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北师大版数学八年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.3.2应用二元一次方程组——增收节支第五章二元一次方程组北师大版八年级上册5.3.2应用二元一次方程组——增收节支练习题核心知识点回顾增收节支问题是二元一次方程组典型经济应用题型，主要围绕增长率、降低率、总收入、总支出、总利润展开。核心公式：利润=总收入-总支出；增长后总量=原有总量×(1+增长率)；减少后总量=原有总量×(1-降低率)。解题关键：找准改革前后的收入、支出两组等量关系，通过设改革前（或改革后）的收入、支出为未知数，列方程组求解，常用于解决工厂、商场、家庭收支等实际问题。一、基础夯实题（共3题，侧重公式基础运用）1.某工厂去年总收入、总支出共50万元，今年总收入比去年增加10%，总支出比去年减少10%。设去年收入为x万元，支出为y万元，请写出x、y的基本数量关系式。2.某商铺去年利润为2万元，今年收入提升5%，支出降低4%，利润增至2.8万元。设去年收入x万元，支出y万元，列出二元一次方程组。3.某农户前年农业收入3万元，副业收入2万元，今年农业收入增长8%，副业收入增长10%，求今年两项总收入。二、能力提升题（共2题，侧重方程组求解）1.某加工厂去年总收入与总支出的差额为30万元，今年总收入增加20%，总支出减少10%，差额变为48万元。求去年的总收入和总支出各是多少万元？2.某超市今年销售额比去年增长15%，成本比去年降低8%，去年利润为40万元，今年利润为62万元。求去年的销售额和成本。三、经典压轴应用题（1题，教材高频考点）某乡镇企业积极落实增收节支政策，今年与去年相比，总收入增加25%，总支出减少15%。已知去年的利润为20万元，今年的利润为55万元。求该企业去年的总收入、总支出分别是多少万元？参考答案与解析一、基础夯实1.基本关系式：$$x+y=50$$；今年收入：$$(1+10\%)x$$，今年支出：$$(1-10\%)y$$。2.由去年利润和今年收支变化列方程组：$$\begin{cases} x-y=2 \\ 1.05x-0.96y=2.8 \end{cases}$$。3.今年农业收入：$$3\times(1+8\%)=3.24$$万元，副业收入：$$2\times(1+10\%)=2.2$$万元，总收入5.44万元。二、能力提升1.设去年收入x万元，支出y万元，列方程组：$$\begin{cases} x-y=30 \\ 1.2x-0.9y=48 \end{cases}$$，解得$$\begin{cases} x=70 \\ y=40 \end{cases}$$。答：去年收入70万元，支出40万元。2.设去年销售额x万元，成本y万元，方程组：$$\begin{cases} x-y=40 \\ 1.15x-0.92y=62 \end{cases}$$，解得$$x=120，y=80$$。答：去年销售额120万元，成本80万元。三、经典压轴应用设去年总收入x万元，总支出y万元，列方程组：$$\begin{cases} x-y=20 \\ 1.25x-0.85y=55 \end{cases}$$。由第一式得$$x=y+20$$，代入第二式化简求解，得$$y=80$$，$$x=100$$。答：去年总收入100万元，总支出80万元。易错总结：区分增长、降低的基数（始终以前一年数据为基数）；百分数运算易出错，建议统一转化为小数计算；利润公式切勿颠倒，总收入减总支出，避免符号错误。能根据题意找出等量关系，并能根据题意列二元一次方程组.
正确找出问题中的两个等量关系.
通过应用题教学，进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性.
新课导入
类型 数量关系
销售问题
增长率问题
利润 = 售价 - 进价；
销售额 = 售价 × 销量.
增长后的量=增长前的量×（1+增长率）
下降后的量=下降前的量×（1-下降率）
某工厂前年的总利润（总收入 - 总支出）为200万元．去年的总收入比前年增加了20%，总支出比前年减少了10%，去年的总利润为780万元．前年的总收入、总支出各是多少万元
推进新课
（1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
等量关系：总利润 = 总收入 - 总支出
前年的总收入 – 前年的总支出 = 200万元
去年的总收入 – 去年的总支出 = 780万元
去年的总收入 = 前年的总收入 ×（1 + 20%）
去年的总支出 = 前年的总支出 ×（1 - 10%）
（2）你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？
推进新课
设前年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有：
年份 总收入/万元 总支出/万元 总利润/万元
前年
去年
x
y
200
(1+20%)x
(1-10%)y
780
根据上表，可以列出方程组：
推进新课
①
②
解：将①变形得 x = 200 + y ③
将③代入②得， 1.2（200 + y）-0.9y = 780
y = 1800
将 y = 1800 代入③得 x = 200 + 1800，解得 x = 2000
所以原方程组的解是
答：前年的总收入为2000万元，总支出为1800万元.
方法总结
在“增收节支”型问题中，要理解增加、减少、增长率、降低率等关键词.
典例精析
医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要
分析：设每餐用甲原料 x g、乙原料 y g，则有
成分 甲原料 x g 乙原料 y g 所配制的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
0.5x
0.7y
35
x
0.4y
40
患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，
例2
典例精析
解这个方程组，得
解：设每餐用甲原料 x g、乙原料 y g，根据题意，得
所以，每餐用甲原料 28 g、乙原料 30 g可以恰好满足患者的需求.
方法总结
借助列表法分析具体问题中蕴含的数量关系，列出方程组，然后解出二元一次方程组，从而解决实际问题.
思考·交流
在列方程组解决问题时，如何梳理其中的关键信息？对此你有哪些心得体会？与同伴进行交流.
课堂小结
生活中的具体问题
二元一次方程组
解决问题
列表分析
求解
化难为简
在“增收节支”型问题中，要理解增加、减少、增长率、降低率等关键词.
随堂演练
1. 甲、乙两仓库共有粮450吨，甲仓库运出60%，乙仓库运出40%，结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨，设甲仓库原有粮食 x 吨，乙仓库原有粮食 y 吨，则可列方程组为________________.
2. 武汉某学校原计划向贵州地区的学生捐赠3500册图书，实际共捐赠了4125册，其中初中学生捐赠了原计划的120%，高中学生捐赠了原计划的115%，初中学生和高中学生各比原计划多捐赠的图书的册数为（ ）
A.400，225 B.300，335
C.400，335 D.225，400
A
3. 甲、乙两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%.如果甲班学生的体育达标率为87.5%，乙班学生的体育达标率为75%，那么甲、乙两班各有多少名学生
设甲班有x名学生，乙班有y名学生，填写下表并求出x，y的值.
人数 甲班 乙班 两班总和
学生人数
达标学生人数
【课本P123 随堂练习 第1题】
x
y
100
87.5%x
75%y
81%×100
化简，得
解：设甲班有x名学生，乙班有y名学生，根据题意，得
② - ①×6，得 7x +6x - 6(x + y)= 648 - 100 ×6，
x = 48.
将 x = 48代入①，得 y = 52.
所以甲班有48人，乙班有52人.
4. 甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行．如果甲先走2h，那么他们在乙出发2.5h时相遇；如果乙先走2h，那么他们在甲出发3h时相遇．甲、乙两人的速度各是多少？
设甲、乙两人的速度分别是 x km/ h，y km/ h，填写下表并求x，y的值.
两种情况 甲的路程 乙的路程 甲、乙两人的路程之和
第一种情况 （甲先走2h）
第二种情况 （乙先走2h）
(2+2.5)x
2.5y
36
3x
(2 + 3)y
36
【课本P123 随堂练习 第2题】
化简，得
解：设甲、乙两人的速度分别是 x km/ h，y km/ h，根据题意，得
①×2 - ②，得 6x = 36，
x = 6.
将 x = 6代入②，得 y = 3.6.
所以甲的速度为 6 km/h，乙的速度为 3.6km/h.
知识点1 百分率问题
1.小明家种植水果，去年收支相抵后，结余1 200元，今年因为改进了种植技术，他家水果获得丰收，收入比去年增加5％，支出比去年减少15％，今年比去年多结余1 140元.设小明家去年收入x元，支出y元，则下列方程组正确的是(　　)
A.
B.
C.
D.
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C
2.某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计50万元，每年需付1.6万元利息，已知甲种贷款每年的利率为3％，乙种贷款每年的利率为3.5％，则该公司申请甲、乙两种贷款的数额分别为　　　 　.
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30万元、20万元
3.一个甲玩具和一个乙玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定将甲玩具按60％的利润率标价出售，乙玩具按50％的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两种玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元.
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(1)若甲玩具每个的成本为x元，则甲玩具的标价是　　　元，甲玩具的售价是　　　　元；若乙玩具每个的成本是y元，则乙玩具的标价是　　　　元，乙玩具的售价是　　　　元.(用含x，y的式子填空)
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1.6x
1.44x
1.5y
1.35y
(2)在(1)的条件下，求甲、乙玩具每个的成本各是多少元.
【解】依题意，得
解得
所以甲玩具每个的成本是100元，乙玩具每个的成本是200元.
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(3)在(1)的条件下，商店老板决定投入1 000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？
【解】设购进m个甲玩具，n个乙玩具，
依题意，得100m＋200n＝1 000，化简得m＝10－2n.
又因为m，n均为正整数，
所以或或或
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所以共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具.
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