11．分解因式：xy-x＝　 　．
12．不等式组 的解集是　 　.
13．某学校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小甬同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人课程的概率为　 　.
14．如图，△ABC饶点A 按顺时针方向转动50°得△AED，点D恰好在边BC上，则∠ADC=　 　°.
15．在平面直角坐标系中，直线y=3x与双曲线 交于A（x1， y)， B（x2， y12)两点. 则 的值为　 　.
16．如图1，将大正方形纸片裁去一个小正方形，将剩余部分分割为四块图形后，拼成如图2的正方形，则图1大正方形与图2正方形的面积之比为　 　.
三、解答题（本大题有8小题，共72分)
17．先化简，再求值： （a+2)（a-2)+a（1-a)，其中a=3。
18．已知方程组 求xy的值。
19．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E是线段AC的中点，连结DE并延长至点F，使EF=DE，连结FC.
（1）求证： △ADE≌△CFE；
（2）若点D为AB的中点， ∠B=65°，求∠F的度数.
20．随着AI技术的发展，越来越多的人借助AI软件协助办公和学习，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间t（分钟)进行统计调查，记：A组“t<60”，B组“60120”，绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的人数是　 　人，本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在　 　组；
（2）B组所在扇形的圆心角大小是　 　度；
（3）该公司共有800人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少
21．【阅读理解】若四位数 满足 a+b=c+d，则称这样的四位数为“对等四位数”.例如：四位数 2451，因为2+4=5+1，所以四位数 2451 是对等四位数.
（1）填空： 2026　 　对等四位数（填“是”或“不是”)；
（2）已知一个对等四位数的百位数字为9，个位数字为 2，请直接写出这个对等四位数：
（3）若 是对等四位数，将M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调后，得到一个新的四位数N，求证：M与N的和一定能被101整除。
22．单规作图问题：
如图1，已知直线l及直线l外一点 P，只用一把圆规画一点Q，使得P，Q所在直线与直线AB平行。下面是小尹设计的的作图过程。
①如图2，在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点：
②以点A为圆心，截取AP长；
③以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q：
则点Q就是所求作的点。
（1）根据小尹设计的单规作图过程，补充完成下面的证明。
证明：连结AP， BQ，作直线 PQ
（2）小周认为“在直线l上取点O时，OP不能垂直于l，否则所作点Q不满足题意。”你认为他说得对吗 请谈谈你的理解。
23．如图1，矩形ABCD，点E， F分别在边BC和CD上， AE平分∠BAC， EF⊥AE交AC于点G.
（1）记∠GEC为a，
①用含有a的代数式表示∠FGC；
②若 求 tana的值；
（2）如图2，连结AF，若△ECG的面积为7，求△AFG的面积。
24．已知二次函数
（1）①用含有a的代数式表示函数图象的对称轴：
②若函数图象顶点落在x轴上，求a的值；
（2）若该函数图象与x轴有两个不同交点，设这两个交点的横坐标分别为x1，x2，求证：
（3）当m≤x≤n时，请直接用含有m，n的代数式表示函数最大值与最小值的差的最小值。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数是：．
故答案为：B．
【分析】正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，据此可得到最小的数
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 2668万=26680000=2.668×107.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看可得两个并排放着两个正方形，左边正方形内有一个内切圆．
故答案为：D．
【分析】俯视图：从物体上面所看的平面图形；注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此判断即可.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则逐项分析判断如下：
故A选项错误，不符合题意；
故B选项错误，不符合题意；
故C选项正确，符合题意；
故D选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算判断即可.
5．【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：解：由表知，乙、丁跳绳成绩的平均数大于甲、丙，
所以乙、丁两名同学的成绩好，又因为乙跳绳成绩的方差小于丁，所以乙同学成绩好且发挥稳定，
故答案为：B.
【分析】根据方差和平均数的意义求解即可.
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E， 过点B'作B'F⊥x轴于点F，
∵以点C(-1， 0)为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C， 点B的横坐标是-3，
∴EC=2，
∵点B的对应点B'的横坐标是3，
∴CF=4，
∴△ABC与△A'B'C的周长之比为： 1： 2.
故答案为：A.
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应线段长进而得出相似比，即可得出周长比.
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：解：∵A机器人比B机器人每小时多搬运40kg，且A机器人每小时搬运x kg化工原料，
∴B机器人每小时搬运((x-40)kg化工原料，
根据题意得：
故答案为：A.
【分析】利用A，B两个机器人工作效率间的关系，可得出B机器人每小时搬运((x-40)kg化工原料，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合A机器人搬运1200kg所用时间与B机器人搬运900kg所用时间相等，即可列出关于x的分式方程，此题得解.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在 中， h，
即
故答案为：B.
【分析】根据正弦三角函数的概念，结合图形，可得到结果.
9．【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：甲的体重大于乙，丙的体重，身高小于乙，丙两位同学，故甲得BMI值大于乙，丙两人，
甲的体重稍微比丁的轻，但身高明显没有丁的高，故甲得BMI值大于丁，
故答案为：A.
【分析】根据示意图得到四位同学的身高和体重情况，比较解答即可.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相交弦定理模型；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，分别过点C、O作EF的垂线段CG、OH，再分别连接AF、EB.
设，则.
，即
故答案为：A.
【分析】求∠CDF的余弦值，可先过点C作EF的垂线段CG构造直角三角形CGD，则由射影定理可得CG是FG和EG的比例中项，此时可设BD＝a，则AC＝a、CD＝3a、再由相交弦定理可得DF与ED的乘积等于a方的4倍，再过点O作EF的垂线段OH，则可利用线段的和差关系及平行线分线段成比例定理证明DH＝GH，再由垂径定理可得FG＝ED、DF＝GE，即CG＝2a，再利用勾股定理求出DG，最后再解直角三角形求出∠CDF的余弦值即可.
11．【答案】x(y－1)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：xy-x＝x(y－1)
故答案为：x(y－1).
【分析】提取公因式x的值即可。
12．【答案】x>1
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式2x-1>1得，x>1，
解不等式 得，
所以不等式组的解集为：x>1，
故答案为：x>1.
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：用A，B，C分别表示航模、机器人、计算机编程三门特色课程，列表如下：
A B C
A / (A， B) (A， C)
B (B， A) / (B， C)
C (C， A) (C， B) /
∵共有6种等可能的结果，其中恰好选中航模和机器人的结果有2种，
故答案为：
【分析】根据题意，用A，B，C分别表示航模、机器人、计算机编程三门特色课程，列出表格，利用概率公式进行计算即可.
14．【答案】65
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： 按顺时针方向转动得
AD=AC，
∴，
故答案为：65.
【分析】根据旋转的性质得到∠CAD=50°，AD=AC，然后根据三角形的内角和定理和等边对等角求出∠ADC的度数即可.
15．【答案】2026
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意，将y=3x代入 得：
或
=2026；
=2026；
故答案为：2026.
【分析】依据题意，将y=3x代入 得： 则 ， 从而. 或 从而计算可以判断得解.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；图形的剪拼；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，设DF=a，CF=b，
根据图2可得CF=CE=b，BE=BG=a，
∴AG=b，
∴EF=，，，
∴，
根据拼成的图2的正方形的边长相等得到，
解得b=2a，
∴大正方形的边长为3a，面积为9a2，
小正方形的面积为9a2-a2=8a2，
∴ 图1大正方形与图2正方形的面积之比为，
故答案为：.
【分析】设DF=a，CF=b，根据拼接得到CF=CE=b，BE=BG=a，求出EF，EG，AH长，根据AK=EF列方程求出b=2a，表示出两个正方形的面积解答即可.
17．【答案】解：原式
=a-4，
当a=3时，
原式=3-4=-1.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】原式利用平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值.
18．【答案】解：
①×2，得4x+2y=8③，
②+③得7x=21，
解得x=3，
把x=3代入①得y=-2，
所以
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】方程组利用加减消元法求出x，y的值，然后代入代数式计算即可.
19．【答案】（1）证明：∵ E是线段AC的中点，
∴AE=CE，
∵∠AED=∠CEF， DE=FE，
∴△ADE≌△CFE
（2）解：当点D为AB中点时，
因为E为AC中点，
所以DE为△ABC的中位线，
所以DE∥BC，
所以∠ADE=∠B，
因为△ADE≌△CFE，
所以∠ADE=∠F，
所以∠F=∠ADE=∠B=65°
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）根据SAS得到两三角形全等即可；
（2）先得到DE为△ABC的中位线，即可得到DE∥BC，即可得到∠ADE=∠B，然后根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠F，即可得到∠F=∠ADE=∠B解答即可.
20．【答案】（1）200；B
（2）126
（3）解：（人)，答：不少于90分钟的人数是340人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）这次抽样调查的人数是45+22.5%=200 （人)，
B组人数为200-45-60-25=70 （人)， 45+70=115 （人)，
∴本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在B组，
故答案为：200，B；
（2）
故答案为：126；
【分析】(1)将A组人数除以其所占百分比即可得到这次抽样调查的人数，根据中位数的确定方法即可得到中位数在哪个组；
(2)将B组人数占比乘以以360°即可得到答案；
(3)用样本估计总体的方法计算即可得到答案.
21．【答案】（1）不是
（2）1982或2992
（3）证明：M=1000a+100b+10c+d， N=1000b+100a+10d+c，M+N=1000a+100b+10c+d+1000b+100a+10d+c
=1100（a+b)+11（c+d)
因为a+b=c=d，
所以M+N=1111（a+b)=101×11（a+b)
所以M与N的和一定能被101整除.
【知识点】根据数量关系列方程；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：（1）∵2+0≠2+6，
∴2026不是对等四位数，
故答案为：不是；
（2）解：由题可得a+9=c+2，整理得c-a=7，
∵a>0，
∴c只能为8或9，
当c=8时，a=1，∴四位数为1982；
当c=9时，a=2，∴四位数为2992；
故答案为：1982或2992；
【分析】（1）根据“对等四位数”的定义判断即可；
（2）由“对等四位数”定义可得a+9=c+2，即可得到c-a=7，然后得到c和a的值即可得到四位数；
（3）表示M和N，然后求和，然后进行因式分解，就可以证明结论.
22．【答案】（1）证明：连结 BP
因为AP=BQ，
所以，
所以∠ABP=∠QPB，
所以PQ∥l.
（2）解：因为AP=QB，所以，
若OP⊥l，则∠AOP=∠BOQ=90°
即点P，Q重合。
所以无法作出直线使其与AB平行，即点Q不是所求作的点。
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；作图-平行线；内错角相等，两直线平行；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连结 BP，根据弧、弦、圆心角的关系得到，根据等弧所对的圆周角相等得到∠ABP=∠QPB，即可证明结论；
（2）根据弧、弦、圆心角的关系得到，若OP⊥l，即可得到P，Q重合，不能做出平行线解答即可.
23．【答案】（1）解：①因为∠GEC=α， EF⊥AE， ∠B=90°，
所以∠AEB=90°-α， ∠BAE=α，
因为AE平分∠BAC，所以∠EAG=α，
所以∠FGC=∠AGE=90°-α，
②因为∠EFC=90°-α=∠AGE=∠CGF，所以CF=CG，
因为
所以
（2）解：过点C作CH⊥FG，
因为 CF=CG，所以 FG=2GH，
因为∠AGE=∠CGH，
∠AEG=∠CHG，
所以△AEG∽△CHG，
所以 ，
所以AE·GH=EG·CH
即 AE·GF=2EG·CH
所以
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；求正切值；相似三角形的判定-AA；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）①根据平角的定义和直角三角形的两锐角互余得到∠BAE=α，然后根据角平分线的定义得到∠EAG=α，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可；
②根据①可得∠EFC=∠AGE=∠CGF，即可得到CF=CG，然后根据正切的定义解答即可；
（2）过点C作CH⊥FG，即可得到FG=2GH，然后根据两角对应相等得到△AEG∽△CHG，再根据对应边成比例求出AE·GF=2EG·CH即可得到解答即可.
24．【答案】（1）解：
所以函数图象对称轴为直线 x=a。
②函数顶点坐标为（a， 1-a2)
即
解得a=±1
（2）解：由题可得 且 所以 ，
又因为
所以x12+ =2；
（3） .
【知识点】二次函数的最值；点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（3） ①若a≤m， 函数最大值为x=n，最小值为x=m时，
所以（n2m)2。
②若a≥n，函数最大值为x=m，最小值为x=n时，
所以（m2m)2
③若 函数最大值为x=n，最小值为 时，
所以
④若 函数最大值为x=m，最小值为 时，
所以
综上，所以函数最大值与最小值的差的最小值为 .
【分析】（1）①利用配方法得到顶点式，即可得到对称轴；
②根据顶点式得到顶点坐标，根据顶点在x轴得到求出a的值解答即可；
（2）根据对称性得到且，然后把x1和x2代入方程，得到然后降次计算，再整体代入求出取值范围解答即可；
（3）分为a≤m，a≥n， 四种情况，根据二次函数的增减性得到最大值和最小值，然后求差，根据二次函数的顶点式求出最小值，再比较解答即可.
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